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北京市西城区2014年高三一模数学文科试题及答案_图文

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北京市西城区 2014 年高三一模试卷 数 学(文科)
2014.4

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设全集 U ? {x | 0 ? x ? 2} ,集合 A ? {x | 0 ? x≤1} ,则集合 ? U A?( (A) (0,1) (B) (0,1] (C) (1, 2) )

(D) [1, 2)

2.已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? (1,3) ,那么 | a + b | 等于( (A) 5 (B) 13 (C) 17

) (D) 13

3.已知双曲线 C : 率为( )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则此双曲线的离心 a 2 b2

(A) 2

(B) 2

(C) 3

(D) 5

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为( (A) 2 )
2 2

4 (B) 3
(C) 4 (D) 5
1

3

1

正(主)视图

侧(左)视图

5

俯视图

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5 .下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? π) ? f ( x ) 的函数是 ( ) (B) f ( x) ? sin 2 x (C) f ( x) ? cos x (D) f ( x) ? cos 2 x

(A) f ( x) ? sin x

6. 设 a ? 0 ,且 a ? 1 ,则“函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是减函数”是“函数 y ? (2 ? a ) x 在
3

R 上是增函数”的(

) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

7.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用 2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该设 备使用了 n(n ? N ) 年后, 盈利总额达到最大值 (盈利额等于收入减去成本) , 则 n 等于 ( (A) 4 (B)5 (C)6 (D)7
?



8. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合 的一点,由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有( ) B

A

.P C

D

(A) 4 个

(B)6 个

(C)10 个

(D)14 个

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第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设复数

1? i ? x ? yi ,其中 x, y ? R ,则 x ? y ? ______. 2?i

10.若抛物线 C: y ? 2 px 的焦点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,则 p ? _____; C 的准线方程为
2

_____.

? x ? 3, x≤0, ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 2 ,则实数 x0 ? ______;函数 f ( x) 的最大 , x ? 0, ? ? x ?1
值为_____. 12.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2, b ? 2 ,那么输出的 a 值为______.
开始

? x≥1, ? y≥0, ? 13. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个 ?2 x ? y ≤ 6, ? ? x ? y≤a 四边形,则实数 a 的取值范围是__________.
14 . 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AB //CD ,

输入 a, b 是

log3 a ? 4


输出 a

a?a

b

结束

D P A

C

AB ? BC , AB ? 2 ,CD ? 1 , BC ? 2 ,P 为线段 AD (含端点)
上 一 个 动 点 . 设 AP ? x AD , PB ? PC ? y , 记 y ? f ( x) , 则

f (1) ? ____; 函数 f ( x) 的值域为_________.

B

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 a 的值. 3

16. (本小题满分 13 分) 某批次的某种灯泡共 200 个,对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根 据寿命将灯泡分成优等品、 正品和次品三个等级, 其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等 品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 频率

[100, 200) [200,300) [300, 400) [400,500) [500, 600)
合计

10 30 70

0.05

a
0.35

b
60 200

0.15

c

(Ⅰ )根据频率分布表中的数据,写出 a,b,c 的值; (Ⅱ )某人从这 200 个灯泡中随机地购买了 1 个,求此灯泡恰好不 是次品的概率; . (Ⅲ)某人从这批灯泡中随机地购买了 n(n ? N ) 个,如果这 n 个灯泡的等级情况恰好 与按 三个 等级分层抽样 所得的结果相同,求 n 的最小值. . .. ......
?

17. (本小题满分 14 分)

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如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD ? 2 AB , SA ? SD , SA ? AB , N 是棱 AD 的中点. (Ⅰ)求证: AB // 平面 SCD ; (Ⅱ)求证: SN ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在棱 SC 上是否存在一点 P,使得平面 PBD ? 平 面 ABCD ?若存在,求出 B A

S

N C

D

SP 的值;若不存在,说明理由. PC

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 W: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜 b2

率为 ?1 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程. (Ⅱ) 设斜率为 k 的直线 l 与 W 相交于 A, B 两点, 记 ?AOB 面积的最大值为 S k , 证明:

S1 ? S 2 .

20. (本小题满分 13 分)

1 (n ? N? ) . 从数列 {an } 中选出 k (k ? 3) 项并按原顺序组成的新 n 1 1 1 1 数列记为 {bn } , 并称 {bn } 为数列 {an } 的 k 项子列. 例如数列 , , , 为 {an } 的一个 4 项子 2 3 5 8
在数列 {an } 中, an ? 列. (Ⅰ)试写出数列 {an } 的一个 3 项子列,并使其为等比数列; (Ⅱ) 如果 {bn } 为数列 {an } 的一个 5 项子列, 且 {bn } 为等差数列, 证明:{bn } 的公差 d

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满足 ?

1 ?d ?0; 4

( Ⅲ ) 如 果 {cn } 为 数 列 {an } 的 一 个 6 项 子 列 , 且 {cn } 为 等 比 数 列 , 证 明 :

c1 ? c2 ? c 3 ?c4 ? c5 ? c6 ≤

63 . 32

北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(文科)
2014.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.B 6.A 3.D 7.B 4.C 8.C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?

2 5

10. 4

x ? ?2

11. ?1 13. (3,5)

3

12. 256 14.

4 [ , 4] 5

注:第 10、11、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 所以 cos A ? 分 又因为 A ? (0, π) , 所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

?????? 4

π . 3

?????? 6

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分 (Ⅱ)解:因为 cos B ?

6 , B ? (0, π) , 3 3 , 3
??????8

所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 分 由正弦定理 分 得 a? 分

a b , ? sin A sin B

??????11

b sin A ? 3. sin B

??????13

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: a ? 0.15 , b ? 30 , c ? 0.3 . 分 (Ⅱ)解:设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件 A . 分 由表可知:这批灯泡中优等品有 60 个,正品有 100 个,次品有 40 个, 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为 P ( A) ? 分 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为 60 :100 : 40 ? 3 : 5 : 2 . ?????? 10 分 所以按分层抽样法,购买灯泡数 n ? 3k ? 5k ? 2k ? 10k (k ? N ) , 所以 n 的最小值为 10 . 分 ?????? 13
?

?????? 3

?????? 4

100 ? 60 4 ? . ????? 8 200 5

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是矩形,

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所以 AB //CD , 分 又因为 AB ? 平面 SCD , CD ? 平面 SCD , 所以 AB // 平面 SCD . 分 (Ⅱ)证明:因为 AB ? SA, AB ? AD, SA 所以 分 又因为 SN ? 平面 SAD , 所以 AB ? SN . 分 因为 SA ? SD ,且 N 为 AD 中点, 所以 SN ? AD . 又因为 AB

?????? 1

?????? 3

AD ? A ,
?????? 5

AB ? 平面 SAD,

?????? 6

AD ? A ,
?????? 8

所以 SN ? 平面 ABCD . 分

(Ⅲ)解:如图,连接 BD 交 NC 于点 F,在平面 SNC 中过 F 作 FP //SN 交 SC 于点 P,连 接 PB,PD. 因为 SN ? 平面 ABCD , 所以 FP ? 平面 ABCD . 又因为 FP ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 ABCD . 在矩形 ABCD 中,因为 ND //BC , 所以 ????? 12 分 A B ????? 11 分 N F C S P N D

NF ND 1 ? ? . FC BC 2

在 ?SNC 中,因为 FP //SN , 所以

NF SP 1 ? ? . FC PC 2

则在棱 SC 上存在点 P,使得平面 PBD

? 平面 ABCD ,此时

SP 1 ? . ??? 14 PC 2

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分 18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ln x ? 分 所以 f ?(1) ? 3 , 又因为 f (1) ? ?2 , 所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 . 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? ? x ? 2 ,得 ln x ? 即 a ? x ln x ? x 2 ? 2 x . 分 设函数 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? 2 x , 则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 , 分 因为 x ? (1, ??) , 所以 ln x ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ? 0 , 分 故函数 g ( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?1 . 分 因为对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 成立, 所以对于任意 x ? (1, ??) ,都有 a ? g ( x) 成立. 所以 a≤ ? 1 . ?????? 13 ?????? 11 ?????? 10 ?????? 8 ?????? 4

1 2 2 ,得 f ?( x) ? ? 2 , x x x

?????? 2

a ? ?x ? 2 , x
?????? 6

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19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,得椭圆 W 的半焦距 c ? 1 ,右焦点 F (1, 0) ,上顶点 M (0, b) ,?? 1 分 所以直线 MF 的斜率为 k MF ? 解得 b ? 1 , 分 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,得 a 2 ? 2 ,

b?0 ? ?1 , 0 ?1
?????? 3

x2 所以椭圆 W 的方程为 ? y 2 ? 1. 2


?????? 5

(Ⅱ)证明:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,其中 k ? 1 或 2, A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) .? 6 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
分 所以 ? ? 16k 2 ? 8m 2 ? 8 ? 0 , 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? 分 所以 | AB |? 1 ? k 分 因为原点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ? 分 所以 S ?AOB ?
2

?????? 7

(*)

2m 2 ? 2 ?4km , . x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?????? 8

1? k 2 ?4km 2 2m 2 ? 2 ( ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

8(2k 2 ? m 2 ? 1) . ?? 9

|m| 1? k 2



?????? 10

2 1 m 2 (2k 2 ? m 2 ? 1) , | AB | ?d ? 1 ? 2k 2 2

?????? 11

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分 当 k ? 1 时,因为 S ?AOB ?

2 m 2 (3 ? m 2 ) , 3

所以当 m 2 ?

2 3 时, S ?AOB 的最大值 S1 ? , 2 2
?????? 12

验证知(*)成立; 分 当 k ? 2 时,因为 S ?AOB ?

2 m 2 (9 ? m 2 ) , 9

所以当 m 2 ?

2 9 时, S ?AOB 的最大值 S 2 ? ; 2 2

验证知(*)成立. 所以 S1 ? S 2 . 分 注:本题中对于任意给定的 k , ?AOB 的面积的最大值都是 ?????? 14

2 . 2

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:答案不唯一. 如 3 项子列: 分 (Ⅱ)证明:由题意,知 1≥b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 0 , 所以 d ? b2 ? b1 ? 0 . 分 因为 b5 ? b1 ? 4d , b1 ≤ 1, b5 ? 0 , 所以 4d ? b5 ? b1 ? 0 ? 1 ? ?1 , 解得 d ? ? ?????? 4

1 1 1 , , . 2 4 8

?????? 2

1 . 4

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所以 ? 分

1 ?d ?0. 4

?????? 7

(Ⅲ)证明:由题意,设 {cn } 的公比为 q , 则 c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? q 4 ? q 5 ) . 因为 {cn } 为 {an } 的一个 6 项子列, 所以 q 为正有理数,且 q ? 1 , c1 ? 分 设 q?

1 ≤1 (a ? N? ) . a

?????? 8

K ( K , L ? N? ,且 K , L 互质, L≥2 ). L 1 1 ≤ , L 2

当 K ? 1 时, 因为 q ?

所以 c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? q 4 ? q 5 )

≤1 ?
所以 c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ≤ 分 当 K ? 1 时, 因为 c6 ? c1q ?
5

1 1 2 1 3 1 4 1 5 ?( ) ?( ) ?( ) ?( ) , 2 2 2 2 2
?????? 10

63 . 32

1 K5 是 {an } 中的项,且 K , L 互质, ? a L5
*

所以 a ? K ? M ( M ? N ) ,
5

所以 c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? q 4 ? q 5 )

?
* 因为 L≥2 , K , M ? N ,

1 1 1 1 1 1 1 ( 5 ? 4 ? 3 2 ? 2 3 ? 4 ? 5). M K K L K L K L KL L

所以 c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ≤1 ? 综上, c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ≤ 分

1 1 2 1 3 1 4 1 5 63 . ?( ) ?( ) ?( ) ?( ) ? 2 2 2 2 2 32
?????? 13

63 . 32


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