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全国高中数学联赛江苏赛区2008年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区 2008 年初赛试题答案
班级 __________ 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1.如果实数 m,n,x,y 满足 m 2 为 ________ A、
a?b 2
?n
2

姓名 __________

? a

, x2

? y

2

? b

,其中 a,b 为常数,那么 m x ?

ny

的最大值

B、

ab
2 2

C、
2

a ?b
2

2

D、 ;
? y ? b 2

a ?b
2

2

2
? ( m ? n )( x ? y ) ? a b
2

2

解:由柯西不等式可得: ( m x ? n y ) 2 或三角换元即可得到: m x ? n y 故选 B . 2.设 y
? f ( x ) 为指数函数 y ? a
? f
?1 x

?

ab

,当 m

? n ?

a 2

,x

时, m x ? n y

?

ab



,在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N (

1 2

,

1 4

)

四点中,函数 y

? f (x)

与其反函数 y A、P 解:取 a
? 1 16

( x ) 的图像的公共点只可能是点 ________

B、Q

C、M
1 16
1

D、N
)2 ? 1 4

,把坐标代入检验,因为 (

,而 (

1 16

1

)4 ?

1 2

, 1 0.5 2 1
x

所以公共点只可能是点 N ,故选 D . 3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差 数列,每一纵列成等比数列,那么 x ? A、1 B、2 C、3
y ? z ? ________

y

D、4

z

解:第一、二行后两个数分别为 2 .5 , 3 与 1.25 , 1 .5 ; 第三、四、五列中的 x
? 0 .5

,y

?

5 16

,z ?

3 16

,则 x ?

y ? z ? 1 ;选 A



4.如果 ? A1 B1 C 1 的三个内角的余弦值分别是 ? A2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,那么 ________ A、 ? A1 B1 C 1 与 ? A2 B 2 C 2 都是锐角三角形; B、 ? A1 B1 C 1 是锐角三角形, ? A2 B 2 C 2 是钝角三角形; C、 ? A1 B1 C 1 是钝角三角形, ? A2 B 2 C 2 是锐角三角形; D、 ? A1 B1 C 1 与 ? A2 B 2 C 2 都是钝角三角形. 解:两个三角形的内角不能有直角; ? A1 B1 C 1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形; 若 ? A2 B 2 C 2 是锐角三角形,则不妨设:
1

c o s A1 ? s in A 2 ? c o s (

?
2 ?

? A2 )

, c o s B1 , C1
?

? s in B 2 ? c o s (

?
2

? B2 )

, co s C1
3? 2

? s in C 2 ? c o s (

?
2

? C2 )



则 A1

?

?
2

? A2

, B1

?
2

? B2

?
2

? C2

,即 A1

? B1 ? C 1 ?

? ( A2 ? B 2 ? C 2 )

,矛盾;

故选 B . 5.设 a,b 是夹角为 3 0 ? 的异面直线,则满足条件“ a 在情况是 ________ A、不存在 B、有且只有一对 C、有且只有两对 D、有无数对
? ?

,b

? ?

,且 ?

? ?

”的平面 ? , ? 的存

解:任作 a 的平面 ? ,可以作无数个,在 b 上任取一点 M , 过 M 作 ? 的垂线 b 与垂线确定的平面 ? 垂直于 ? ;故选 D . 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6.设集合 A 则A?
? { x x ? ? x ? ? 2}
2

和B

? { x x ? 2}

,其中符号 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数即取整数部分,

B ? ________

解:因为 | x |? 当[x] ? 当[x] ? 所以 x

2

,所以 [ x ] 的值可取 ? 2,
? 0

? 1, 0, 1


2

?2 0

,则 x 2

无解;当 [ x ] ?

? 1 ,则 x ? 1

,所以 x

? ?1 ;

,则 x 2

? 2

无解;当 [ x ] ? 1 ,则 x 2 .

? 3 ,所以 x ?

3



? ?1 或 x ?

3

7.同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 ________ (结果要求写成既约分数) 解:考虑对立事件, P
5 3 91 ? 1? ( ) ? 6 216


???? ? ? 0

8.已知点 O 在 ? A B C 内部, O A ? 2 O B ? 2 O C
?ABC

??? ?

??? ?



与 ? O C B 的面积之比为 ________

解:如图, ? A B C 与 ? O C B 的底边相同,高是 5 : 1 ; 故面积比是 5 : 1 . 9.与圆 x 2
? y ? 4x ? 0
2

外切,且与

y

轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________
0)

解:由圆锥曲线的定义,圆心可以是以 ( 2,

为焦点、 x ? ? 2 为准线的抛物线上的点;

若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上; 所以所求的轨迹方程为: y 2 10.在 ? A B C 中,若 tan
? 8 x ( x ? 0)

,或 y

? 0 ( x ? 0)
2


2

A tan B ? tan A tan C ? tan C tan B

,则

a ?b c
2

? ________

2

解:切割化弦,已知等式即: 也即
sin A sin B sin C

sin A sin B cos A cos B

?

sin A sin C cos A cos C

?

sin B sin C cos B cos C

, ;

?

sin ( A ? B ) cos C

,即
a ?b
2

s in A s in B c o s C s in C
2
2

?1

,即

ab cos C c
2

?1

所以,

a ?b ?c
2 2

2

2c

2

? 1 ,故

c

2

? 3



三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11.已知函数 范围为 ?
?1
f ( x) ? ?2 x ? bx ? c
2

在x

?1

时有最大值 1, 0

? m ? n

,并且 x ? ? m , n ? 时,

f (x)

的取值

1 ? ? ?n m ? ,

,试求 m,n 的值.
f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 1
2

解:由题意可知: 所以

,??????????????????5 分 ,所以
f (x)

f ( x ) ? 1 ,所以

1 m

? 1 ,即 m ? 1

在 ? m , n ? 上是单调递减的,
2

因此有:

f ( m ) ? ? 2 ( m ? 1) ? 1 ?
2

1 m



f ( n ) ? ? 2 ( n ? 1) ? 1 ?

1 n

;??????10 分

所以 m、 n 是方程 方程即 ( x ? 1)( 2 x 2

f ( x ) ? ? 2 ( x ? 1) ? 1 ?
2

1 x

的两个解,

? 2 x ? 1) ? 0

, ,
1? 2 1? 2 3 3

解方程,得解为: 1 ,

1? 2

3



所以 1 ?

m ? n

,故 m

? 1,n ?
2 2

.???????????????15 分 ;

12.设点 A、B 为双曲线 (1)求证:
1 ??? ? OA

x

?

y

??? ??? ? ? ? 1 上的两个动点,满足 O A ? O B ? 0

4
1 ? ??? ? OB

9

2

2

为定值;
??? ??? ? ?

(2)动点 P 在线段 A B 上,满足 O P ? A B 证明: (1)设点 A 的坐标为 ( r co s ? , 则r
??? ? ? OA
r sin ? )

? 0

,求证:点 P 在定圆上.
r ? sin ? ? ) ,
sin ?
2

, B 的坐标为 ( r ? co s ? ?,
co s ?
2

, r? ?
cos ?
2

??? ? OB

,而 A 在双曲线上,则 r 2 (
2

?

)?1



4

9

所以

1 r
2

?

?

sin ? 9

;??????????????????????5 分 ,所以 co s 2 ? ? ?
sin ?
2

4

由 OA ?OB

??? ??? ? ?

? 0

,得 O A

??? ?

??? ? ? OB

, co s 2 ?

? sin ? ? ;
2

3

同理, 所以

1 r?
2

?

2 cos ? ?

?

2 sin ? ?

?

sin ?
2

?

cos ?
2



4

9

4

9

1 1 1 1 1 1 5 ??? ? ? ??? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 4 9 36 r r' | OA | | OB |

.?????????????10 分 ,
2

(2)由三角形面积公式,得 所以 即
??? ? OP
2

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? OP ? AB ? OA ? OB
??? ? ? OB
2

2

??? ? ? AB

2

??? ? ? OA

2

,即
?( 1 4

??? ? OP
1 9

2

??? ? ? ( OA
2

??? 2 ? ??? ? ? OB ) ? OA
5 36

2

??? ? ? OB

2



??? ? OP

1 ? ( ??? ? OA

2

1 ? ??? ? OB

2

??? ? ) ? OP

2

?

??? ? ) ? OP

?(

) ? 1;

于是,

OP

2

?

36 5

;即 P 在以 O 为圆心、

6 5 5

为半径的定圆上.????15 分

13.如图,平面 M、N 相交于直线 l,A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内;已知 ? B D C
??

,?BDA

? ?

,?CDA

??

,且 ? , ? , ? 都是锐角;求二面角 M

?l? N



平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示) . 解:在平面 M 中,过 A 作 D A 的垂线,交射线 D B 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 D A 的垂线,交射线 D C 于 C 点; 设 DA 则 AB
?1

; , DB
? 1 cos ? 1 cos ?

? tan ?



A C ? tan ?

, DC

?

,?????????5 分
?l? N

并且 ? B A C

??

就是二面角 M

平面角.???????????????10 分

在 ? D B C 与 ? A B C 中,利用余弦定理,可得等式:
BC
2

?

1 cos ?
2

?

1 cos ?
2

?

2 cos ? cos ?
2

c o s ? ? ta n ? ? ta n ? ? 2 ta n ? ta n ? c o s ?
2 2



所以, 2 ta n ?

ta n ? c o s ? ? ta n ? ? ta n ? ?
2

1 cos ?
2

?

1 cos ?
2

?

2 cos ? cos ?

cos ?

?

2 (c o s ? ? c o s ? c o s ? ) cos ? cos ?

,?????????????15 分

故得到 c o s ?

?

cos ? ? cos ? cos ? s in ? s in ?

.???????????????????20 分

4

14.能否将下列数组中的数填入 3 ? 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对 角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (1)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (2)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解: (1)不能.???????????????????????????????5 分 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数; 但是 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 1 2 ? 1 8 ? 2 4 ? 3 6 ? 4 8
? 2
1? 2 ?1? 3 ? 2 ?1? 3 ? 2 ? 4

?3

1?1? 2 ?1? 2 ?1

? 2

19

?2

8



显然不是立方数;故不能.?????????????????????10 分 (2)可以.??????????????????????????????15 分 如下表 36 8 6 2 12 72 24 18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 2 6 ? 3 3 .??????????????20 分

5


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