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广东省湛江市岭南师院附中、东方实验学校2015-2016学年高一上学期期中联考数学试卷


2015-2016 学年广东省湛江市岭南师院附中、东方实验学校联考高一(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入请把答案填在第二卷. 1.设集合 M={﹣1,0,1},N={x|x =﹣x},则 M∩N=( A.{0} B.{1,0} C. (﹣1,0) D.{﹣1,0}
2



2.下列函数中,与函数 f(x)=lg(x﹣2)定义域相同的函数为( A.y=2
x﹣2



B.

C.

D.

3.下列函数中,既是奇函数又是定义域内的增函数为( A.y=x+1 B.y=x C.y=
3



D.y=

4.函数 f(x)= A.﹣4 B.0 C.24 D.﹣24

,则 f 等于(



5.设集合 A=R,B={x|x>0},则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是( A. B.x→y=|x| C.x→y=log2x D.x→y=x ﹣2x
2



6.设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f (1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D.不能确定 )

x

x

7.若集合 A={﹣ , ) ,B={x|mx=1}且 B? A,则 m 的值为( A.2 B.﹣3 C.2 或﹣3 D.2 或﹣3 或 0



8.已知 a=log0.53,b=2 ,c=0.5 ,则 a,b,c 三者的大小关系是( A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a

0.5

0.3



9.已知函数 A.7 B.﹣7 C.5 D.﹣5

,f(2)=3,则 f(﹣2)=(



10.已知 y=x +4ax﹣2 在区间(﹣∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,2] A.﹣4 B.0 C.24 D.﹣24 C.等于( )

2



【考点】函数的值. 【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数求解函数值即可. 【解答】解:函数 f(x)= 故选:C. 【点评】本题考查导函数的应用,函数值的求法,是基础题. ,则 f=f(﹣4)=﹣4(﹣4﹣2)=24.

5.设集合 A=R,B={x|x>0},则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是( A. 【考点】映射. 【专题】探究型;转化思想;函数的性质及应用. B.x→y=|x| C.x→y=log2x D.x→y=x ﹣2x
2



【分析】根据基本初等函数的图象和性质,逐一分析四个函数的定义域和值域,结合映射的 定义,可得答案. 【解答】解:函数 集合 A 到集合 B 的映射; 函数 y=|x|定义域为 R 时,值域为{y|y≥0},故映射 f:x→y=|x|不是集合 A 到集合 B 的映射; 函数 y=log2x 定义域为为{x|x>0}时,值域为 R,故映射 f:x→y=log2x 不是集合 A 到集合 B 的映射; 定义域为 R 时,值域为{y|y>0},故映射 f: 是

函数 y=x ﹣2x 定义域为 R 时,值域为{y|y≥﹣1},故映射 f:x→y=x ﹣2x 不是集合 A 到集合 B 的映射; 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是映射的概念,难度不大,属于基础题.

2

2

6.设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f (1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D.不能确定 )

x

x

【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】计算题. 【分析】由已知“方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已 确定,由 f(1.5)>0,f(1.25)<0,它们异号. 【解答】解析:∵f(1.5)?f(1.25)<0, 由零点存在定理,得, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5) . 故选 B. 【点评】二分法是求方程根的一种算法,其理论依据是零点存在定理: 一般地,若函数 y=f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线, 且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
x

7.若集合 A={﹣ , ) ,B={x|mx=1}且 B? A,则 m 的值为( A.2 B.﹣3 C.2 或﹣3 D.2 或﹣3 或 0



【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;分类讨论;综合法;集合. 【分析】 根据集合 B 中的方程, 可得 B 中至多一个元素, 再由集合 A 中的元素可得 B=?或 B={﹣ }或 B={ }.因此分三种情况讨论,分别解方程,即可得到实数 m 的值. 【解答】解:∵B? A,而 A={﹣ , ∴B=?或 B={﹣ }或 B={1} }

①当 m=0 时,B={x|mx=1}=?,符合题意; ②当 B={﹣ }时,B={x|mx=1}={﹣ },可得 m=﹣3 ③当 B={ }时,B={x|mx=1}={ },可得 m=2 综上所述,m 的值为 0 或﹣3 或 2 故选:D. 【点评】本题给出含有字母参数的一次方程,在已知集合包含关系的情况下求实数 m 的取值 范围,着重考查了方程根的个数和集合包含关系等知识点,属于基础题.

8.已知 a=log0.53,b=2 ,c=0.5 ,则 a,b,c 三者的大小关系是( A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解. 【解答】解:∵a=log0.53<log0.51=0, b=2 >2 =1, 0<c=0.5 <0.5 =1, ∴b>c>a. 故选:B.
0.3 0 0.5 0

0.5

0.3



【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数、指 数函数的单调性质的合理运用.

9.已知函数 A.7 B.﹣7 C.5 D.﹣5

,f(2)=3,则 f(﹣2)=(



【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性,结合已知条件求解即可. 【解答】解:函数 可知 是奇函数, ,

f(2)=3, 可得 ∴ 故选:A. 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,函数值的求法,考查计算能力. , .

10.已知 y=x +4ax﹣2 在区间(﹣∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,2] 答案.

2



C.上为减函数,则函数图铃的对称轴 x=﹣2a≥4,解得

【解答】解:函数 y=x +4ax﹣2 的图象是开口朝上,且以直线 x=﹣2a 为对称轴的抛物线, 若 y=x +4ax﹣2 在区间(﹣∞,4]上为减函数, 则﹣2a≥4, 解得:a∈(﹣∞,﹣2], 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是 解答的关键.
2

2

11.已知 a>0,a≠1,函数 y=a ,y=loga(﹣x)的图象大致是下面的(

x



A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 【分析】先根据 y=loga(﹣x)的定义域可排除 AD 再验证 BC 中的增减性即可得到答案. 【解答】解:∵y=loga(﹣x)的定义域为{x|x<0}故排除选项 AD C 中 y=a 单调递增故 0<a<1,此时 y=loga(﹣x)应该单调递增和图中图象矛盾排除 故选 B. 【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的图象.指数函数和对数函数当底数大于 1 时单 调递增,当底数大于 0 小于 1 时单调递减.
x

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) .当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) ; 当﹣1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)=( A.335 B.1678 C.338 D.2012 【考点】抽象函数及其应用;函数的值. 【专题】计算题;方案型;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】求出函数的周期性,求出一个周期内函数值的和,根据可得:f(1)+f(2)+f(3) +?+f(2 012)=335×+f(1)+f(2) ,代入可得答案. 【解答】解:∵当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) , ∴f(﹣3)=﹣1,f(﹣2)=0, ∵当﹣1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2, 又∵f(x+6)=f(x) . 故 f(3)=﹣1,f(4)=0,f(5)=﹣1,f(6)=0, 又∵2012=335×6+2, 故 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=335×+f(1)+f(2)=335+1+2=338, 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是函数的周期性,数列求和,按周期分组求和是解答的关键.
2

2



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在第二卷. 13.已知函数 f(x)=log2x,当定义域为 【考点】对数函数的图像与性质;函数的值域. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数的单调性即可求出值域. 【解答】解:函数 f(x)=log2x 在 ∵f( )=log2 =﹣1,f(4)=log24=2 ∴f(x)的值域为, 故答案为: . 【点评】本题考查了对数函数的单调性和函数的值域的求法,属于基础题. 为增函数, 时,该函数的值域为 .

14.幂函数 f(x)的图象过点

,则 f(x)的解析式是



【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题. 【分析】先由待定系数法设出函数的解析式,令 f(x)=x ,再由幂函数 f(x)的图象过点 ,将点的坐标代入求出参数,即可得到函数的解析式 【解答】解:由题意令 f(x)=x ,将点 得 所以 故答案为 【点评】本题考查幂函数的概念、解析式、定义域,解答本题,关键是掌握住幂函数的解析 式的形式,用待定系数法设出函数的解析式,再由题设条件求出参数得到解析式,待定系数 法是求函数解析式的常用方法,其前提是函数的性质已知,如本题函数是一个幂函数. ,解得 n=
n n

代入,

15.设 a>0 且 a≠1,则函数 y=a 【考点】指数函数的图像变换.

x﹣2

+3 恒过定点 (2,4) .

【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标. 【解答】解:令 x﹣2=0,解得 x=2,此时 y=1+3=4. ∴定点坐标为(2,4) , 故答案为: (2,4) . 【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质,直接让幂指数等于即可求出定点的横坐标, 比较基础.

16.使不等式

成立的 x 的取值范围为 (﹣∞,0)∪(1,+∞) .

【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】根据图象可得答案. 【解答】解:分别画出 y=2 与 y= , 由图象可得 x 的范围为: (﹣∞,0)∪(1,+∞) ,
x

故答案为: : (﹣∞,0)∪(1,+∞)

【点评】本题考查了利用图象来求出不等式的解集,关键是画图.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请把 答案写在第二卷相应题号处,否则不得分. 17.已知全集 U=R,集合 A={x|1<x≤8},B={x|2<x<9},C={x|x≥a} (1)求 A∩B, (?∪A)∩B; (2)如果 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】 (1)根据集合的交并补的运算法则计算即可; (2)A∩C≠?,结合集合 A,C 的范围得到不等式,解出即可. 【解答】解: (1)全集 U=R,集合 A={x|1<x≤8},B={x|2<x<9}, ∴A∪B={x|1<x<9},C∪A={x|x≤1,或 x>8}, ∴(C∪A)∩B={x|x≤1 或 x>8}∩{x|2<x<9}={x|8<x<9}, (2)∵A∩C≠?, ∴a≤8, ∴a 的取值范围为(﹣∞,8]. 【点评】本题考查了集合的和集合之间的关系,考查集合的运算,是一道基础题.

18.计算: (1)log3

(2) 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用对数性质、运算法则求解. (2)利用有理数指数幂性质、运算法则求解. 【解答】解: (1)log3 = =log33+2+2=5?(6 分)



(注:两组对数加减计算正确各得(2 分) ,自然对数计算正确得 1 分) (2) ) = (注:能正确将根式转化为分数指数幂每个得 1 分) 【点评】本题考查对数式、指数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意对数、指 数性质和运算法则的合理运用. .?(12 分)

19.已知 f(log2x)=x+x (1)求 f(1) ;

﹣1

(2)求函数 f(x)的解析式. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 【专题】函数思想;整体思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)令 log2x=1 可得 x=2,代入函数式计算可得; (2)设 log2x=t,可得 f(t) ,进而可得 f(x) . 【解答】解: (1)令 log2x=1,得 x=2, 代入函数式得 (2)设 log2x=t,则 x=2 ,
t



由 ∴f(x)=2 +2
x ﹣x

得 f(t)=2 +2 ,

t

﹣t

【点评】本题考查换元法求函数的解析式,涉及对数的运算,属基础题.

20.已知函数 f(x)=

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且



(1)确定 f(x)的解析式; (2)证明:f(x)在(﹣1,1)上是增函数. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;证明题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据 f(x)在(﹣1,1)上为奇函数,从而有 f(0)=0,再由 可求出 a=0,b=1,从而得出 ; 便

(2)根据增函数的定义,设任意的 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,然后作差,通分,提取公 因式 x2﹣x1,从而可以证明 f(x2)>f(x1) ,这便可得出 f(x)在(﹣1,1)上为增函数.

【解答】解: (1)依题意得,f(0)=0 且

,即





解得 a=0,b=1; ∴ ;

(2)证明:设 x1,x2∈(﹣1,1)且 x1<x2,则: ;

∵﹣1<x1<x2<1; ∴x2﹣x1>0,1﹣x1x2>0, ∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) ; ∴f(x)是(﹣1,1)上的增函数. 【点评】考查奇函数的定义,奇函数 f(x)在原点有定义时,f(0)=0,增函数的定义,以 及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较 f(x1) ,f(x2) , 作差后是分式的一般要通分,一般要提取公因式 x2﹣x1. >0;

21.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价就 降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 【考点】函数模型的选择与应用;二次函数在闭区间上的最值. 【专题】应用题. 【分析】 (1)根据题意,函数为分段函数,当 0<x≤100 时,p=60;当 100<x≤600 时,p=60 ﹣(x﹣100)×0.02=62﹣0.02x. (2) 设利润为 y 元, 则当 0<x≤100 时, y=60x﹣40x=20x; 当 100<x≤600 时, y= (62﹣0.02x) x﹣40x=22x﹣0.02x ,分别求出各段上的最大值,比较即可得到结论. 【解答】解: (1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, p=60﹣(x﹣100)×0.02=62﹣0.02x. ∴p= (2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x﹣40x=20x; 当 100<x≤600 时,y=(62﹣0.02x)x﹣40x=22x﹣0.02x . ∴y= 当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时,y=22x﹣0.02x =﹣0.02(x﹣550) +6 050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6050>2000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6050 元. 【点评】本题考查分段函数,考查函数的最值,解题的关键是正确写出分段函数的解析式, 属于中档题.
2 2 2 2

22.若函数 f(x)满足下列条件:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立, 则称函数 f(x)具有性质 M;反之,若 x0 不存在,则称函数 f(x)不具有性质 M (Ⅰ)证明:函数 f(x)=2 具有性质 M,并求出对应的 x0 的值; (Ⅱ) 试探究函数 y=a (a>0 且 a≠1)是否具有性质 M?并加以证明. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;新定义;探究型;函数的性质及应用. 【分析】 (1)直接根据 f(x0+1)=f(x0)+f(1)求得 x0 的值,即可证明该命题; (2)问题转为方程 a =
x x x

是否有解的讨论,当 a>1 方程有解,当 0<a<1 方程无解.
x

【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=2 , ∴f(x0+1)= 所以, 即 = ,f(x0)+f(1)= +2 ,
1

+2 ,

1

=2,解得 x0=1,
x

∴函数 f(x)=2 ,具有性质 M; (Ⅱ)函数 y=f(x)恒具有性质 M, 即关于 x 的方程 f(x+1)=f(x)+f(1) (*)恒有解. 若 f(x)=a ,则方程(*)可化为 a =a +a, 化简得(a﹣1)a =a,即 a = ①当 0<a<1 时,
x x x x x+1 x



<0,所以方程(*)无解,

因此,f(x)=a 不具备性质 M; ②当 a>1 时, >0,由于 a ∈(0,+∞) , = ,即 x0=
x x

所以,必存在 x0∈R,使得



所以,所以方程(*)必有解,因此,f(x)=a 具备性质 M. 综合以上讨论得,当 a∈(0,1) ,f(x)不具有性质 M,当 a∈(1,+∞) ,f(x)具有性质 M. 【点评】本题主要考查了抽象函数及其运算,涉及指数的运算性质和方程根的确定,属于中 档题.


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