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漯河高中2018届高三数学期中考试试卷

漯河高中 2018 届高三理科期中考试试卷 数 学(理)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一个是符合题目要求的.

1.已知U

??y

|

y

?

log2

x,

x

? 1? ,

P

?

? ?

y

?

|

y

?

1 x

,

x

?

2?? ?

,则 CU

P

?

(

)

A.[1 , ??) 2

B. (0, 1) 2

C. (0, ??)

D. (??, 0] [1 , ??) 2

2.

已知复数 z

? 3 ? 3 ? 4i 4 ? 3i

,则 z

?(



A. 3 ? i

B. 2 ? 3i

C. 3 ? i

D. 2 ? 3i

3. 由曲线 xy ? 1,直线 y ? x, x ? 3 所围成的封闭图形的面积为(

)

11
A.
6

9
B.

C. 1 ? ln 3

D. 4 ? ln 3

2

2

4. 将函数 f (x) ? sin(?x ??), (? ? 0,| ? |? π) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半, 2

纵坐标不变,再向右平移 π 个单位长度得到 y ? sin x 的图象,则 f ( π ) ? (



4

6

A. ? 1 2

1
B.
2

C. ? 3 2

3
D.
2

5. 已知数列{an }中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,若利用如图所示的程序框图

计算该数列的第 11 项,则判断框内的条件是(

)

A. n ? 8? B. n ? 9? C. n ? 10? D. n ? 11?

6.

设双曲线 y2 a2

?

x2 b2

? 1 的一条渐近线与抛物线 y

?

x2

? 1 相切,则双曲线的离心率为(



A. 5 4

B. 5 2

C. 5

7.下列命题中: ①“ x ? y ”是“ x2 ? y2 ”的充要条件;

D. 5

②已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,? 2 ) , P(X ? 6) ? 0.72 ,则 P(X ? 0) ? 0.28 ;

③若 n 组数据 (x1, y1),(x2, y2 ),???,(xn, yn ) 的散点图都在直线 y ? ?2x ?1上,则这 n 组数据的 相关系数为 r ? ?1;

④函数 f (x) ? (1)x ? x 的所有零点存在区间是 (1 , 1) .其中正确命题的个数是(

)

3

32

A.1

B.2

C.3

D.4

高三数学试卷第 1 页(共 2 页)

?x ? y ?2 ? 0

8. 若 x, y 满足 ??kx ? y ? 2 ? 0 ,且 z ? x ? y 的最小值为 ?2 ,则 k 的值为(

)

?? y ? 0

A .1

B . ?1

C .2

D . ?2

9. 在 △ABC 中 , ∠A 、 ∠B 、 ∠C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若 △ABC 的 面 积

S ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ,则 cos A ? (

)

8 A. 17

B.

?

8 17

15 C. 17

D.

? 15 17

10. 设 ?1? x?5 ?3 ? 2x?9 ? a0 (x ?1)14 ? a1(x ?1)13 ? ? a13(x ?1) ? a14 ,

则 a0 ? a1 ? a2 ? ? a13 ? (



1

A. 39 B. 25 ? 39

C. 25

D. 39 ? 25

3
正(主)视图

1

1

侧(左)视图

11. 某三棱锥的三视图如图所示,

则该三棱锥的外接球的表面积是( )

A. 11? 3

B. 19 ? 3

C. 6?

D. 7?

俯视图

12.

设函数

f (x) ? (x ? a)2

? (ln x2

? 2a)2 ,其中 x ? 0, a ? R ,若存在 x0 ,使得

f

(x0 ) ?

4 5

成立,则实数 a 的值为(



A. 1 5

B. 2 5

C. 1 2

D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 一个盒子里有 20 个大小形状相同的小球,其中 5 个红球,6 个黄球,9 个绿球,从盒

子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是__________.

14. 如图,圆 O 与 x轴的正半轴的交点为 A ,点 C 、 B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,

点 B 的坐标为( 4 , ? 3 ), ?AOC ? ? ,若 BC ? 1,则 cos? ? 55

y C

15.

已知实数 a, b 满足: a ? 2a?1

?

5 2

,

b

?

log

2

(b

?

1)

?

5 2

,则 a ? b ?

O? Ax B

16. 点 P 是直线 l : x ? ? 1 上一动点,定点 F( 1 ,0),点 O 为坐标原点,点 Q 为 PF 的

2

2

中点,动点 M 满足:MQ ? PF ? 0, MP ? ?OF ,过点 M 作圆 (x ? 3)2 ? y2 ? 2 的切线,

切点分别为 S、T,则 MS ? MT 的最小值是

.

三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

高三数学试卷第 2 页(共 2 页)

17.(本小题满分 12 分)

等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,

且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn;

(2)求证: 1 ? 1 ? ? 1 ? 3 (n ? N ? ) .

S1 S2

Sn 4

18. (本小题满分 12 分)

PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标 准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量 为超标.

某试点城市环保局从该市市区 2015 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数 据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)

(1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,

求恰有一天空气质量达到一级的概率;

(2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ξ 表示抽到

PM2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的分布列;

(3)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

19. (本小题满分 12 分)

如图, 已知四边形 ABCD和 BCEG均为直角梯形, AD / /BC , CE / /BG ,



?BCD ? ?BCE ? ?

,平面

ABCD ⊥ 平 面

2

B C, BC ?ECD ? CGE ? 2AD ? 2BG ? 2 .

(Ⅰ)证明:AG // 平面 BDE;

(Ⅱ)求平面 BDE 和平面 BAG所成锐二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 高三数学试卷第 3 页(共 2 页)

已知抛物线 S: y2 ? 2 px( p ? 0) ,过点 E(?1, 0) 作抛物线 S 的两条

y

切线 l1, l2 ,满足 l1 ? l2 .

(1)求抛物线 S 的方程;

A

(2)圆 P: x2 ? y2 ? 2x ,过圆心 P 作直线 l ,此直线

与抛物线 S、圆 P 的四个交点,自上而下顺次记为 A, B,C, D ,

B

如果线段 AB, BC,CD 的长按此顺序构成一个等差数列,
求直线 l 的方程.

P OC

x

21. (本小题满分 12 分)

D

已知函数 f (x) ? 1n(x ?1) ? ax2 ? x ( a ? R).

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 y ? f (x) 的单调区间; 4
(Ⅱ)若对任意实数 b ? (1, 2),当 x ? (?1,b]时,函数 f (x) 的最大值为 f (b) ,求 a 的取

值范围.

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作

答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵
如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为BC的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB;

B D
E

(Ⅱ)求证:AC·BC=2AD·CD.

A

O

C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

??x ? 1? 3 cos?

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

的参数方程为

? ??

y

?

3 sin?

(其中? 为参数),点 M 是

曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 OP ? 2OM .

(Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程;

(Ⅱ)以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线?

?

2? 3

与曲线 C1 、 C2

分别交于 A 、 B 两点,求 AB .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设不等式 ? 2 ? x ?1 ? x ? 2 ? 0的解集为 M , a,b ? M .
(Ⅰ)证明:| 1 a ? 1 b |? 1 ; 36 4
(Ⅱ)比较|1? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.

高三数学试卷第 4 页(共 2 页)

高三理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) A C D D;C B C A;C D B A
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13. 3 5

14. 4 ? 3 3 10

15. 7 2

16. 3 5

三、解答题:

17、解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, an=3+(n-1)d,bn=qn-1.

依题意有

?? ?

S2b2

?? S3b3

? ?

(6 ? (9 ?

d )q ? 3d )q2

64, ? 960,

解得 ?d ??q

? ?

2或 8

???d ? ???q

? ?

?6, 5 (舍去)
40 . 3

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1. ………6 分

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),

所以S11+S12+…+S1n=1×13+2×14+3×15+…+n(n1+2)

=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-n+1 2)=12(1+12-n+1 1-n+1 2)

=34-2(n+2n1+)(n3+2) ?

3 4

.……12



18、解:(1)记“恰有一天空气质量达到一级”为事件 A ,

P( A) ?

C51C120 C135

?

45 .………4 分 91

(2)依据条件,ξ 服从超几何分布:其中 N=15,M=5,n=3,ξ 的可能值为 0,1,2,3,其

分布列为:

P(?

?

k)

?

C5k

C 3?k 10

C135

(k

?

0,1, 2,3) .

………6 分

ξ

0

1

2

3

P

24

45

20

2

91

91

91

91

………8 分

高三数学试卷第 5 页(共 2 页)

(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 10 ? 2 , 15 3

一年中空气质量达到一级或二级的天数为 η ,则? B(360, 2) . ………10 分 3

∴ E? ? 360? 2 ? 240 , 3

∴一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级.

………12 分

19、证明:由平面 ABCD ? 平面BCEG ,平面 ABCD 平面BCEG ? BC ,

CE ? BC,CE ?平面 BCEG, ? EC ? 平面ABCD .………1 分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得

B(0, 2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),A(2,1,0) G(0, 2,1) …………2 分

(Ⅰ)设平面 BDE 的法向量为 m ? (x, y, z) ,则 EB ? (0, 2, ?2), ED ? (2, 0, ?2)

? EB ? m ? 0

ED ? m ? 0



? ? ?

y x

? ?

z z

? ?

0 0



?x ? y ? z ,

? 平面 BDE 的一个法向量为 m ? (1, 1,,1) ………………………………………………4 分

AG ? (?2, 1, 1) ? AG ? m ? ?2 ?1?1 ? 0 ,? AG ? m , AG ? 平面BDE ,∴AG∥平面 BDE. ………………………………………………6 分
(Ⅱ)设平面 BAG的法向量为 n ? ?x, y, z?,平面 BDE 和平面 BAG所成锐二面角为?





BA

?

?2,?1,0?

,

BG

?

?0,0,1?

,



n

?

BA

?

0,

n

?

BG

?

0



?2x ? y ?

? ?

z?0

0



………8



? 平面 BAG的一个法向量为 n ? ?1,2,0?,? cos? ? m ? n ? 1? 2 ? 15 .
m? n 3? 5 5

故平面 BDE 和平面 BAG所成锐二面角的余弦值为 15 ……….12 分 5

20、解:(1)由抛物线 S 的对称性知切线 l1, l2 的斜率互为相反数, y

又 kl1 ? kl2 ? ?1,? kl1 ? 1, kl2 ? ?1 ,………2 分

A

即切线 l1 方程: x ? y ?1,

代入抛物线方程 y2 ? 2 px( p ? 0) 得: y2 ? 2 py ? 2 p ? 0,?? ? 4 p2 ? 8 p ? 0,? p ? 2 ,

B

P

OC

x

D

高三数学试卷第 6 页(共 2 页)

抛物线 S 的方程为 y2 ? 4x ………5 分
(2)圆 P 的方程为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为 P ?1, 0?,

设 l 的方程 x ? my ?1,代入抛物线方程得: y2 ? 4my ? 4 ? 0,



A? x1, y1?,

D? x2,

y2

?



? ? ?

y1 y1

? y2

y2 ? 4m ,………6 ? ?4



则 | AD |? 1? m2 | y1 ? y2 |? 1? m2 ( y1 ? y2 )2 ? 4y1y2 ? 4(1? m2) ………8 分 因为 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,

所以 AD ? 3 BC ? 6 即 4(1? m2 ) ? 6 ,? m ? ? 2 ………10 分 2

则 l 方程为 x ? 2 y ? 1或 x ? ? 2 y ? 1 .………12 分

2

2

21、解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f (x) ? ln(x ?1) ? 1 x2 ? x ,

4

4

则 f ?(x) ? 1 ? 1 x ?1 ? x(x ?1) (x ? ?1) ,……………………………………1 分

x ?1 2

2(x ?1)

令 f ?(x) ? 0 ,得 ?1? x ? 0 或 x ?1;令 f ?(x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1,

∴函数 f (x) 的单调递增区间为 (?1, 0) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) . ………4 分

(Ⅱ)由题意 f ?(x) ? x[2ax ? (1? 2a)] (x ? ?1) , (x ?1)

(1)当 a ? 0 时,函数 f (x) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减,此时,不存在

实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1,b] 时,函数 f (x) 的最大值为 f (b) .……………6 分

(2)当 a

?

0 时,令

f

?(x)

?

0 ,有

x1

?

0



x2

?

1 2a

?1,

①当 a ? 1 时,函数 f (x) 在 (?1, ??) 上单调递增,显然符合题意.……………7 分 2

②当 1 ?1 ? 0 即 0 ? a ? 1 时,函数 f (x) 在 (?1, 0) 和 ( 1 ?1, ??) 上单调递增,

2a

2

2a

在 (0, 1 ?1) 上单调递减, f (x) 在 x ? 0 处取得极大值,且 f (0) ? 0 , 2a

要使对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1,b] 时,函数 f (x) 的最大值为 f (b) ,

高三数学试卷第 7 页(共 2 页)

只需 f (1) ? 0 ,解得 a ?1? ln 2,又 0 ? a ? 1 , 2

所以此时实数 a 的取值范围是1? ln 2 ? a ? 1 . ……………………………9 分 2

③当 1 ?1 ? 0 即 a ? 1 时,函数 f (x) 在 (?1, 1 ?1) 和 (0, ??) 上单调递增,

2a

2

2a

在 ( 1 ?1, 0) 上单调递减,要存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1,b] 时, 2a

函数 f (x) 的最大值为 f (b) ,需 f ( 1 ?1) ? f (1) , 2a

代入化简得 ln 2a ? 1 ? ln 2 ?1 ? 0 ,① 4a

令 g(a) ? ln 2a ? 1 ? ln 2 ?1 (a ? 1) ,因为 g?(a) ? 1 (1? 1 ) ? 0 恒成立,

4a

2

a 4a

故恒有 g(a) ? g(1) ? ln 2 ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 时,①式恒成立,

2

2

2

\ 综上,实数 a 的取值范围是[1? ln 2, ??) . …………………………………12 分

22、【证明】: (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点,

所以 OED 三点共线.………………………… …2 分

因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点,

所以 OE∥AB,故 DE∥AB.………………………… …5 分

B

(Ⅱ)因为 D 为的中点,所以∠BAD=∠DAC,

又∠BAD=∠DCB ∠DAC=∠DCB.

又因为 AD⊥DC,DE⊥CE △DAC∽△ECD.………… …8 分

AC AD CD=CE

AD·CD=AC·CE

A

2AD·CD=AC·2CE

E O

2AD·CD=AC·BC.……………………………10 分

D C

? ? 23、【解析】:(1)设 P ? x, y?, M

x', y' ,

OP

?

2OM

,?

?? ? ??

x y

? ?

2x', 2y',

…………

…2 分

? ? 点

M

在曲线 C1

上,?

?? ?

x'

?? y'

? 1? 3 cos? , ?
? 3 sin? ,

x' ?1 2 ? y'2

? 3 ,………………

…4 分

曲线 C2 的普通方程为 ? x ? 2?2 ? y2 ? 12 ;………………………… …5 分

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 2 ? 0,

将?

?

2? 3

代入得 ?

? 1,?

A

的极坐标为

???1,

2? 3

? ??

,…………………………

…7 分

高三数学试卷第 8 页(共 2 页)

曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 8 ? 0,

将?

?

2? 3

代入得 ?

?

2 ,?

B

的极坐标为

? ??

2,

2? 3

? ??

,…………………………

…9 分

? AB ? 2 ?1 ?1.………………………… …10 分

? 3, x ? ?2
24、【解析】:(I)记 f (x) ?| x ?1 | ? | x ? 2 |? ??? 2x ?1,?2 ? x ? 1,由 ? 2 ? ?2x ?1 ? 0
?? ? 3, x ? 1

解得: ?

1 2

?

x

?

1 2

,即 M

?

(?

1 2

,

1) 2

………………………… …3 分

所以,| 1 a ? 1 b |? 1 | a | ? 1 | b |? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ;………………………… …5 分 3 6 3 6 32 62 4

(II)由(I)得: a2 ? 1 ,b2 ? 1 ,………………………… …6 分

4

4

为|1? 4ab |2 ?4 | a ? b |2 ? (1? 8ab ?16a2b2 ) ? 4(a2 ? 2ab ? b2 ) …………… …8 分

? (4a2 ?1)(4b2 ?1) ? 0 ,故|1? 4ab |2 ? 4 | a ? b |2 ,即 |1? 4ab |? 2 | a ? b | ………………………… …10 分

高三数学试卷第 9 页(共 2 页)


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