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4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》第二课时


4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
第二课时

一、教学目标:
1.掌握

y ? sin x 、 y ? cos x 的定义域、值域;

2.会求含有 sin x 、 cos x 的三角式的定义域; 3.能应用

y ? sin x 、 y ? cos x 的定义域、值域求含有 sin x 、 cos x 的函数的最值;

4.培养学生归纳、综合能力,激发学生学习数学的兴趣,树立学生学好数学的信心.

二、教学重难点:
重点:正弦、余弦函数的性质. 难点:求函数的值域.

三、教学过程:
(一)设置情境: 前面一节课已经学习了正弦、余弦函数图象的画法,这节课共同来研究这两个函数的一些性质.研究 一个函数通常要研究它的定义域、值域、单调性、奇偶性等. 我们先来研究正、余弦函数是两条最基本的性质——定义哉和值域(板书课题) . (二)新课讲解: 1.正弦、余弦函数的定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是 x ? R . 2.正、余弦函数的值域: 正弦函数、余弦函数的值域都是 3.正、余弦函数的最值: (1) y

?? 1, ,即 sin x ?1, cos 1?

x1 ?

,称为正弦函数、余弦函数的有界性.

? ? ? sin x , 当 x ? 2k? ? (k ? z ) 时, y max ? 1; 当 x ? 2k? ? (k ? z ) 时, y max ? ?1 . 2 2
当 x ? 2k? (k ? z ) 时,

(2)

y ? cos x ,

y max ? 1 ;

当x

? ? 2k ? 1? ? (k ? z ) 时, y max ? ?1 .

说明:函数

y ? A sin(? x ? ? ) , x ? R 的最值:最大值 | A | ,最小值 ? | A | .

4.例题分析: 例 1.求下列函数的定义域、值域: (1)

y ? 2 ? sin x ;
1 sin x ? 1
2

(2)

y ? ? 3 sin x ;
sin x sin x ? 2

(3)

y ? lg ?sin x ? ;

(4) y ?



(5) y ?

解: (1) x ? R , (2)定义域为

y ? [1,3] ;

??2k ? 1??,k? ?( k ? Z ) 2 ,值域为 ?0,3 ? ;

(3)定义域为

?2k?, k ? 1?? ? ( k ? Z ) ?2 ,值域为 ?? ?, ; 0?
1 ? y ? 1} ; 2

(4)定义域为 R,值域为 { y |

(5)法一: (反解)sin x

?

2y 2y 1 , ∴ ?1 ? sin x ? 1 , ∴ ?1 ? ? 1 ,解得 ?1 ? y ? ; y ?1 3 1? y

法二: (部分分式)∴定义域为 R,值域为 { y | ?1 ? 例 2.已知函数 (1)

1 y ? }. 3

1 y ? f ( x) 的定义域是 [0, ] ,求列函数的定义域: 4
(2)

1 f (cos 2x ? ) 2 1 1 1 解: (1)由 0 ? sin 2x ? ? ? ? sin x ? 4 2 2

f (sin 2x) ;

? 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?
1 2

?
6

or 2k? ?
? 2 2

5? 7? ? x ? 2 k? ? 6 6
3 2 or ? 3 2

∴ x ? [k?

? ? ? , k? ? ](k ? Z ) 6 6
2 2

(2)法一:由 0 ? cos 2x ?

?

1 4

? cos x ?

? cos x ? ?

法二:

? cos x ?
2

1 2

?

1 ? cos 2 x 2

?

1 2

?

cos 2 x 2

,? 0 ? cos 2 x ?

1 2



故定义域为 [2k?

?

?

? ? ? , 2k? ? ] ? [2k? ? , 2k? ? ]( k ? Z ) . 2 3 3 2
(2)

例 3. (P59 例 2)求下列函数的最大值,并求出最大值时 x 的集合: (1)

y ? cos x ? 1 , x ? R ;

y ? sin 2 x , x ? R ;

(3)

y ? a cos x ? b .

解: (1)当 x ?{x | x ? 2k? , k ? Z } ,函数

y ? cos x ? 1 取得最大值是 1 ? 1 ? 2 .

(2)当 x ? ? x

? ? ? x ? k? ? ,k ? Z ? 函数取得最大值 ymax ? 1 . 4 ? ?

(3)若 a ? 0 ,则当 cos x ? ?1 ,即 若a

? x x ? 2k? ? ?,k ? Z? 时,

ymax ? ?a ? b .

? 0 ,则 y ? b ,此时函数为常数函数,无最值.

(三)练习:P63 练习 1、2、4 (四)小结:

y ? sin x , y ? cos x 的定义域均为 R ; 1? 2. y ? sin x 、 y ? cos x 的值域都是 ?? 1, ; 3.最大值或最小值都存在,且取得最值的 x 集合为无限集.
1.

四、作业:P64 习题 2、8、9



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