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高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件理_图文

第2讲 三角恒等变换与解三角形
高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中 同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具, 三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、 余弦、正切公式)进行变换,“角”的变换是三角恒等变换的核 心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内 容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真题感悟

1.(2016·全国Ⅲ卷)若 tan α =34,则 cos2α +2sin 2α =(

)

A.6245

B.4285

C.1

D.1265

解析 tan α =34,则 cos2α +2sin 2α =cocos2sα2α++2ssiinn22αα

=11++4ttaann2αα =6245.

答案 A

2.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c,若 cos A=45,cos C=153,a=1,则 b=________. 解析 在△ABC 中由 cos A=45,cos C=153,可得 sin A=35, sin C=1123,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos A·sin C=6635, 由正弦定理得 b=assiinnAB=2113.

答案

21 13

3.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C= 75°,BC=2,则AB的取值范围是________.

解析 如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则可知 在△ADE 中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,

∠E=30°,∴设 AD=12x,则 AE= 22x,

DE=

6+ 4

2x,令 CD=m,∵BC=2,

∴????

6+ 4

2x+m????·sin 15°=1?

6+ 4

2x+m=

6+

2,

∴0<x<4,而 AB=

6+ 4

2x+m- 22x=

6- 4

2x+m=

6+

2-

22x,∴AB 的取值范围是( 6- 2, 6+ 2).

答案 ( 6- 2, 6+ 2)

4.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知2cos C(acos B+bcos A)=c.
(1)求 C; (2)若 c= 7,△ABC 的面积为323,求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)= sin C,2cos Csin(A+B)=sin C,故 2sin Ccos C=sin C.可得 cos C =12,所以 C=π3 .(2)由已知,12absin C=323,又 C=π3 ,所以 ab=6,由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7,故 a2+b2 =13,从而(a+b)2=25.所以△ABC 的周长为 5+ 7.

考点整合

1.三角函数公式

(1)同角关系:sin2α

+cos2α

=1,csoins

α α

=tan

α

.

(2)诱导公式:对于“kπ2 ±α ,k∈Z 的三角函数值”与“α 角 的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号 看象限.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:

sin(α±β)=sin α cos β ±cos α sin β ;

cos(α±β)=cos α cos β ?sin α sin β ;

tan(α±β)=t1a?ntanα

±tan α tan

β β

.

(4)二倍角公式:sin 2α =2sin α cos α ,cos 2α

=cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α .

2.正、余弦定理、三角形面积公式

a (1)sin

A=sinb

B=sinc

C=sin

a+b+c A+sin B+sin

C=2R(R

为△ABC

外接圆的半径).

变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A=2aR,

sin B=2bR,sin C=2cR;a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

(2)a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2- 2abcos C; 推论:cos A=b2+2cb2c-a2,cos B=a2+2ca2c-b2,cos C=a2+2ba2b-c2; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2 =2abcos C. (3)S△ABC=12absin C=12acsin B=12bcsin A.

热点一 三角恒等变换及应用

【例 1】

(1)(2015·重庆卷)若 tan

α

=2tan

π 5

,则csoisn????????αα

--3π15π0????????=

()

A.1

B.2

C.3

D.4

(2)已知

α

为锐角,若

cos

????α+π6

?? ??



3 5





cos????2α

-π6

?? ??



________.

(3)(2016·合肥质检)已知 cos????π6 +α????·cos????π3 -α????=-14,α ∈????π3 ,π2 ????. 则 sin 2α =________.

解析

(1)csoisn????????αα--3π15π0????????=sins????iπn2????+αα--π531????π0 ????=ssiinn????????αα-+ππ55 ????????

=sisninαα·cocsoπs5π5+-cocsosααsisniπn5π5 =tttaaannnππα5α+-11=22+-11=3.
tan 5

(2)∵α 为锐角,cos????α+π6 ????=35>0, ∴α+π6 为锐角,∴sin????α+π6 ????=45, 则 sin????2α+π3 ????=2sin????α+π6 ????cos????α+π6 ????
=2×45×35=2245,
又 cos????2α-π6 ????=sin????2α+π3 ????,∴cos????2α-π6 ????=2245.

(3)cos????π6 +α????·cos????π3 -α????=cos????π6 +α????·sin????π6 +α????
=12sin????2α+π3 ????=-14,即 sin????2α+π3 ????=-12. ∵α∈????π3 ,π2 ????,∴2α+π3 ∈????π,4π 3 ????, ∴cos????2α+π3 ????=- 23,∴sin 2α=sin????????2α+π3 ????-π3 ???? =sin????2α+π3 ????cos π3 -cos????2α+π3 ????sin π3 =12.
答案 (1)C (2)2245 (3)12

探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所 求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时,“所求角”一般表示为“两个已知角” 的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”的和或 差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范 围尽量缩小,避免产生增解.

【训练 1】 (1)已知 sin 2α =23,则 cos2????α +π4 ????=(

)

1

1

1

2

A.6

B.3

C.2

D.3

(2)(2016·成都模拟 )sin( π

-α) =-

5 3



α∈ ????π

,3π2

?? ??





sin????π2 +α2????=(

)

A.-

6 3

B.-

6 6

6 C. 6

6 D. 3

(3)(2016·中山模拟)已知 cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β)=473,

0<β<π4 <α<π2 ,则 α+β=________.

解析 (1)法一 cos2????α+π4 ????=12????1+cos????2α+π2 ????????

=12(1-sin 2α)=16.

法二

cos????α+π4 ????=

2 2 cos

α-

2 2 sin

α.

所以 cos2????α+π4 ????=12(cos α-sin α)2=12(1-2sin αcos α)

=12(1-sin 2α)=16.

(2)sin(π-α)=sin α=- 35,又 α∈????π,3π2 ????,

∴cos α=- 1-sin2α=-

?
1-?-
?

35???2=-23.

由 cos α=2cos2α2 -1,α2 ∈????π2 ,3π4 ????,

α
得 cos 2 =-

cos

α2 +1=-

6 6.

所以 sin????π2 +α2????=cos

α
2 =-

6 6.

(3)因为 cos(2α-β)=-1114,且π4 <2α-β<π, 所以 sin(2α-β)=5143.因为 sin(α-2β)=473,且-π4 <α-2β<π2 .

所以 cos(α-2β)=17,所以 cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]

=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)

=-1114×17+5143×473=12.又π4 <α+β<3π 4 ,

所以 α+β=π3 .

答案

(1)A

(2)B

π (3) 3

热点二 正、余弦定理的应用

[微题型1] 三角形基本量的求解

【例 2-1】 (2016·四川卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边

分别是

a,b,c,且coas

A+cobs

B=sinc

C .

(1)证明:sin Asin B=sin C;

(2)若 b2+c2-a2=65bc,求 tan B.

(1)证明 根据正弦定理,可设sina A=sinb B=sinc C=k(k>0), 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.

代入coas A+cobs B=sinc C中,有

cos ksin

AA+kcsoisn

BB=kssiinnCC,变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).

在△ABC 中,由 A+B+C=π ,有 sin(A+B)=sin(π -C)=

sin C.所以 sin Asin B=sin C.

(2)解 由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有 cos A=b2+2cb2c-a2=35. 所以 sin A= 1-cos2A=45. 由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以45sin B=45cos B+35sin B.
故 tan B=csoins BB=4.

探究提高 1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的 二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或 边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时, 则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正 弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换 方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、 统一函数、统一结构”.

[微题型2] 求解三角形中的最值问题 【例 2-2】 (2016·淄博模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 的内
角 A,B,C 的对边,且 acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π -A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 易知 sin C≠0,所以 3sin A-cos A=1, 所以 sin????A-π6 ????=12.又 0<A<π ,所以 A=π3 .

(2)法一 由(1)得 B+C=2π3 ?C=2π3 -B????0<B<2π3 ????,由正弦

定理得sina A=sinb B=sinc C=

2 π



4, 3

sin 3

所以

b=

4 3sin

B,c=

4 3sin

C.

所以 S△ABC=12bcsin A=12×

4 3sin



4 3sin

C·sin

π 3

=4 3

3 sin

B·sin

C=4

3 3·sin

B·sin????2π3

-B ????

=4

3

3?
? ?

23sin

Bcos

B+12sin2B???=sin

2B-

3 3 cos

2B+

3 3

=2 3 3sin????2B-π6

????+

3 3.

易知-π6 <2B-π6 <7π6 , 故当 2B-π6 =π2 ,即 B=π3 时,S△ABC 取得最大值,最大值为233

+ 33= 3.

法二 由(1)知 A=π3 ,又 a=2,由余弦定理得 22=b2+c2-

2bccos

π 3

,即

b2+c2-bc=4?bc+4=b2+c2≥2bc?bc≤4,当

且仅当 b=c=2 时,等号成立.

所以 S△ABC=12bcsin A=12× 23bc≤ 43×4= 3,即当 b=c=2

时,S△ABC 取得最大值,最大值为 3.

探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法: (1)将要求的量转化为某一角的三角函数,借助于三角函数 的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式,借助于基本 不等式求最值.

[微题型3] 解三角形与三角函数的综合问题
【例 2-3】 (2016·四川成都诊断二)已知向量 m=(2sin ω x,cos2 ω x-sin2ω x),n=( 3cos ω x,1),其中 ω>0,x∈R.若函数 f(x)=m·n 的最小正周期为π .
(1)求 ω 的值; (2)在△ABC 中,若 f(B)=-2,BC= 3,sin B= 3sin A,求 B→A·B→C的值.

解 (1)f(x)=m·n=2 3sin ω xcos ω x+cos2ω x-sin2ω x
= 3sin 2ω x+cos 2ω x=2sin????2ω x+π6 ????.∵f(x)的最小正周期为 π ,∴T=22|πω |=π .∵ω >0,∴ω =1. (2)设△ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. ∵f(B)=-2,∴2sin????2B+π6 ????=-2, 即 sin????2B+π6 ????=-1,解得 B=2π3 (B∈(0,π )).

∵BC= 3,∴a= 3,∵sin B= 3sin A,

∴b= 3a,∴b=3.

由正弦定理,有sin3A=

3 2π



sin 3

解得 sin A=12.∵0<A<π3 ,∴A=π6 .

∴C=π6 ,∴c=a= 3.

∴B→A·B→C=cacos B=



3×cos

2π 3

=-32.

探究提高 解三角形与三角函数的综合题,其中,解 决与三角恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间 的关系;解决与三角形有关的问题,优先考虑正弦、 余弦定理.

【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若△ABC 的面积 S=a42,求角 A 的大小. (1)证明 由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B).又 A,B∈(0,π ),故 0<A-B<π , 所以 B=π -(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π (舍去)或 A=2B,所以 A=2B.

(2)解 由 S=a42得12absin C=a42,
故有 sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B, 因 sin B≠0,得 sin C=cos B. 又 B,C∈(0,π ),所以 C=π2 ±B. 当 B+C=π2 时,A=π2 ; 当 C-B=π2 时,A=π4 . 综上,A=π2 或 A=π4 .

1.对于三角函数的求值,需关注: (1)寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练 准确地应用公式; (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常 规技巧的运用; (3)对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻 找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析法.

2.三角形中判断边、角关系的具体方法: (1)通过正弦定理实施边角转换;(2)通过余弦定理实施边角 转换;(3)通过三角变换找出角之间的关系;(4)通过三角函 数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论; (5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角 形,先解条件多的三角形,再逐步求出其他三角形的边和 角,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程(组)求解.

3.解答与三角形面积有关的问题时,如已知某一内角的大小 或三角函数值,就选择 S=12absin C 来求面积,再利用正弦 定理或余弦定理求出所需的边或角.

编后语
? 同学们在听课的过程中,还要善于抓住各种课程的特点,运用相应的方法去听,这样才能达到最佳的学习效果。 ? 一、听理科课重在理解基本概念和规律 ? 数、理、化是逻辑性很强的学科,前面的知识没学懂,后面的学习就很难继续进行。因此,掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解,
同时,大家要开动脑筋,思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的,要边听边想。为讲明一个定理,推出一个公式,老师讲解顺序是怎样的, 为什么这么安排?两个例题之间又有什么相同点和不同之处?特别要从中学习理科思维的方法,如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 ? 作为实验科学的物理、化学和生物,就要特别重视实验和观察,并在获得感性知识的基础上,进一步通过思考来掌握科学的概念和规律,等等。 ? 二、听文科课要注重在理解中记忆 ? 文科多以记忆为主,比如政治,要注意哪些是观点,哪些是事例,哪些是用观点解释社会现象。听历史课时,首先要弄清楚本节教材的主要观点,然 后,弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实,这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后,也是关键的一环,看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索:这些史料能不能充分说明观点?是否还可以补充新的史料?有无相反的史料证明原观点不正确。 ? 三、听英语课要注重实践 ? 英语课老师往往讲得不太多,在大部分的时间里,进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此,要上好英语课,就应积极参加语言实践活 动,珍惜课堂上的每一个练习机会。

2019/5/23

最新中小学教学课件

37

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