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2013高考数学三轮押题冲刺


向量的概念及基本 运算
【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题:①若 a ? b ,则 a ? b ;②若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是 四边形为平行四边形的充要条件;③若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ;④ a ? b 的充要条件是

a ? b 且 a // b ;⑤若 a // b , b // c ,则 a // c 。其中,正确命题材的序号是②③
2. 化简 AC ? BD ? CD ? AB 得 0 3.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a、b 不共线,则四 边形 ABCD 为梯形 4.如图,设点 P、Q 是线 段 AB 的三等分点, ??? ? ??? ? ??? ? 2 1 若 OA =a, OB =b,则 OP = a ? b ,
3 3
B Q P A b a

????

??? ?

??? ?

??? ?

???? 1 2 OQ = a ? b (用 a、b 表示)
3 3
O

第4题

5.设 e1 , e2 是不 共线的向量,已知向量 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值为 k ? ?8 【范例导析】 例1. 如图,? ABCD 中,E , F 分别是 BC , DC 的中点,G 为交点,若 AB = a , AD = b , 试以 a 、 b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG 分析:本题可以利用向量的基本运算解决.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

D

F G B 例1 E

C

???? ???? ???? ???? ???? ???? 1 1 解: DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ? b ? b ? a ? b A 2 2 ???? ???? ???? ???? ???? ???? 1 1 BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 ???? 1 ??? ? 1 ???? 1 G 是△ CBD 的重心, CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b) 3 3 3

点拨: 利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理,在解题中,应尽可能地 转 化到平行四边形或三角形中,结合向量的加减法、数乘运算解决. 例 2.已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, D C E F

??? ???? ? ??? ? 求证: AB ? DC ? 2 EF .

分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明:如图,连接 EB 和 EC , 由 EA ? AB ? EB 和 EF ? FB ? EB 可得, EA ? AB ? EF ? FB

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

(1) (2) (3)

例2

??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ???? ??? ??? ? ? ? 由 ED ? DC ? EC 和 EF ? FC ? EC 可得, ED ? DC ? EF ? FC
(1)+(2)得, EA ? ED ? AB ? DC ? 2 EF ? FB ? FC

??? ??? ??? ???? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?

∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点,∴ EA ? ED ? 0 , FB ? FC ? 0 ,
??? ???? ? ??? ? 代入(3)式得, AB ? DC ? 2 EF

??? ??? ? ?

点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.

OP 例 3.已知 OA, OB 不共线, ? aOA ? bOB ,求证 : A,P,B 三点共线的充要条件 是 a ? b ? 1
分析:证明三点共线可以通过向量共线来证明. 解 : 先 证 必 要 性 : 若 A,P,B 三 点 共 线 , 则 存 在 实 数

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? , 使 得 AP ? ? AB , 即
??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OP ? OA ? ? OB ? OA

?

?

, ∴ OP ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB, ∵ OP ? aOA ? bOB , ∴

??? ?

??? ?

??? ?

a ? 1 ? ? , b ? ? ,∴ a ? b ? 1.
再证充分性:若 a ? b ? 1. 则 AP ? OP ? OA = ? a ? 1? OA ? bOB ? b OB ? OA = b AB ,∴

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

?

??? ??? ? ?

?

??? ?

??? ??? ? ? AP 与 AB 共线,∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问 题. 反馈练习: 1.已知向量 a 和 b 反向,则下列等式成立的是(C) A. |a|-|b|=|a-b| B. |a|-|b|=|a+b| C.|a|+|b|=|a-b| D. |a|+|b|=|a+b| 2.设四边形 ABCD 中,有 DC ? A.平行四边形 B.矩形

????

? ? 1 ??? ???? ??? AB, AD ? BC 则这个四边形是(C) 2
C.等腰梯形 D.菱形

3.设 a0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |· a0 ;(2)若 a 与 a0 平行,则

a =| a |· a0 ; (3)若 a 与 a0 平行且| a |=1,则 a = a0 。上述命题中,假命 题个数是 3
4.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 O 点的位置为 AD 的中点

??? ??? ???? ? ?

5.在 ?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则?= 6.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简 : ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ,③ ?OA ? OC ? OB ? CO 。 解析:①原式= ( AB ? BC ) ? CD ? AC ? CD ? AD ; ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ; ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO ) ? AB ? (OC ? CO ) ? AB ? 0 ? AB 。 7.设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量, x 满足方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ 则 x=?

1 3

2 3

??? ??? ??? ? ? ?

??? ???? ??? ? ?
??? ?

??? ???? ??? ??? ? ? ?
????

??? ??? ? ?

???? ??? ? ????

??? ??? ? ?

????

? ????

??? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ? ?

??? ?

1 a ?3 b =0, 2

9 a ? b (用 a 、 b 表示) 2 ???? ??? ? ??? ? 8.在四面体 O-ABC 中, OA ? a , OB ? b, OC ? c, D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 1 1 1 OE = a ? b ? c (用 a,b,c 表示) 2 4 4
9.已知 OA ? 1, OB ? 3, OA.OB ? 0, 点 C 在 ?AOC 内, ?AOC ? 30o 。 设 OC ? mOA ? nOB (m, n ? R ) ,则

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

m 等于 3 n
???? ???? ???? ? ?

10.如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C, 线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM,线段 CD 上有一点 N 满足 CD=3CN,设 OA ? a , OB ? b, 试用a , b表示OM,ON,MN

????

??? ?

???? 1 ??? 1 ???? ??? 1 ? ? ? 1 1 BA, ? BM= BA= OA-OB = ? a ? b ? 3 6 6 6 6 ???? ??? ???? 1 ? ? ? 5 1 4 2 ? OM=OB+BM ? a ? b . ? CN ? CD,? ON ? CD ? OD 6 6 3 3 3 ???? 2 ???? 2 ???? ??? ? ???? ???? ???? 1 ? ? 2 1 ? ON= OD= OA+OB ? ? a ? b ? ? MN=ON-OM ? a ? b 3 3 3 2 6 ??? ? ??? ? ??? ? 11.设两个非零向量 e1 、e2 不共线,如果 AB ? 2e1 ? 3e2 , BC ? 6e1 ? 23e2 , CD ? 4e1 ? 8e2
解:? BM= BC=

?

?

?

?

第 10 题

(1)求证: A, B, D 三点共 线. (2)设 e1 、 e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , BC ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 , 若 A, B, D 三点共线,求 k 的值. 解: (1)证明:因为 BC ? 6e1 ? 23e2 , CD ? 4e1 ? 8e2 所以 BD ? 10e1 ? 15e2 又 因为 AB ? 2e1 ? 3e2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 即 BD // AB

得 BD ? 5 AB 又因为公共点 B 所以 A, B, D 三点共线; (2)解: DB=CB-CD ? e1 ? 3e2 ? 2e1 ? e2 ? 4e2 ? e1

??? ??? ??? ? ? ?

??? ? ??? ??? ? ? AB ? 2e1 ? ke2 , 因为 A, B, D 共线,所以 AB // DB . ?? ? 2 ??? ? ??? ? 1 ? 设 DB ? ? AB ,所以 ? 即k ? ? ; 1 2 ?k ? ? 2 ?



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