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用空间向量求直线间的夹角、距离

用空间向量求直线间的夹角、距离 1、定义:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a′∥a,b′∥b,则把直 线 a′和 b′所成的锐角(戒直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。 两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两 条异面直线互相垂直。 2、在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 求异面直线所成角的步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,戒两条同时平移到某个特殊的位置,顶点 选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角; C、利用三角形来求角。 3、两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量 ,则∠AOB 叫做向量 注: (1)规定: ,当 与 与 ,在空间中任取一点 O,作 。 时, 与 反

的夹角,记作

=0 时, 与 同向;当

向;当

时,



垂直,记

。 。

(2)两个向量的夹角唯一确定且

4、空间向量夹角的坐标表示: 设 则 AB 两点间的距离 , 。




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