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二次函数值域


二次函数的值域

一、复习旧知:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
定义域
判别式

R a>0
y
o y x

a<0
y o y o x y o x x x

△>0 图 △=0

x

o

象 △<0

y o

对称性 单调性 最值

关于 x=-

b 2a

对称
x∈(-∞, x∈[ b ]单调递增 2a b , +∞)单调递减 2a 4ac-b2 4a

b x∈(-∞, ]单调递减 2a b x∈[ , +∞)单调递增 2a

最小值为

4ac-b2 4a

最大值为

二、典型题探究:
例1.已知函数y=x2-2x-3,求x在下列范围内函数的值域. (1)x∈R (2)0≤x≤3 (3)-2≤x≤0 (4)3≤x≤4
y

解:配方得: y=(x-1)2-4

(1) ∵x∈R
∴y≥-4 ∴值域为[-4,+∞) (2) ∵0≤x≤3 ∴值域为[-4,0] (3) ∵-2≤x≤0 ∴值域为[-3,5] (4) ∵3≤x≤4
-3 -4 -1 O

1

3

x

∴值域为[0,5]

例2.求y=x2-2x+3在[0,a]上的值域.
解: 配方得:
y=(x-1)2+2
Y

讨论:
(1) 当0<a≤1时

值域为[a2-2a+3,3]
(2) 当1<a<2时

3 2

值域为[2,3]
(3) 当a≥2时

O a 1

X

值域为[2, a2-2a+3]

四、小结: 1.求函数值域就是确定函数图象最高 点和最低点的函数值

2.解决二次函数值域问题的一般步骤: (1).配方; (2).画图象; (3).看区间; (4).确定值域。

三、巩固练习: 1.求下列函数值域:

(1).y=x2-2x-3(-5≤x≤0) ;

([-3,32])

(2). f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]); ([5,9]) 2.函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大 值3,最小值2,求m的取值范围. ([1,2])

五、布置作业:
1.求f(x)=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域。 2.已知二次函数f(x)的图象的对称轴为x=x0,它在 [a,b]上的值域为[f(b),f(a)],则(
?

)

A. x0? b C.x0∈[a,b]

B. x0 ? a D.x0?[a,b]

3.函数y=x2+2(a-1)x+2的最小值为2,求a的值.


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