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九年级数学一元二次方程3


知识 结构 一 元 二 次 方 程

?

2+bx+c=0(a≠0) ax 一般形式

解法

?

直接开平方法 配方法 公式法
2

( x ? a) ? b ?b ? 0?
2
2 2

b? ?b? ? x ? bx ? ? ? ? ? x ? ? ? c ? c ? 0? 2? ? 2? ?
?b ? b2 ? 4ac x? ? ? ? 0? 2a

因式分解法

( x ? a)( x ? b) ? 0

b c 根与系数的关系: x1 ? x2 ? ? a , x1 ? x2 ? a
应用
实际应用 转化思想;整体思想;配方法、换元法

根的判别式: ? ? b2 ? 4ac

思想方法

例 关于x的方程

( m ? 1) x

m ?1

2

? 3x ? 2 ? 0

(1)当m为何值时,是一元二次方程?
(2)当m为何值时,是一元一次方程?

例 解方程:

x ( 2 x ? 4) ? 5 ? 8 x ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 2( x ? 2)
x ? 2 7x ? 2 ? 0
2

化一般形式

例 若实数x、y满足

( x ? y )( x ? y ? 6) ? 5 ? 0 则 x ? y的值是多少

1. 解方程:

(x+1)(x+2)=6

中考直击

2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10

求a2+b2 的值。

2 3 ? ,求关于x的方程 例 8、已知 m ?1 m

x ? 3m ? 0 的解。
2

重点 2 一元二次方程根的判别式: b

? 4 ac

b ? 4 ac ? 0
2

有两个不相等 的实数根

b ? 4 ac ? 0
2

有两个相等 的实数根 没有实数根

b ? 4 ac ? 0
2

例 是否存在k,使方程

( k ? 1) x ? ( k ? 2) x ? 4 ? 0
2

有两个相等的实数根?若存在,求 出k的值;若不存在,请说明理由。 一元二次方程根的判别式:

b ? 4 ac
2

重点
一元二次方程的根与系数关系:

ax ? bx ? c ? 0( a ? 0)
2

b c x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a



已知关于x的一元二次方程

x ? mx ? 2 m ? 1 ? 0
2

的两个实数根的平方和为23,求m 的值。 一元二次方程的根与系数关系

b ? 4 ac
2

例 .一个直角三角形的两条直角边的和是 1.一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是24cm2,
求斜边的长 14cm, 面积是24cm2,求斜边的长

解:设其中的一条直角边长为xcm,另一条直角 边长为( 14 - x ). 1 根据题意可列方程 x 14 ? x ? 24. 整理得 解得 根据勾股定理

x2-14x+48 = 0. x1=6, x2=8.
斜边2=62+82
2 2

2

?

?

斜边 ? 6 ? 8 ? 100 ? 10.
答:斜边的长为10cm.

例 关于x的方程

x ? kx ? 6 ? 0
2

的一个根是2,求它的另一个根 和k的值。

例 一个菱形两条对角线的和是 12 5 cm, 并且面积为80cm2,求菱形的周长。



解方程

( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 4 ? 0
2 2 2

某水果经销商上月份销售一种新上市的水果, 平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克. 经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/x 千 y )与 (元/千克 x )之 克,则本月份销售量 (千克 间满足一次函数关系.且当 时 x?7 ; x?5 当 y ? 2000 时 . y ? 4000 (1)求与之间的函数关系式;

某水果经销商上月份销售一种新上市的水果, 平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克. 经市场调查,若将该种水果价格调低至 x元/千 克,则本月份销售量 y (千克)与 x (元/千克)之 间满足一次函数关系.且当 x ? 7 时y ? 2000; 当 x ? 5时 y ? 4000 .
(2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克, 本月份的成本价为4元/千克,要使本月份销售该种 水果所获利润比上月份增加20%,同时又要让顾客 得到实惠,那么该种水果价格每千克应调低至多少 元?

动态几何
在三角形ABC中,∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm.现 有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从 点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度 是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,求: (1)几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC面积的一半? (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少? B P Q C

A

Q

P

B

A

C

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