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广东佛山市南海区石门中学2011

广东佛山市南海区石门中学 2011—2012 学年度 第二学期高二年级数学科(理科) 第一次检测题(选修 2-1、选修 2-2)
(全卷共 4 页,供理科班使用) 成绩 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把答案填在答题卷上. 3?i 1. 复数Z ? ) 的共轭复数是 ( 1? i A. ? 2 ? i 2. B. ? 2 ? i ) B. ? sin x C. cos x ? 1 D. sin x C. 2 ? i D. 2 ? i

?

x 0

cos xdx ? (

A. cos x

3.设 f ? x ? 在定义域内可导, y ? f ? x ? 的图象如图所示,则导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能 是( )

4.5 个男生,3 个女生坐成一排,如果女生不能排在两端,那么共有不同的排法( A.14400 种; B.7200 种; C.3600 种; D.10080 种。 1 1 1 1 5.已知 f(n)= + + +…+ 2,则 ( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4
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) )

6.若 f ( x) ? ax3 ? x 在区间[-1,1]上单调递增,则 a 的取值范围( A.



[?3, ??)

B.

[3, ??)

C. [? , ??)

1 3

D. [ , ??) )

1 3

7.曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是( A.(0,1) B. (1,0)
n

C.(-1,-4)或(1, 0)

D.(-1,-4)

8 .函数 f ? x ? ? nx m ?1 ? x ? 在区间 ?0,1? 上的图像如图所示,则 m, n 得知可能是 ( ) (B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1

(A) m ? 1, n ? 1 (C)
m ? 2, n ? 1

第 8 题图 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把答案填在答题卷上.

sin x 的导函数为_________. x lg x, x ? 0, ? ? 10.设若 f ( x) ? ? f ( f (1)) ? 1 ,则 a =_________. a x ? ? 8tdt , x ? 0, ? 0 ?
9.函数 f ( x ) ? 11.关于双曲线

x2 y 2 5 ? ? ?1 ,有以下说法:①实轴长为 6;②双曲线的离心率是 ;③ 4 9 16
4 x ,⑤焦点到渐近线的距离等于 3。正确 3

焦点坐标为 (?5, 0) ;④渐近线方程是 y ? ? 的说法是

,(把所有正确的说法序号都填上)

12.曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? ?

?
2

,x ?

?
2

所围成平面图形的面积为________。

13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上 画点或用小石子来表示数,按照点或石子能排列的形状对数进行分类,如图中的第二个五角 形数记作 a2 ? 5 ,第 3 个五角形数记作 a3 ? 12 ,第 4 个五角形数记作 a4 ? 22 ,……,若 按此规律继续下去,则 a5 ? ,若 an ? 145 ,则 n ? .

第 2 页 共 2 页

1 14.设 P ?

5

12

22 第 14 题图 。

2, Q ? 7 ? 3, R ? 6 ? 2 ,那么 P, Q, R 的大小顺序是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案填在答题卷上. 15.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (1) 求函数 f ( x) 的单调区间;

ex x

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(2) 若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集.

16.(本小题满分 14 分)如图 ,四棱锥 P ? ABCD 的底 面为正方 形,侧棱 PA ? 底面

ABCD ,且 PA ? AD ? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

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18.(本小题满分 14 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器 3

的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每 平方米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 (?1,0)、F2 (1,0) ,且经过 a 2 b2

定点 P (1, ) , M ( x0 , y0 ) 为椭圆 C 上的动点,以点 M 为圆心, MF2 为半径作圆 M . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,求点 M 横坐标 x0 的取值范围; (3)是否存在定圆 N ,使得圆 N 与圆 M 恒相切?若存在,求出定圆 N 的方程;若不 存在,请说明理由.

3 2

20.(本小题满分 14 分)

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲 线 y ? f ( x) 在与 x 轴交 点处的切线为 3 y ? 4 x ? 12 , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
已知 函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实 数 t 的取值范围.

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广东佛山市南海区石门中学 2011—2012 学年度第二学期 高二年级数学科 第一次检测 答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把答案填在答题卷上. 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卷上. 9、 f ?( x) ? 12. 2 2 15、解: (1)

x cos x ? sin x 1 ; 10、 ; 2 2 x
13、35,10

11、②④⑤ 14、P>R>Q

f ' ( x) ? ?

1 x 1 x x ?1 x e ? e ? 2 e , 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x2 x x

因为 当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 f ( x) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0), (0,1] .………………6 分

(2)



f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ?

x ? 1 ? kx ? kx 2 x ( x ? 1)(? kx ? 1) x e ? 0, e ? x2 x2

得: ( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 . 故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: {x 1 ? x ? } ; 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是: {x

1 k

1 ? x ? 1} . ……………………………………12 分 k
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16、解法一:(Ⅰ)证明:∵ E , H 分别是线段 PA , AB 的中点,∴ EH // PB . 又∵ EH ? 平面 EFH , PB ? 平面 EFH ,∴ PB //平面 EFH . (Ⅱ)解: 又 又 ……4 分

F 为 PD 的中点,且 PA ? AD ,

? PD ? AF , ? AB ? PA .


PA ? 底面 ABCD , BA ? 底面 ABCD ,
四边形 ABCD 为正方形,? AB ? AD .

PA

AD ?

A ,

第 5 页 共 5 页

? AB ? 平面 PAD . …………………7 分
又 又

PD ? 平面 PAD , ? A B ? P D.

AB

AF ? A ,? PD ? 平面 AHF .

……………………………9 分

解 法 二 : 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系

A ? xyz ,

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0)

,

P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1,0,0) .2 分
(Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) , ∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平 面 EFH , 且 EH ? 平 面 EFH ,

∴ PB //平面 EFH .

………………5 分

(Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) , ………………6 分

PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0.
? PD ? AF , PD ? AH ,又

……………………8 分

AF

AH ? A , ? PD ? 平面 AHF .……9 分

(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) , 则?

? ?n ? EF ? y ? 0, ? ?n ? EH ? x ? z ? 0,

取 n ? (1,0,1).

………………………………12 分

又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0), 所以 cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

1? 0 ? 0 2 ?1

?

1 2

?

2 , …13 分 2
…………………14 分

?? m, n ?? 45 , 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45? .
4 3 80? 4(20 ? r 3 ) ?l ? 18、解:(1) ? r l ? ? r ? 3 3 3r 2
2

l ? 2r ? r ? (0, 2]

?r c ? 故 y ? 2? rl ? 3? 4
2

4? [r 3 c ( ? 2?) r

40] r,? ( 0 , 2] …………………………… 5分

第 6 页 共 6 页

20 ? ? 8? (c ? 2) ? r 3 ? ? c?2? ? (2) y ' ? ,……………………………………8 分 r2
3 当 c ? 3 时, y ' 的正负与 r ?

20 20 20 3 的正负相同,而 r ? 与r ? 3 的正负相同, c?2 c?2 c?2

当0 ?

3

20 9 ? 2 ,即 c ? 时, 2 c?2

? ? 20 ? 20 ? 20 20 3 3 3 3 r ?? ? 0, c ? 2 ? ? 时,r ? c ? 2 ? 0,? y ' ? 0; r ? ? ? c ? 2 ,2? ? 时,r ? c ? 2 ? 0 ? y ' ? 0 ? ? ? ?
,故此时函数的减区间为,增区间为 ? 3

? 20 ? , 2 ? c?2 ? ?, ? ?

2 1 20 3 故当 r ? 时,函数 ymin ? 12? 20 (c ? 2) 3 …………………………………10 分 c?2
3

当3

20 20 ? 9? ? 2 ,即 c ? ? 3, ? 时, r ? 3 ? 0,? y ' ? 0 ,故函数在 (0, 2] 上是减函数, c?2 c?2 ? 2?
r ? 2 时的函数值 16? c ? 48? ;……………………………………14 分

故最小值为

19、(本小题满分 14 分) 【解析】(1)由椭圆定义得 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,
2 2 2

…………………………… 1 分

5 3 2 ?3? ?3? 即 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? 4 , ……………………… 2 分 2 2 ?2? ?2? 2 2 2 ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , ∴ b ? a ? c ? 3 . …………………………… 3 分 2 2 x y ? ?1 故椭圆 C 的方程为 …………………………….4 分 4 3
(2)圆心 M ( x0 , y0 ) 到 y 轴距离 d ? x0 ,圆 M 的半径 r ? 若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,则有 r ? d ,即
2 化简得 y0 ? 2x0 ? 1 ? 0 .
2 点 M 在椭圆 C 上,∴ y0 ? 3 ?

? x0 ?1?
2

2

2 ? y0 ,

? x0 ?1?

2 ? y0 ? x0 ,

………………………… 6 分

3 2 x0 ,代入以上不等式得: 4 4 2 ………………………… 8 分 3x0 ? 8x0 ?16 ? 0 ,解得: ?4 ? x0 ? . 3 4 4 又 ?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?2 ? x0 ? ,即点 M 横坐标的取值范围是 [ ?2, ) . ……9 分 3 3
第 7 页 共 7 页

2 (3)存在定圆 N : ? x ? 1? ? y ? 16 与圆 M 恒相切, 2

其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F1 ,半径为椭圆 C 的长轴长 4. ∵由椭圆定义知, MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4 ,即 MF 1 ? 4 ? MF 2 , ∴圆 N 与圆 M 恒内切. 20、解:(1) f ?( x) ? x2 ? 2bx ? c ,

………12 分

………………………… 14 分 ………………1 分

f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 .…2 分
直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 , 即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 , 解得 c ? 1 , d ? ?3 .

……………………………………4 分 ……………………………………5 分

1 3 2 则 f ( x) ? x ? x ? x ? 3 . 3 (2) f ?( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ?1)2 ,
2 ? ? x ? x, x ? 1, g ( x) ? x ( x ? 1) 2 ? x x ? 1 ? ? 2 ? ? x ? x , x ? 1.

…………………………………7 分

其图像如图所示.

y
2 1 ?1

1 1? 2 当 x ? x ? 时, x ? ,根据图像得: 4 2
2

(ⅰ)当 0 ? m ?

1 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m ; 2

O

1

1? 2 2

2 x

(ⅱ)当

1 1 1? 2 时, g ( x) 最大值为 ; ?m? 4 2 2

(ⅲ)当 m ?

1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m . 2

……………………………10 分

(3) 方法一:

h( x) ? ln( x ?1)2 , h( x) 的定义域是 {x x ? 1} ,

y
4

? 要使 h( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立,
x ? [0, 1] ,?t ?[0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1 . ………………①
由 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 得 ( x ? t ) ? (2 x ? 1) ,
2 2

3

B

2 ……………… 12 分

A 1
? 2 ?1O 1 2 3 4 x

即 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立,
2 2

令 ? ( x) ? 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t , ? ( x) 的对称轴为 x ? ?
2 2

2?t , 3

第 8 页 共 8 页

2?t ? ? 2?t ? 2?t ? 1, ? 1, ? 0, ?0 ? ? ?? ?? 则有 ? 或? 或? 3 3 3 ? ?? ? (4 ? 2t )2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ? ?? (1) ? 0 ?? (0) ? 0 ?
解得 ?1 ? t ? 1. ………………② 综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . ………………………………14 分

方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图),

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 ,? 要使不等式 x ? t ? 2x ?1 对 x ? [0, 1] 恒
成立,必须 ?1 ? t ? 1, 又 …………………………………12 分

当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,
因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . …………………………………14 分

第 9 页 共 9 页


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