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江苏省姜堰中学高三数学综合练习9

高三数学(理)综合练习九
一、填空题 1.设复数 z 满足 i ? z ?1? ? ?3 ? 2i ,则 z =. 2. 已知光线通过点 M ? ?3,4? , 被直线 l :x ? y ? 3 ? 0 反射, 反射光线通过点 N ? 2,6? , 则 反射光线所在直线的方程是. 3.已知 sin ? ?

1 ? cos 2? 的值为. ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 ? 2 2 sin(? ? ) 4

4.已知 ? O : x2 ? y 2 ? 1.若直线 y ? k x ? 2 上总存在点 P ,使得过点 P 的 ? O 的两条切 线互相垂直,则实数 k 的最小值为. 5. 若函数

f ( x) ? k ? cos x 的图象过点 P( ,1) , 则该函数图象在 P 点处的切线倾斜角等于.

π 3

x2 ? y 2 6.若实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 的最小值为. x? y
7 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 2 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? R , 均 满 足
3 2

(x1 ? x ) x ? 2? ( f ) 1

,则实数 m 的取值范围是. (f ? 0 ? 2 )x
S S4 S2 ? ,则 2015 等于. a4 a2 S1

8.已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若

9.已知正△ ABC 的边长为 1,点 G 为边 BC 的中点,点 D, E 是线段 AB, AC 上的动点, DE ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 中点为 F .若 AD ? ? AB , AE ? (1 ? 2? ) AC (? ? R) ,则 FG 的取值范围为. 10.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,?A ? 最大值为. 11.平面内四点 O, A, B, C 满足 OA ? 4, OB ? 2 5, OC ? 5, OB ? OC ? 0 ,则 ?ABC 面积 的最大值为. 12. 动直线 y ? k ( x ? 2) 与曲线 y ? 1 ? x2 相交于 A ,B 两点,O 为坐标原点, 当 ?AOB 的面积取得最大值时, k 的值为. 13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单 调递减,数列 ?a2 n ? 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? .

??? ? ??? ? 2? ,若点 P 为对角线 AC 上一点,则 PB ? PD 的 3

??? ? ??? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? ?0,1? ? 14. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 2 ,则关于 x 的 ? 1 ? x ? 3 , x ? 1, ?? ? ? ?

函数 F ( x) ? f ( x) ? a(?1 ? a ? 0) 的所有零点之和为(用 a 表示) 二、解答题 15. ?ABC 的内角 A, B 满足 a ?

?

2 cos

?? A? B? A? B ? i ? sin j (单位向量 i, j 互相垂直),且 2 2

? 6 . | a |? 2
(1)求 tan A tan B 的值; (2)若 sin A ?

2 ,边长 a ? 2 ,求边长 c . 13

16. (本小题满分 10 分)已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 2 , S4 ? 20 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. an an?1

17. (本小题满分 14 分)某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB ,假设桥墩等距离分布,经设 计部门测算,两端桥墩 A 、 B 造价总共为 100 万元,当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其

中 64 ? x ? 100 ) ,中间每个桥墩的平均造价为

80 x 万元,桥面每 1 米长的平均造价为 3

(2 ?

x x ) 万元. 640

(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f ( x ) ; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩 A 、 B 除外)应建多少个桥墩?

18 .如图,已知圆 O : x ? y ? r ( r ? 0) ,动直线 l 过点 M (1, 0)交圆 O 于 A( x1 , y1 ) ,
2 2 2

,点 N 在 x 轴上,若点 B 的坐标为 (0, ?r ) ,则点 A 的横 B( x2 , y2 ) 两点(点 A 在 x 轴上方)

8 . 5 (1)求 r 的值;
坐标为 (2)当直线 l 的斜率为 7 时,直线 AN 与圆 O 相切,求点 N 的坐标; (3)试问:是否存在一定点 N ,使得 ?ANM ? ?BNM 总成立?若存在,请求出点 N 的 坐标;若不存在,请说明理由.

19 .各项均为正数的数列 {an} 中,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ?

1 1 1 ? ? ? ? ,且 a1 a2 an

(2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 , n ? N* .
(1)设 bn ? 2 ? Sn ,证明数列{bn}是等比数列; (2)设 cn ?

1 nan ,求集合 ?? m, k , r ? | cm ? cr ? 2ck , m ? k ? r , m, k , r ? N* ? . 2

20.已知函数

.

(1 当

时,



)在定义域上单调性相反,求的

的最小值。

(2)当

时,求证:存在

,使

的三个不同的实数解

,且对

任意



都有

.

高三数学(理)综合练习九答案
一、填空

1、 1 ? 3i 2. 6 x ? y ? 6 ? 0 .3. ?

?1 7 ? 2π ?1 ? 14 4.15. 6.47. ? , ?? ? 8.19. ? , ? 2 3 ?3 ? ?2 4 ?
a

( ?2) n ? 1 ?1? 1? ? ? 1 3 3 10. ? 11. 15 12. ? 13. 14. ? 2 ? 2 3
二、解答题 15、 (1)

1 7 5 ; (2) c ? 3 5

(Ⅰ) an ? 2n ; (Ⅱ) 4(n ? 1) 16、

n

? 1) 个桥墩, (1) 由桥的总长为 640 米, 相邻两个桥墩的距离为 x 米, 知中间共有 ( x 17、
于是桥的总造价 f ( x) ? 640(2 ?
3

640

x x 80 640 )? x( ? 1) ? 100 , 640 3 x

即 f ( x) ? x 2 ?
3 2

640 ? 80 ? 1 80 1 x 2 ? x 2 ? 1380 3 3

51200 ? 1 80 1 2 =x ? x ? x 2 ? 1380 ( 64 ? x ? 100 ) 3 3
( 2 ) 由 ( 1 ) 可 求

f ?( x) ?

3 1 640 ? 40 ? 3 40 ? 1 x2 ? x 2? x 2 , 整 理 得 2 3 3

f ?( x) ?

1 ?3 x 2 (9x 2 ? 80x ? 640 ? 80) , 6

由 f ?( x) ? 0 , 解 得 x1 ? 80 , x2 ? ?

640 (舍) , 又 当 x ? (64,80) 时 , f ?( x ) ? 0 ; 当 9 640 ? 1=7 x ? (80,100) 时, f ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 80 ,桥的总造价最低,此时桥墩数为 80
8

(1)? 点 A 的横坐标为 ,且点 A 在 x 轴上方,? y A ? 5 18、

r2 ?

64 ,又 k AM ? kBM , 25

r2 ?
?

3 5

64 25 ? r ,? r ? 2 .

(2)当直线 l 的斜率为 7 时,直线 l 的方程为 y ? 7( x ?1) , 代入 x ? y ? 4 ,解得 x ?
2 2

3 1 或 x ? (舍) , 2 4

将x?

3 7 3 7 7 代入 x2 ? y 2 ? 4 ,解得 y ? ? (舍负) ,? A( , , ) ,? kOA ? 2 2 2 2 3

? 直线 AN 与圆 O 相切,? k AN ? ?

3 , 7

? 直线 AN 的方程为 y ?

8 7 3 3 ?? ( x ? ) ,即 3x ? 7 y ? 8 ? 0 . 所以 N ( ,0) 3 2 2 7

(3)显然若动直线 l 的斜率不存在时, ?ANM ? ?BNM 总成立, 当动直线 l 的斜率存在时,并设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 假设存在一定点 N ( n, 0) ,使得 ?ANM ? ?BNM 总成立,即

y1 y ? ? 2 总成立, x1 ? n x2 ? n

?

x1 ? 1 x ?1 ,化简得 2 x1 x2 ? (n ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2n ? 0 总成立, ?? 2 x1 ? n x2 ? n

联立方程组 ?

? y ? k ( x ?1) ?x ? y ? 4
2 2

,消去 y ,得 (k 2 ? 1) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 4 x x ? , , 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

?2

k2 ? 4 2k 2 ? ( n ? 1) ? 2n ? 0 ,解得 n ? 4 , k 2 ?1 k 2 ?1

? 当点 N (4, 0) ,能使得 ?ANM ? ?BNM 总成立.
19、1)当 n ? 1 时, (2 ? S1 )(1 ? T1 ) ? 2 ,即 (2 ? a1 )(1 ?

1 ) ? 2 ,解得 a1 ? 1 . a1 2 ?1② 2 ? Sn?1

由 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 ,所以 Tn ?

2 ?1 ① 2 ? Sn

当 n ≥ 2 时, Tn ?1 ?

①-②,得

2an 1 2 2 ( n≥ 2 ) , ? ? ? an 2 ? Sn 2 ? Sn ?1 (2 ? Sn )(2 ? Sn ?1 )

即 (2 ? Sn )(2 ? Sn?1 ) ? 2[(2 ? Sn?1 ) ? (2 ? Sn )]2 , 即 bnbn?1 ? 2(bn?1 ? bn )2 , 所 以

bn bn ?1 5 ? ? , bn ?1 bn 2

因为数列{an}的各项均为正数,所以数列 ?2 ? Sn ? 单调递减,所以

bn ?1. bn?1

所以

bn 1 .因为 a1 ? 1 ,所以 b1 ? 1 ? 0 , ? ( n≥ 2 ) bn ?1 2
6分

所以数列{bn}是等比数列.
n ?1 (2)由(1)知 2 ? S n ? ( ) ,所以 an ?

1 2

1 n ,即 cn ? n . n ?1 2 2

由 cm ? cr ? 2ck ,得

cm cr ? ? 2 (*) ck ck
8分

又 n ≥ 2 时,

cn ?1 n ? 1 ? ? 1,所以数列 ?cn ? 从第 2 项开始依次递减. cn 2n

(Ⅰ)当 m ≥ 2 时,若 k ? m ≥ 2 ,则

cm c ≥ m ck cm? 2

m m 4m ? 2 ? ≥2, m?2 m?2 2m ? 2
10 分

(*)式不成立,所以 k ? m = 1 ,即 k ? m ? 1. 令 r ? m ? 1 ? i(i ? N* ) ,则 cr ? 所以 r ? 2
i ?1

r 2m?1?i

? 2ck ? cm ?
i ?1

2 ? m ? 1? m 2 2i ?1 ? ? ? , 2m?1 2m 2m?1 2m?1?i

,即存在满足题设的数组

?? 2

? i ? 1, 2i ?1 ? i, 2i ?1 ? ( i ? N* ) .

?

13 分

(Ⅱ)当 m ? 1 时,若 k ? 2 ,则 r 不存在;若 k ? 3 ,则 r ? 4 ; 若 k ≥ 4 时,

c1 c (*)式不成立. ≥ 1 ? 2, ck c4

i ?1 i ?1 i ?1 * 综上所述,所求集合为 (1,3, 4), (2 ? i ? 1, 2 ? i, 2 ) ( i ? N ) .

?

?

16 分

f ' ( x) ?

20、(1)因为
a?

2ax 2 ? 2bx ? 1 ' ?cx 2 ? 2(2 ? c) x ? c , g ( x) ? ; x x( x ? 1) 2

2 分。



x2 ? 2bx ? 1 1 f ' ( x) ? 2 x 2 时, ;当 b ? 1 时, x ? 2bx ? 1 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,

' 所以, f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,所以, f ( x) 在 x ? (0, ??) 上为增函数。

(0,??) 上为减函数,所以 g ( x) ? 0 对 根据 f ( x) 和 g ( x) 在定义域上单调性相反得, g ( x) 在
'

x ? (0, ??)

恒成立,即:

4 x ? c( x ? 1)

2

c?

,所以

4x ( x ? 1) 2

因为

4x 4x ? ?1 2 ( x ? 1) (2 x ) 2

,当且仅当

4x 2 ( x x ? 1 时, ? 1) 取最大值 1 .所以 c ? 1 ,此时 | b | ? c 的最小值是 1 ,

6分

f ' ( x) ?
(2)因为 的
x1 ?

2ax2 ? 2bx ? 1 , 2 x 当 b ? 2a ? 0 时, a ? 0 ,且一元二次方程 2ax ? 2bx ? 1 ? 0
2 , 所 以 2ax ? 2bx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 根

? ? 4(b2 ? 2a) ? 0

b ? b 2 ? 2a b ? b 2 ? 2a , x2 ? , 2a 2a

8分

当 当 当

x ? (0, x1 )

f ( x) ? (??, f ( x1 )) 时, f ( x) 为增函数; f ( x) ? ( f ( x2 ), f ( x1 )) 时, f ( x) 为减函数; f ( x) ? ( f ( x2 ), ??) 时, f ( x) 为增函数; t t t 时, f ( x) ? m 一定有 3 个不相等的实根 1 , 2 , 3

x ? ( x1 , x2 )

x ? ( x2 , ??)

所以当

m ? ( f ( x2 ), f ( x1 ))

分别在

(??, x1 )、(x1,x2 )、(x2, +?)

内,不妨设

ti ? t j

,因为

f (ti ) ? m, f (t j ) ? m

,所以

f (ti ) ? f (t j )



ln ti ? ati 2 ? 2bti ? ln t j ? at j 2 ? 2bt j



ln ti ? ln t j ? ?a(ti 2 ? t j 2 ) ? 2b(ti ? t j )



t 1 ln i ? ?a(ti ? t j ) ? 2b ti ? t j t j

所以

t 1 ln i ? ?a(ti ? t j ) ? 2b ti ? t j t j

所以

t 1 2(t i ? t j ) t 2 2 1 [ ? ln i ] ? [2b ? a(ti ? t j )] ? ? ln i ? ti ? t j ti ? t j ti ? t j t j ti ? t j ti ? t j tj
2( 2(
ti ?t tj ,令 ,则

ti ? 1) tj t 1 ? [ ? ln i ] ti ? t j ti tj ?1 tj
g ( x) ?
由(1)知

ti ? 1) tj t 2(t ? 1) ? ln i ? ? ln t ti tj t ?1 ?1 tj

2x ? 2 ? ln x (0,??) 上为减函数,又 g (1) ? 0 x ?1 在

1 2(t ? 1) ? 0, ? ln t ? 0 ti ? t j 0 ? t ? 1 , t ? 1 所以当 ,又 2 ? [2b ? a(t i ? t j )] ? 0, ti ? t j 2 ? 2b ? a(t i ? t j ). ti ? t j

所以



16 分

高三数学(理)综合练习九附加题
班级: 姓名: 1. (本题 10 分) 2 设函数 f(x)=x +aln(x+1). (1)若 a=-4,写出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围;

2. (本题 10 分) 已知圆 M 的极坐标方程为 ? ?

2 sin(? ?

?
4

) ,现以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,

建立平面直角坐标系。 (1)求圆 M 的标准方程;

x2 ? y 2 ? 1 交于 A,B 两点,求 | MA | ? | MB | 的取值范围。 (2)过圆心 M 的直线 l 与椭圆 2

3. (本题 10 分)用数学归纳法证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n >1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,均有 an+cn>2bn
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24、 (本小题满分 10 分)
2 2 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? an an?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4, 其中 n ? N .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 令 cn ? 1 ? 并加以证明.

n 试比较 Tn 与 9 的大小, , 记数列 {cn } 的前 n 项积为 Tn , 其中 n ? N * , an

高三数学(理)综合练习九附加题答案
21.(1)a=-4,f(x)=x -4ln(x+1)(x>-1),
2

f′(x)=2x- = x+1

4

2?x+2??x-1? (x>-1), x+1

∴当-1<x<1 时 f′(x)<0,当 x>1 时 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.4 分 2x +2x+a (2)f′(x)=2x+ = (x>-1). x+1 x+1 ∵函数 f(x)在[2,+∞)上单调递增,∴2x +2x+a≥0 在[2,+∞)上恒成立,
2

a

2

? 1?2 1 2 令 t=2x +2x=2?x+ ? - (x≥2),则 t≥12,∴a≥-12 ? 2? 2
22. 解 :( 1 ) 由 ? ?
2

2 ? s i n?(?

?
4

? ) ?

s? i? n ?

c? o s x2 ? y 2 ? y ? x , 即 , 得

1 1 1 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 2
1 ? x ? ? t cos ? ? 1 1 ? 2 (2)点 M ( , ) ,设直线 l: ? (t为参数,? 为倾斜角)代入椭圆方程得: 2 2 1 ? y ? ? t sin ? ? ? 2 1 1 5 ( ? t cos ? ) 2 ? 2( ? t sin ? ) 2 ? 2 ? 0 ,即: (1 ? sin 2 ? )t 2 ? (cos ? ? 2sin ? )t ? ? 0 2 2 4 5 5 5 4 故 | MA | ? | MB |?| t1 ? t 2 |? ?[ , ] 。 2 4 8 1 ? sin ?
[来源:Zxxk.Com]

23.证明:(1)设 a、b、c 为等比数列,a=

b ,c=bq(q>0 且 q≠1) q

∴a +c =

n

n

bn n n n 1 n n +b q =b ( n +q )>2b q qn

(2)设 a、b、c 为等差数列, 则 2b=a+c 猜想

a?c n an ? cn * >( ) (n≥ 2 且 n∈N ) 2 2
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下面用数学归纳法证明
2

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[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

①当 n=2 时,由 2(a +c )>( a+c) ,∴

2

2

a2 ? c2 a?c 2 ?( ) 2 2

②设 n=k 时成立,即

ak ? ck a?c k ?( ) , 2 2

1 k+1 k+1 k 1 k k a k ?1 ? c k ?1 1 k+1 k+1 k+1 k+1 k ? 则当 n=k+1 时, (a +c +a +c )> (a +c +a · c+c · a)= (a +c )(a+c) 2 4 4 4
>(

a?c k a?c a ? c k+1 ) ·( )=( ) 2 2 2
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也就是说,等式对 n=k+1 也成立
n n n

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由①②知,a +c >2b 对一切自然数 n 均成立 24

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2 2 (1) 由 an ?1 ? 2an ? an an?1 得 ( an ?1 ? an )(an ?1 ? 2an ) ? 0,? an ? 0,? an ?1 ? 2an ??

an?1 ?2 an

所以数列 {an } 是以 2 为公比的 等比数列 由 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 ?? a1 ? 2 ,故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n , n ? N * (2) Tn ? 9 ,证明如下:构造函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ,则 f ?( x) ?

1 x ?1 ? ? ,故 x ?1 x ?1

f ( x) 在 (0, ??) 上 递 减 , 所 以 f ( x) ?

故 l nx ( f (? 0 ), 0 ?

?1x ) , 所 以

ln cn ? ln(1 ?

n n )? n an 2

1 2 n ? 2 ? ... ? n 2 2 2 1 2 n 1 1 2 n ?1 n 设 S n ? ? 2 ? ... ? n , 则 S n ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? n ? 2 相减得 Sn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2 n?2 故 S n ? 2 ? n ? 2 ?? ln Tn ? 2, ?Tn ? e2 ? 9 2 ? Tn ? c1c2 ...cn ? ln Tn ? ln c1 ? ln c2 ? ... ? ln cn ?


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