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2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量 平面向量数量积的综合应用课件 北师大版必修4_图文

习题课——平面向量数量积的综合应用

学习目标

思维脉络

1.进一步加深对向量数 量积定义的理解. 2.掌握向量数量积的运 算律、坐标运算及有关

度量公式. 3.能利用向量数量积知 识解决平面几何中的垂

直、夹角、长度等问题. 4.能利用平面直角坐标 系,用代数的方法证明 有关垂直、解决有关最

值等综合性问题,并与 几何法进行比较.

一、向量的射影
1.设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ,则向量 b 在 a 方向上的射影为|b|cos θ=|·| . 2.设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ,则向量 a 在 b 方向上的射影为|a|cos θ=·.
| |
二、向量数量积的坐标表示
已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么 1.a·b=x1x2+y1y2 且 a·b=0?a⊥b?x1x2+y1y2=0.(解决垂直问题常用 公式)
2.|a|= 12 + 12且 a2=|a|2=12 + 12.(解决距离问题常用公式)

三、向量数量积的运算律
1.交换律:a·b=b·a. 2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
注意:①数量积不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c)≠a·b·c. ②a·b=0 a=0 或 b=0. ③a·b=a·c b=c.
四、重要公式(结论) 1.(a+b)·(a-b)=a2-b2.
2.(a±b)2=a2±2a·b+b2.
3.在△ABC 中,若 · = · = ·,则 O 为△ABC 的垂心.
4.在△ABC 中,若||=||=||,则 O 为△ABC 的外心.
5.在△ABC 中,若 + + =0,则 O 为△ABC 的重心.

做一做 1 (2015 福建高考)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实

数 k 的值等于( )

A.-3

B.-5

C.5

D.3

2

3

3

2

解析:∵a=(1,2),b=(1,1),

∴c=(1+k,2+k).

∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0. ∴k=-3.故选 A.
2
答案:A

做一做 2 已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 2,则|b|等于

()

A. 5

B. 10

C.5

D.25

解析:|a|= 5,|a+b|=5 2,∴|a|2+2a·b+|b|2=50,∴|b|=5.

答案:C

做一做 3 已知|a|=4 3,|b|=1,且 a·b=-3,则 a 与 b 的夹角

2



.

解析:由夹角公式直接代入求解即可.设 a,b 的夹角为 θ,则由 cos

θ=||·|

可得
|

cos

θ=
4

-3 3×

1=-
2

23.又∵θ∈[0,π],∴θ=56π.

答案:5π

6

做一做 4 已知 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证: ⊥ ;

(2)若四边形 ABCD 是矩形,求 C 点坐标,并求两对角线所成锐

角的余弦值.

(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),

∴ ·=1×(-3)+1×3=0,∴ ⊥ .

(2)解:∵四边形 ABCD 为矩形,且 AB⊥AD,

∴ = .

设 C 点坐标为(x,y),则(-3,3)=(x-3,y-2),

∴x-3=-3,y-2=3,∴x=0,y=5,∴C 点坐标为(0,5),

∴=(-2,4),∴||=2 5.

又∵=(-4,2),∴||=2 5.

设与所成的锐角为 θ,

则 cos θ=||·|| = 2

16 5×2

5 = 45,

即该矩形两对角线所成锐角的余弦值为4.
5

探究一

探究二

易错辨析

探究一平面向量数量积的基本运算

【例 1】 (1)已知等边△ABC 的边长为 2,设=a,=b,=c,则

a·b+b·c+c·a=

.

(2)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=

.

(3)已知向量 a∥b,b=(1,2),|a·b|=10,则 a 的坐标



.

探究一

探究二

易错辨析

解析:(1)由已知得a·b+b·c+c·a=|a||b|cos 120°+|b||c|cos 120°+|c||a|cos 120°=-6.
(2)由|a+b|2=(a+b)2,可得a2+2a·b+b2=576, 所以169+2a·b+361=576, 所以2a·b=46. 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=169-46+361=484,所以|a-b|=22. (3)因为a∥b,
所以设a=λb(λ∈R),所以a=(λ,2λ),所以|a·b|=|λ+4λ|=10,所以λ=±2,
所以a=(2,4)或a=(-2,-4). 答案:(1)-6 (2)22 (3)(2,4)或(-2,-4)

探究一

探究二

易错辨析

探究一

探究二

易错辨析

变式训练 1 (1)若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的射影



,b 在 a 方向上的射影为

.

(2)已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.

①求 a,b 的夹角;

②求|a+b|.

(1)解析:|a|= 13,|b|= 65,a·b=2×(-4)+3×7=13,∴a 在 b 方向上

的投影为|a|cos θ=· = 13 = 65,b 在 a 方向上的投影为|b|cos

| |

65 5

θ=|·| =

13 =
13

13.

答案:

65 5

13

探究一

探究二

易错辨析

(2)解:①由(2a-3b)·(2a+b)=61,得 4a2-4a·b-3b2=61,
又因为|a|=4,|b|=3,所以 a·b=-6.设 a,b 夹角为 θ,则 cos θ=||·|| =
1-62=-12, 所以 θ=120°.
②|a+b|2=a2+2a·b+b2=16-12+9=13.
所以|a+b|= 13.

探究一

探究二

易错辨析

探究二数量积的综合应用

【例 2】 (1)(2015 四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边 形,||=6,||=4.若点 M,N 满足=3, =2,则 ·

=( )

A.20

B.15

C.9

D.6

(2)O 为坐标原点,向量=(2,2),=(4,1),在 x 轴上有一点 P 使

·有最小值,则点 P 的坐标是( )

A.(-3,0) B.(2,0)

C.(3,0) D.(4,0)

解析:(1)如图所示,在?ABCD 中,||=6,||=4.

探究一

探究二

易错辨析

∵ = , =3,

∴ = 3 , =-1 .

4

4

又 = , =2,∴ = 1 .

3

又 = + = 1 ? 1 ,

3

4

= + = + 3 ,
4

∴ · = + 3 · 1 - 1

4

3

4

=1 ||2-1 · + 3 × 1 · ? 3 × 1 ||2

3

4

43

44

=1
3

| |2-136

| |2= 13×62-136×42=12-3= 9.故 选

C.

(2)设点 P 的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1). ·

=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当 x=3 时, ·有最

小值 1,

∴点 P 的坐标为(3,0).故选 C.

答案:(1)C (2)C

探究一

探究二

易错辨析

探究一

探究二

易错辨析

变式训练 2 (2015 湖北高考)已知向量 ⊥ ,||=3,则 ·

=

.

解析:∵ · = ·( + )=||2+ ·.

又 ⊥ ,||=3.∴ ·=9.

答案:9

探究一

探究二

思想方法

几何法与代数法在解决数量积最值问题中的对比

典例 (2015 湖南高考)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB

⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( )

A.6

B.7

C.8

D.9

思路点拨:本题可借助数形结合的思想,也可以利用数量积的坐

标形式加以解决.

探究一

探究二

思想方法

解析一:画出图形,利用向量加法的几何意义通过数形结合求解. AC 为 Rt△ABC 的斜边,则 AC 为圆 x2+y2=1 的一条直径,故 AC 必经过原点,如图,则 + =2,| + + |=|2 + |≤2||+||,当 P,O,B 三点共线时取等号,即当 B 落在点(-1,0) 处时| + + |取得最大值,此 时,=(-2,0),=(-3,0),2||+||=2×2+3=7,故| + + | 的最大值为 7.

探究一

探究二

思想方法

解法二:利用向量的线性运算及数量积求解. 同解析一,得| + + |=|2 + |. 又 = ? ,
∴| + + |=|2 + ? |=|-3|

= 2 + 92-6·

= 12 + 9 × 22-6 × 1 × 2cos∠

= 37-12cos∠ ≤ 37 + 12=7,
当且仅当∠POB=180°时取“等号”,故| + + |的最大 值为 7.

探究一

探究二

思想方法

解析三:设出点 B 的坐标,转化为坐标运算求解. 同解析一,得| + + |=|2 + |. 设 B(cos α,sin α),则|2 + |=|2(-2,0)+(cos α-2,sin
α)|=|(-6+cos α,sin α)|= (-6 + cos)2 + sin2 = 37-12cos ≤
37 + 12=7(当 cos α=-1,即 B 落在点(-1,0)处时取等号). 故| + + |的最大值为 7.

探究一

探究二

思想方法

123456

1.已知向量 a=(1,x),b=(-1,x),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=( )

A. 2

B. 3

C.2

D.4

解析:由题意知 2a-b=(3,x),∵2a-b 与 b 垂直,

∴(2a-b)·b=(3,x)·(-1,x)=0,∴x2=3.

则|a|= 1 + 2 = 1 + 3=2.故选 C.

答案:C

123456

2.在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是( )

① ? = ;② + + =0;③若( + )·( ? )=0,

则△ABC 为等腰三角形;④若 ·>0,则△ABC 为锐角三角形.

A.①②

B.①④

C.②③ D.②③④

解析:在△ABC 中, ? = ,①错误;若 ·>0,则∠B 是钝

角,△ABC 是钝角三角形,④错误.

答案:C

123456
3.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点 M 在 AB 边 上,且 AM=13AB,则 ·等于( )

A.-

3 2

B.

3 2

C.-1

D.1

解析: = + = + 1 , = + ,

3

所以 · =

+ 1
3

·( + )=2+

1 3

2

+

4 3



· =1+43

?

4 3



·

=

7 3

?

4 3

| |·| |cos

60°=7 ? 4×1×2×1=1.选 D.

33

2

答案:D

123456

4.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则 cos

θ=

.

解析:b=12a+12(-1,-1)=(1,1),则 a·b=6,
又|a|=3 2,|b|= 2,∴cos θ= · = 6=1.
|||| 6

答案:1

123456
5.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1)若a⊥b,求x的值; (2)若a∥b,求|a-b|.
解:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,即x2-2x-
3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.当
x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(1,2),a-b=(2,-4),|a-b|= 4 + 16 =2 5 .

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6.已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点, 且 AE=2EB,求证:AD⊥CE. 证明:

建立如图所示的平面直角坐标系,

设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y).

∵D 是 BC 的中点,

∴D

0,

2

.

又∵ =2 ,


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