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2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式学案新人教B版必修2

2.4.2 学习目标 空间两点的距离公式 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距 离公式求空间中两点间的距离. 知识点 空间两点的距离 思考 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则其对角 线 AC1 的长等于多少? 梳理 空间两点的距离公式 (1)在空间直角坐标系 Oxyz 中, 任意一点 A(x, y, z)到原点间 O 的距离公式为 d(O, A)=|OA| = x +y +z . (2)空间中 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离公式是 d(A,B)=|AB| = 2 2 2 x2-x1 2 + y2-y1 2 + z2-z1 2 . 类型一 求空间两点间的距离 例 1 如图,正方体 OABC-D′A′B′C′的棱长为 a,|AN|=2|CN|,|BM|=2|MC′|,求 MN 的长. 1 反思与感悟 在平面直角坐标系中,我们学习了很多性质,但这些性质在空间直角坐标系中 并不能全部都适用.如平面直角坐标系中的中点坐标公式,两点间距离公式可类比到三维空 间中,而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用. 跟踪训练 1 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E 分别是棱 AB, B1C1 的中点,F 是 AC 的中点,求 DE,EF 的长度. 类型二 空间两点的距离公式的应用 命题角度1 求空间点的坐标 引申探究 1.若本例中已知条件不变,问能否在 z 轴上找一点 P,使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三角 形? 2.若本例中“在 z 轴上”改为“在 y 轴上”,其他条件不变,结论又如何? 例 2 已知点 A(4,5,6),B(-5,0,10),在 z 轴上有一点 P,使|PA|=|PB|,则点 P 的坐标 为________. 反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置, 则可直接设出该点坐标, 利用待 定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系, 以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐 标的方程进行求解. 跟踪训练 2 设点 P 在 x 轴上,使它到点 P1(0, 2,3)的距离是到点 P2(0,1,-1)的距离的 2 倍,求点 P 的坐标. 2 命题角度2 空间中距离的最值 例 3 已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,且平面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若|CM|=|BN|=a(0<a< (1)求|MN|的长; (2)当 a 为何值时,|MN|最小. 2). 反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题,无论是在几何问题中,还是在实际问题中,都 会涉及距离的问题,它的命题方向往往有三个:(1)求空间任意两点间的距离;(2)判断几何 图形的形状;(3)利用距离公式求最值. 跟踪训练 3 如图所示, 正方体棱长为 1, 以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标 轴, 建立空间直角坐标系 Oxyz, 点 P 在正方体的体对角线 AB 上, 点 Q 在正方体的棱 CD 上. 当 点 P 为体对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,求|PQ|的最小值. 1.点 P(1, 2, 3)到原点 O 的距离是( A. 6 B. 5 C.2 ) D. 3 ) 3 2. 点 P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点, 设它关于 y 轴的对称点为 Q, 则 PQ 的长为( A.2 5 C.3 2 B.5 2 D.2 3 3.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为( ) A. 2a C.a B. 2 a 2 1 D. a 2 4.若 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=________. 5.求证:以 A(10,-1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形. 1. 空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广, 它可以求空间直角坐标系下任意 两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想. 2.若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时, 应利用公式建立相应方程求解. 4 答案精析 问题导学 知识点 思考 a2+b2+c2. 题型探究 例 1 解 建立如图所示空间直角坐标系, 过点 M 作 MF 垂直 BC 于 F,连接 NF, 显然 MF 垂直平面 ABCO, 所以 MF 垂直 NF, 因为|BM|=2|MC′|. 所以|BF|=2|FC|. 又|AN|=2|CN|, 所以 NF∥AB, 1 a 所以|NF|=|FC|= |AB|= . 3 3 2 2a 同理|MF|= |CC′|= , 3 3 2a? ?a 2a ? ?a 因此,得点 N 的坐标为? , ,0?,点 M 的坐标为? ,a, ?, 3? ?3 3 ? ?3 于是|MN|= ?a-a?2+?2a-a?2+?0-2a?2= 5a. ?3 3? ? 3 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3 跟踪训练 1 解 以点 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系. ∵|C1C|=|CB|=|CA|=2, 5 ∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式,可得 D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), ∴|DE|= - |EF|= 2 + - - 2 2 + - - 2 2 = 5, - 2 + + = 6. 例 2 (0,0

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