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【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析:第05章平面向量

第五章 平面向量 第一节 题型 59 向量的概念及共线向量 题型 60 平面向量的线性表示——暂无 题型 61 向量共线的应用 平面向量的线性运算及其坐标表示 1.(2017 全国 3 理 12)在矩形 ABCD 中, AB ? 1 , AD ? 2 ,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若 AP ? ? AB ? ? AD ,则 ? ? ? 的最大值为( A.3 B. 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ). C. 5 D.2 解析 解法一:由题意,作出图像,如图所示.设 BD 与 ? C 切于点 E ,联结 CE .以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴正半轴, AB 为 y 轴正半轴建立直角坐标系,则点 C 坐标为 (2,1) .因为 | CD |? 1 , | BC |? 2 .所以 BD ? 12 ? 22 ? 5 .因为 BD 切 ? C 于点 E .所以 CE ⊥ BD .所以 CE 是 Rt△ BCD 斜边 BD 上的高. EC ? 2S△BCD ? BD 即 ? C 的半径为 1 2 ? ? BC ? CD 2 2 5, 2 ? ? BD 5 5 4 2 5 2 2 .因为点 P 在 ? C 上.所以点 P 的轨迹方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? . 5 5 ? 2 5 cos ? ? x0 ? 2 ? ? 5 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,可以设出点 P 坐标满足的参数方程 ? , 2 5 ? y0 ? 1 ? sin ? ? 5 ? ??? ? ??? ? ???? 而 AP ? ( x0 , y0 ) , AB ? (0,1) , AD ? (2,0) . ??? ? ??? ? ???? 因为 AP ? ? AB ? ? AD ? ? (0,1) ? ? (2,0) ? (2?, ? ) , 所以 ? ? 1 5 2 5 x0 ? 1 ? cos ? , ? ? y0 ? 1 ? sin ? . 2 5 5 两式相加得 ? ? ? ? 1 ? 2 5 5 sin ? ? 1 ? cos ? ? 2 ? 5 5 ?2 5? ? 5? ? ? ? 5 ? ? ?? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 2 2 2 ? sin(? ? ? ) ≤ 3 (其中 sin ? ? 5 , cos ? ? 2 5 ), 5 5 当且仅当 ? ? π ? 2kπ ? ? , k ? Z 时, ? ? ? 取得最大值为 3.故选 A. 2 y B E A(O) D P C x 解法二:如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得 ? ? ? 的最大值为 3. b 满足 a ? 1 ,b ? 2 , 2.(2017 浙江理 15)已知向量 a , 则 a? b ?a ? b 最大值是 . 的最小值是 , 解析 解法一:如图所示, a + b 和 a ? b 是以 a , b 为邻边的平行四边形的两条对角线,则 a?b ? a?b ? 2 a ? b 2 2 ? 2 2 ? ? 10 , A 是以 O 为圆心的单位圆上的一动点,构造 2 个全等的 平行四边形 AOBD ,平行四边形 ECOA .所以 a + b ? a ? b ? AB ? AC . 易知当 A ,B,C 三点共线时, AB ? AC 最小,此时 AB ? AC ? BC ? 4 ; 当 AO ? BC 时, AB ? AC 最大,此时 AB ? AC ? 2 AB ? 2 5 . D a B b a+b O A a-b C E 解法二: ? a ?b ? a ?b ? 2 a ?b 2 ? a ?b ? a ?b ? 2 a ?b a ?b ? 2 2 ? 2 2 ??2 a 2 ? b2 ? 2 a b cos ? a 2 ? b2 ? 2 a b cos ? ? 10 ? 2 5 ? 4cos? 5 ? 4cos? ? 10 ? 2 25 ?16cos2 ? ( ? 是向量 a , b 的夹角). 2 2 所以当 cos ? ? 1 时, a ? b ? a ? b 取得最小值 4;当 cos ? ? 0 时, a ? b ? a ? b 取得 最大值 2 5 . 题型 62 平面向量基本定理及应用 1, 2 , 1. (2017 江苏 12) 如图所示, 在同一个平面内, 向量 OA ,OB ,OC 的模分别为 1 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? . ??? ? OA 与 ??? ? O C? ??? ? n? OC 的 夹 角 为 ? , 且 t a ? ??? ? ??? ? mO ?A n O B ,n ? R? , 则 m ? n ? ?m C B α O 7 OB 与 OC 的 夹 角 为 45 ? . 若 , A ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?OC ? OA ? mOA ? OA ? nOB ? OA 解析 解法一:由题意 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?OC ? OB ? mOA ? OB ? nOB ? OB 而由 tan ? ? 7 ,得 sin ? ? (*) 7 5 2 , cos ? ? 1 5 2 , ??? ? ??? ? ? ? 3 ?? ? OA ? OB ? 1 ? 1 ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? . 4 4 5 4? ? 3 ?1 ? m? n ? ?5 5 将(*)式化简为 ? ?1 ? ? 3 m ? n ? 5 ? 式①加式②,得 m ? n ? 3 .故填 3 . ① ② 解法二 (

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