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3.2.1常见函数的导数 作业2 2017-2018学年高中数学选修1-1苏教版

自我小测 1.若 f(x)=3,则 f′(3)=__________. 2.已知 f(x)=xα,若 f′(-1)=-4,则 α 等于__________. 3.已知 f(x)=kx+3,若 f′(2)=3,则 k 等于__________. 4.已知函数 y=x3 的切线的斜率等于 1 ,则这样的切线有__________条. 5.曲线 f (x) ? 1 4 x3 在 x=1 处的切线的倾斜角的正切值为__________. 1 ? π π? , ? 上切线斜率为2的点是__________. ? 2 2? 6.函数 y=cos x,x∈ ? ? 7.函数 y=ln x 在点(e,1)处的切线方程为__________. 8.设直线 y=e2x+b 是曲线 y=ex 的一条切线,则 b=__________. 9.求下列函数的导数: x2 1 x x (1) y ? 5 ;(2) y ? ;(3) y ? 2sin cos . x 2 2 x 10.求证:双曲线 xy=k(k≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常 数. 参考答案 1.答案:0 解析:∵3 是常数,∴f′(x)=0,∴f′(3)=0. 2.答案:4 解析:∵f′(x)=α· xα 1, - ∴f′(-1)=α· (-1)α 1=-4,∴α=4. - 3.答案:3 解析:∵f′(x)=k,∴f′(2)=k=3.∴k=3. 4.答案:两 解析:设切点为(x0,x03). ∵y′=3x2,∴3x02=1, ∴ x0 ? ? 5.答案: ? ∴f′(1)= ? 3 ,即切点有两个,故斜率为 1 的切线有两条. 3 3 4 3 . 4 3 ,∴正切值 4 解析:∵f′(x)=(x- 3 3 7 )′= ? x ? , 4 4 4 而直线倾斜角的正切值就是直线的斜率,由导数的几何意义知,斜率为 ? 为? 3 . 4 6.答案: ? ? ? π 3? ? 6, 2 ? ? ? ? 解析:设切点为(x0,y0),x0∈ ? ? ? π π? , . ? 2 2? ? ∵y′=-sin x,∴-sin x0= 又∵x0∈ ? ? 当 x0 ? ? 1 , 2 π ? π π? , ? ,∴ x0 ? ? . 6 ? 2 2? π 3 时, y0 ? . 6 2 ∴切点为 ? ? ? π 3? ? 6, 2 ? ?. ? ? 1 , x 7.答案:x-ey=0 解析:∵y=ln x,∴ y' ? ∴在点(e,1)处的切线斜率为 k ? ∴切线方程为 y-1= 1 , e 1 (x-e),即 x-ey=0. e 8.答案:-e2 解析:设切点为(x0,y0),则由 y′=ex, ∴ e 2=e 0 , ∴x0=2,代入 y=ex 得 y0=e2. 又∵y0=e2x0+b,∴b=e2-2e2=-e2. 9.答案:解:(1)∵y= (2)∵ y ? x 1 5 - - - =x 5,∴y′=(x 5)′=-5x 6= ? 6 . 5 x x 3 3 x2 3 1 3 x. ? x 2 ,∴ y' ? (x 2 )' ? x 2 ? 2 2 x (3)∵y= 2sin x x cos =sin x,y′=(sin x)′=cos x. 2 2 10.答案:证明:设双曲线上任一点 P(x0, ∵y? k ). x0 k k k ,∴ y' ? ? 2 ,∴当 x=x0 时,导数 y' ? ? 2 , x x x0 ∴过点 P 的切线方程为 y ? k k ? ? 2 ? x ? x0 ? . x0 x0 令 y=0,则 x=2x0;令 x=0,则 y ? ∴三角形的面积 S= 2k . x0 2k 1 1 |x|· |y|= |2x0|· =2|k|(常数), x0 2 2 ∴问题得证.

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