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2016_2017学年高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定学业分层测评

1.3.2

圆内接四边形的性质与判定
(建议用时:40 分钟) [学业达标]

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.如图 1?3?30,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,P 是⊙O1 圆周上一点,分别连 PA、PB 并 延长交⊙O2 于 D、C 两点.若∠APB=x,∠ABC=y,则∠BCD=( )

图 1?3?30 A.180°-y C.180°+x-y 【解析】 ∵∠APB=x,∠ABC=y, ∴∠ABP=180°-y, ∴∠BAP=180°-x-(180°-y)=y-x, ∴∠BCD=∠BAP=y-x. 【答案】 D 2.如图 1?3?31, 在⊙O 中, 弦 AB 的长等于半径, ∠DAE=80°, 则∠ACD 的度数为( ) B.180°-x-y D.y-x

图 1?3?31 A.30° C.50° 【解析】 连接 OA,OB, ∵∠BCD=∠DAE=80°,∠AOB=60°, 1 ∴∠BCA= ∠AOB=30°, 2 ∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=80°-30°=50°. 【答案】 C 3.如图 1?3?32 所示,圆内接四边形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的延长线相交于点 P,对 角线 AC 和 BD 相交于点 Q,则图中共有相似三角形的对数为( )
1

B.45° D.60°

图 1?3?32 A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】 利用圆周角和圆内接四边形的性质定理, 可得△PCD∽△PAB, △QCD∽△QBA, △AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD.因此共 4 对. 【答案】 A 4.已知 Rt△ABC 的斜边 BC 的两个端点分别在 x 轴、y 轴的正半轴上移动,顶点 A 与原 点分别在 BC 的两侧,则点 A 的轨迹是( A.圆 C.射线 ) B.线段 D.一段圆弧

【解析】 如图,∵∠CAB=∠COB=90°, ∴四边形 ABOC 是圆内接四边形. ∴∠COA=∠CBA,并且是定值. ∴不管怎样移动 Rt△ABC,直线 OA 的斜率不变. 又由题意,可得动点 A 的轨迹是线段.故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.如图 1?3?33, 以 AB=4 为直径的圆与△ABC 的两边分别交于 E, F 两点, ∠ACB=60°, 则 EF=________.

图 1?3?33 【解析】 如图,连接 AE. ∵AB 为圆的直径, ∴∠AEB=∠AEC=90°. ∵∠ACB=60°, ∴∠CAE=30°, 1 ∴CE= AC. 2

2

∵∠C=∠C,∠CFE=∠B, ∴△CFE∽△CBA. ∴

EF CE = , AB AC

1 ∵AB=4,CE= AC,∴EF=2. 2 【答案】 2 6.(天津高考)如图 1?3?34,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点

PB 1 PC 1 BC P,若 = , = ,则 的值为________.【导学号:61650021】 PA 2 PD 3 AD

图 1?3?34 【解析】 由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P, 则△PAD∽△PCB ,∴ = 又 ∴ ∴

PC PB BC = . PA PD AD

PB 1 PC 1 PB PC 1 1 = , = ,∴ × = × . PA 2 PD 3 PA PD 2 3 PC PB 1 BC BC 1 × = ,∴ × = . PA PD 6 AD AD 6 BC 6 = . AD 6
6 6

【答案】

三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 7.如图 1?3?35,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作 AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E.

图 1?3?35 求证:AB·AD=BE·CD. 【证明】 如图,连接 AC. ∵AE∥BD,∴∠1=∠2. ∵∠2=∠3,∴∠1=∠3.

3

∵∠4 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角, ∴∠4=∠ADC. ∴△ABE∽△CDA, ∴

AB BE = , CD AD

∴AB·AD=BE·CD. 8.(全国卷Ⅱ)如图 3?1?36, 在正方形 ABCD 中, E, G 分别在边 DA, DC 上(不与端点重合), 且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F.

图 1?3?36 (1)证明:B,C,G,F 四点共圆; (2)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. 解:(1)证明:因为 DF⊥EC, 所以△DEF∽△CDF, 则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,

DF DE DG = = , CF CD CB
所以△DGF∽△CBF, 由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以 B,C,G,F 四点共圆. (2)由 B,C,G,F 四点共圆,CG⊥CB 知 FG⊥FB. 如图,连接 GB.由 G 为 Rt△DFC 斜边 CD 的中点,知 GF=GC,故 Rt△BCG≌Rt△BFG,因 此,四边形 BCGF 的面积 S 是△GCB 面积 S△GCB 的 2 倍, 1 1 1 即 S=2S△GCB=2× × ×1= . 2 2 2 [能力提升] 9.如图 1?3?37,已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,通过 P 作正方形的边的垂 线,垂足分别为 E、F、G、H.你能判断出 E、F、G、H 是否在同一个圆上吗?试说明你的猜 想.

4

图 1?3?37 【解】 猜想:E、F、G、H 四个点在以 O 为圆心的圆上.证明如下: 如图,连接线段 OE、OF、OG、OH. 在△OBE、△OBF、△OCG、△OAH 中,

OB=OC=OA.
∵PEBF 为正方形,∴BE=BF=CG=AH, ∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°. ∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH. ∴OE=OF=OG=OH. 由圆的定义可知:E、F、G、H 在以 O 为圆心的圆上.

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