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高中数学文科数学公式小结


一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数.

2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f (x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x , 都有 f (? x) ? ? f ( x) , f (x) 是奇函数。 则 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称。

3、函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )

4、几种常见函数的导数 ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
'
n ' x ' x n ?1


x

③ (sin x) ? cos x ;④ (cos x) ? ? sin x ;
' '

⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;
x '

1 1 ' ⑦ (log a x) ? ;⑧ (ln x) ? x ln a x
'

5、导数的运算法则

u ' u 'v ? uv ' ' ' ' ' ' ' (v ? 0) (1) (u ? v) ? u ? v . (2) (uv) ? u v ? uv . (3) ( ) ? 2 v v

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.

二、三角函数、三角变换、解三角 形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式 sin? . sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
cos?

9、正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时 该函数的符号; ? k? ? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐
2

角时该函数的符号。

10、和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

11、二倍角公式
sin 2? ? sin ? cos? .
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2

12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, >0)的周期 T ? 2? ; ω 函数 y ? tan(? x ? ? ) ,x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω , ? 为 常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? ? .
?
?
2

13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式
b y ? a sin x ? b cos x ? a ? b sin(x ? ? ) 其中 tan? ? a
2 2

15、正弦定理
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

16、余弦定理
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ;

b2 ? c2 ? a 2 ? 2ca cos B ;
c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

17、三角形面积公式
1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2

18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 19、 a 与 b 的数量积(或内积)
a ? b ?| a | ? | b | cos?

20、平面向量的坐标运算 ??? ??? ??? ? ? ? (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y) ,则 a
? x2 ? y2

21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则
cos? ? a ?b ab ? x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

22、向量的平行与垂直
a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系
? s1 , n ? 1 an ? ? ( ? sn ? sn ?1 , n ? 2

数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ).

24、等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

25、等差数列其前 n 项和公式为
sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

26、等比数列的通项公式 a an ? a1q n ?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ;
q

27、等比数列前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1



? a1 ? an q ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

四、不等式
28、已知 x, y 都是正数,则有 x ? y ?
2 xy ,当 x ? y 时等号成立。
p;

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2
4

(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 1 s 2 .

五、解析几何
29、直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式 (5)一般式
y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

Ax ? By ? C ? 0 (其中

A、B 不同时为

30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .
31、平面两点间的距离公式 d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

32、点到直线的距离
d? | Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程 (3)圆的参数方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0) ? x ? a ? r cos ? . ? ? y ? b ? r sin ?

34、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 其中 d ?
Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
x2 y 2 椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a 2 ? c 2 ? b 2 ,离心率 e ? c ? 1 ,参数方程是 a b a ? x ? a cos ? . ? y ? b sin ? ? x2 y2 双曲线: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? c ? 1 ,渐近线 a a b

方程是 y ? ? b x .
a

抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 ( p ,0) ,准线 x ? ? p 。抛物线上的点到焦点距
2 2

离等于它到准线的距离.

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2 y2 x2 y 2 (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? b x . a b a b a x2 y2 x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a x2 y2 x2 y2 (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 , a b a b

焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 37、抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x0 ? p .(抛物线上的点到焦点距离等
2

于它到准线的距离。 ) 38、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ? p ? x2 ? p ? x1 ? x2 ? p .
2 2

六、立体几何
? 39、证明直线与直线平行的方法 ? (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相 等) ? 40、证明直线与平面平行的方法 ? (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平 面内的一条直线平行) ? (2)先证面面平行 ? 41、证明平面与平面平行的方法 ? 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分 别与另一平面平行) ? 42、证明直线与直线垂直的方法 ? 转化为证明直线与平面垂直 ? 43、证明直线与平面垂直的方法 ? (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交 直线垂直) ? (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平 面内垂直交线的直线垂直另一个平面)

44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面 垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 2 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r 2 1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高).
3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 球的半径是 R ,则其体积 V ? 4 ? R3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算 平均数: x ? x1 ? x2 ? ? xn
n

方差: s 2 ? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ]
n

标准差: s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] n

50、回归直线方程
n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? i ?1 ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树 状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、 不遗漏)


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