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函数的周期和对称性


专题:函数的周期性对称性
1、周期函数的定义 一般地,对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 y ? f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这 个函数的一个周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数, 就把这个最小的正数叫做最 小正周期。 显然,若 T 是函数的周期,则 kT (k ? z, k ? 0) 也是 f ( x) 的周期。如无特别说明,我们 后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明:1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 推广:若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x ) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期;

f (x ?

T T ) ? f ( x ? ) ,则 f ( x) 周期为 T; 2 2
T

f ( x) 的周期为 T ? f (?x) 的周期为
2、常见周期函数的函数方程:

?



(1)函数值之和定值型,即函数 f (a ? x) ? f (b ? x) ? C (a ? b) 对于定义域中任意 x 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? C (a ? b) , 则有 f [ x ? (2b ? 2a)] ? f ( x) , 故函数 f ( x) 的周期是 T ? 2(b ? a) 特例: f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; (2)两个函数值之积定值型,即倒数或负倒数型 若 f (a ? x) ? f (b ? x) ? C(a ? b,C可正可负 ) ,则得

f ( x ? 2a) ? f [(x ? 2a) ? (2b ? 2a)] ,所以函数 f ( x) 的周期是 T ? 2(b ? a)

1

(3)分式型,即函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x ? b) ( a ? b) 1 ? f ( x ? b)

由 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x ? b) ?1 ,进而得 ( a ? b) 得 f ( x ? 2 a ) ? 1 ? f ( x ? b) f ( x ? 2b)

f ( x ? 2a) ? f ( x ? 2b) ? ?1 ,由前面的结论得 f ( x) 的周期是 T ? 4(b ? a)
特例:

f ? x ? a? ? ?

1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; f ? x?
1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 3a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 3a 为周期的周期函数. f ( x)

f ( x ? a) ? ?

f ( x ? a) ? 1 ?

f ( x ? a) ?

1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 3a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) f ( x) ? 1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. f ( x) ? 1 f ( x) ? 1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. f ( x) ? 1 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

f ( x ? a) ?

f ( x ? a) ?

f ( x ? a) ?

f ( x ? a) ?

(4)递推型:

f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a)(或 f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) ) , 则 f ( x) 的周期 T= 6a (联
系数列)

f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) , 则 f ( x)
的周期 T=5a; 其中 g ?1 ( x) ? g ( x) ,则 y ? f ( x) 是以 2a 为周 y ? f ( x)满足f ( x ? a) ? g ( f ( x)), (a ? 0), 期的周期函数。

2

3、函数的对称性与周期性之间的联系:双对称性函数的周期性 具有多重对称性的函数必具有周期性。即,如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴 和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心) ,则该函数必为周期函数。 相关结论如下: 结论 1 :两线对称型:如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 有两条对称轴 x ? a 、 x ? b ,即 f ( a ? x) ? f ( a ? x),且 f ( b ? x) ? f ( b? x),那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期

T ? 2 a ?b
证明:∵ f (a ? x) ? f (a ? x) 得 f ( x) ? f (2a ? x) f (b ? x) ? f (b ? x) 得 f ( x) ? f (2b ? x) ∴ f (2a ? x) ? f (2b ? x) ∴ f ( x) ? f (2b ? 2a ? x) ∴函数 y ? f ( x) 是周期函数,且 2b ? 2 a 是一个周期。 【注意:上述 2 a ? b 不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴 x ? a 、 x ? b 之间没 有其他对称轴,则 2 a ? b 是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。 】 结论 2 :两点对称型:如果函数同时关于两点 ? a, c ? 、 ? b, c ? ( a ? b )成中心对称,即

f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2c 和 f (b ? x) ? f (b ? x) ? 2c (a ? b) ,那么 f ( x ) 是周期函数,其中一
个周期 T ? 2 a ? b 证明:由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2c ? f ( x) ? f (2a ? x) ? 2c f ( b? x ) ? f( b ? ) x ? 2? c f ( x)? f ( 2b ? x) ? 2c 得 f (2a ? x) ? f (2b ? x) 得 f ( x) ? f (2b ? 2a ? x) ∴函数 y ? f ( x) 是以 2b ? 2 a 为周期的函数。 结论 3:一线一点对称型:如果函数 f ( x ) 的图像关于点 ? a, c ? ( a ? 0 )成中心对称,且关 于直线 x ? b ( a ? b )成轴对称,那么 f ( x ) 是周期函数,其中一个周期 T ? 4 a ? b 证明: f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2c ? f ( x) ? f (2a ? x) ? 2c

f ( b? x ) ? f( b ? x )? f ( x )? f (2? b x ) f(4( b? a ) ? x) ? f (2 b ? (4 a ? 2 b ? x )) f ( 4a? 2b? x)? f ( 2a ? (2 b ? 2 a ? x )? ) 2 c ? f (2 b ? ? 2c ? f (2b ? (2a ? x)) ? 2c ? f (2a ? x) ? 2c ? (2c ? f ( x)) ? 2c ? 2c ? f ( x) ? f ( x)

2 a ?

x )

推论 1:如果偶函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? a ( a ? 0 )对称,那么 f ( x ) 是周期函数, 其中一个周期 T ? 2 a
3

推论 2:如果偶函数 f ( x ) 的图像关于直线 ? a, c ? ( a ? 0 )对称,那么 f ( x ) 是周期函数, 其中一个周期 T ? 4 a 推论 3:如果奇函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? a ( a ? 0 )对称,那么 f ( x ) 是周期函数, 其中一个周期 T ? 4 a 推论 4:如果奇函数 f ( x ) 关于点 ? a, c ? ( a ? 0 )成中心对称,那么 f ( x ) 是周期函数,其 中一个周期 T ? 2 a 【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处,这三性都是有函数方程决定的, 方程的不同特征决定了函数不同的性质,要注意其共性与个性。 】 【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况,奇函数对称中心为( 0,0) ,偶函数对称轴为 y=0,带入结论 1-3,可得推论 1-4,所以学生在记忆时只需记住结论 1-3 即可,减少工作量】 【同理,教师可示范性给出一个结论的证明过程,其余可让学生进行证明】

典例精讲
一 利用周期性求值:

例 1、(★★)函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ?

1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( x)

1 f ( f (5)) =___ - _____。 5
例 2、 (★★) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 则 f (6) 的值为 ( B ) 例 3 A、-1 、 ( B、0 ★★ ) 已 知 C 、1 奇
2

D、2 函 数

f ( x)






f ( x ? 2) ? ? f ( x),且x ? (0,1)时, f ( x) ? 2 x , 则f (log1 18) 的值为
解: f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f ? x ? ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 4), 9 9 f (log 1 18) ? f (? log 2 18) ? f (4 ? log 2 18) ? f (log 2 ) ? f (? log 2 ) 8 8 2
9 log 9 9 ? ? f (log 2 ) ? ?2 2 8 ? ? 8 8

【提问:当所要求的值不在定义域中时,怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式 的这一段定义域中去?除了充分利用周期性外,还要注意题中的已知条件,如奇偶性、对 称性等。 】

4

例 4、 (★★★) f ( x ) 的定义域是 R ,且 f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) ,若 f (0) ? 2008 求 f(2008)的值。

f ( x ? 4) ? 1 ?1 f ( x ? 2) ? 1 f ( x ? 4) ? 1 ?1 解:f ( x) ? ? ? ? f ( x ? 8) f ( x ? 2) ? 1 f ( x ? 4) ? 1 ? 1 f ( x ? 4) f ( x ? 4) ? 1 周期为8, ? f (2008) ? f (0) ? 2008

二 利用周期性求解析式: 例5、 (★★★)已知 f ( x ) 是以2为周期的偶函数,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x ? 1 . 求 f ( x ) 在 (1, 2) 上的解析式。 解法1: 从解析式入手,由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵ x ? (1, 2) , 则 ? x ? (?2, ?1) ∴ 2 ? x ? (0,1) , ∵ T ? 2 ,是偶函数 ∴ f ( x) ? f (? x) ? f (2 ? x) ? 2 ? x ? 1 ? 3 ? x

x?(1, 2 )
解法2: (从图象入手也可解决,且较直观) f ( x) ? f ( x ? 2) 如图: x ? (0,1) , f ( x) ? x ? 1 .∵是偶函数 ∴ x ? (?1, 0) 时 f ( x) ? f (? x) ? ? x ? 1 又周期为2, x ? (1, 2) 时 x ? 2 ? (?1,0) ∴ f ( x) ? f ( x ? 2) ? ?( x ? 2) ? 1 ? 3 ? x 例 6、 ( ★★★ ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 , 周 期 T ? 5 , 函 数

y ? f ( x) (?1 ? x ? 1) 是奇函数.又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函 数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 . (1)证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; (2)求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; (3)求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式. 解 : ∵ f ( x ) 是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数 , 且 在 [?1,1] 上 是 奇 函 数 , ∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (5 ? 1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 .
②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) ,
2 2 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ? 5 ? a(4 ? 2) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,

∴ f ( x) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4) .
2

③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) 而 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ? ?3 ,
2

∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,
5

∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5 ∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,

4? x?6 6? x?9

2 ?2( x ? 7) ? 5,

.

【由以上两例可以看出,已知周期函数某个周期内的解析式,求另一个周期内的解析式, 只要当成是函数图象的平移来做即可。 】

【由于函数的性质:奇偶性、对称性联系紧密,教师可引导学生在此回顾奇函数、偶函数 如何求解对称区间的解析式这类问题】

三 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合运用

? x ? ) f (1 ?0 x且 ) 例 1 、 ( ★★ ) 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , f ( 1 0 f (20 ? x) ? ? f (20 ? x) ,则 f ( x)是 ( C )
A. 周期为 20 的奇函数 C. 周期为 40 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数 D. 周期为 40 的偶函数

例 2、 (★★)定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? ?4 ? x ? ? f ? x ? 8? ,且 y ? f ? x ? 8? 为偶 函数,则 f ( x ) ( C ) (A)是周期为 4 的周期函数 (C)是周期为12的周期函数 (B)是周期为 8 的周期函数 (D)不是周期函数

【熟记双对称函数的周期判断方法, 如果学生对函数的对称性有所忘记, 可在此回顾一下。 】 例3、 (★★★)定义在 R 上的函数 f ( x ) ,给出下列四个命题: (1)若 f ( x ) 是偶函数,则 f ( x ? 3) 的图象关于直线 x ? 3 对称 (2)若 f ( x ? 3) ? ? f (3 ? x), 则 f ( x ) 的图象关于点 (3, 0) 对称 (3)若 f ( x ? 3) = f (3 ? x) ,且 f ( x ? 4) ? f (4 ? x) ,则 f ( x ) 的一个周期为2。 (4) y ? f ( x ? 3) 与 y ? f (3 ? x) 的图象关于直线 x ? 3 对称。 其中正确命题的序号为 (2) 、 (3) 。

【本题中学生容易错选(4) ,究其原因,是没有分清是一个函数自身的对称,还是两个函 数之间的对称,审题不清】
3? ? 例 4、(★★★)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 0 ,且函数 f ? x ? ? 为奇函 2? ?
6

数.给出以下 3 个命题: ①函数 f ( x) 的周期是 6;
? 3 ? ②函数 f ( x) 的图象关于点 ? ? ,0 ? 对称; ? 2 ?

③函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称,其中,真命题的个数是( A ) . A.3 B.2 C.1 D.0

例 5、 (★★★)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且 在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 . (Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x ) =0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 解 : 由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) 得 函 数 y ? f ( x) 的 对 称 轴 为

x ? 2和x ? 7 , 从而知函数 y ? f ( x) 不是奇函数,

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10 又 f (3) ? f (1) ? 0, 而f (?3) ? f (7) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数; ? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) (II)由 ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) [?3, 0]关于x ? 2对称的区间为[4, 7], ? III ? 函数周期为10,
由?

f ( x)在[0, 7]只有两根1和3, ?[4, 7]无根, ?[ ?3, 0]无根, ? f ( x)在一个周期[?3, 7]内只有两根; ? f ( x)在 ? ?2005, 2005? 共有802个根。 ? ?2005, 2005? 共有401个周期,
. 【本题的关键是要说明在一个周期内函数只有两个根,也就是函数在[7,10]内是无根的】 例6 、 ( ★★★ ) 若 函 数 f ( x) 在 R 上 是 奇 函 数 , 且 在 ?? 1 , 0? 上 是 增 函 数 , 且

f ( x ? 2) ? ? f ( x) . ①求 f ( x) 的周期; ②证明 f ( x) 的图象关于点 (2k , 0) 中心对称;关于直线 x ? 2k ? 1 轴对称, (k ? Z ) ; ③讨论 f ( x) 在 (1, 2) 上的单调性;
解: ①由已知 f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2 ? 2) ? f ( x ? 4) ,故周期 T ? 4 . ② 设 P( x, y ) 是 图 象 上 任 意 一 点 , 则 y ? f ( x) , 且 P 关 于 点 ( 2k , 0 ) 对称的点为

x ? 2k ? 1 对称的点为 P2 (4k ? 2 ? x, y) P 1 (4k ? x, ? y) .P关于直线 ∵ f (4k ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ? ? y ,∴点 P1 在图象上,图象关于点 (2k , 0) 对称. 又 f ( x ) 是奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f (? x) ∴ f (4k ? 2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? y ∴点 P 2 在图象上,图象关于直线 x ? 2k ? 1 对称.
③设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 ?2 ? ? x2 ? ? x1 ? ?1, 0 ? 2 ? x2 ? 2 ? x1 ? 1
7

∵ f ( x ) 在 (?1, 0) 上递增, ∴ f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 ) ……(*) 又 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f (? x) ∴ f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) , f (2 ? x2 ) ? f ( x2 ) . 所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) , f ( x ) 在 (1, 2) 上是减函数.

例 7 、 ( ★★★ ) 已 知 函 数

f ( x)

对 任 意 实 数

x, y

均 有

f (x ? )f y ? ( f)

x? y x? y 2 f ( 2 2

f)

?( ,且存在非零常数 ) , ( 0 c,) 0 使f (c ) ? 0.

(1)求 f (0) 的值; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明; (3)求证 f ( x ) 是周期函数,并求出 f ( x ) 的一个周期.

解:(1)取a ? 0, b ? 0,得f (0) ? f (0) ? 2 f (0) ? f (0),? f (0) ? f 2 (0) f (0) ? 0,? f (0) ? 1 (2) f ( x)是偶函数。 证明:原式中,x不变,取y ? ? x, 得f ( x) ? f ( ? x) ? 2 f ( 即f ( x) ? f (? x) ? 2 f (0) ? f ( x) ? 2 f ( x),? f ( x) ? f ( ? x) (3)令x =x,y ? x ? c, 则f ( x) ? f ( x ? 2c) ? 2 f ( x ? ( x ? 2c) x ? ( x ? 2c) )? f ( ) ? 2 f ( x ? c ) ? f (c ) ? 0 2 2 ? f ( x) ? f ( x ? 2c) ? 0, 将x换成x ? 2c, ? f ( x ? 2c) ? f ( x ? 2c ? 2c) ? 0, ? f ( x ? 2c) ? f ( x) ? 0 ? f ( x ? 2c) ? f ( x ? 2c), 再将x换成x ? 2c,得f ( x ) ? f ( x ? 4c ) ? f ( x)的一个周期为4c
【本题第 3 问关键是如何利用 f (c) ? 0 这个条件,在等式右边凑出 f (c) 】 课堂检测 1、 (★★)已知函数 f ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2x ?1 ,则 ) f (log 2 10) 的值为( 3 8 5 3 A. B. C. ? D. 5 5 3 8 解: 3 ? log 2 10 ? 4,??1 ? ?4 ? log 2 10 ? 0,

x ? (? x) x ? (? x) )? f ( ) 2 2

函数f ( x)是以2为周期的偶函数, ? f (log 2 10) ? f (?4 ? log 2 10) ? f (4 ? log 2 10), 当x ? (0,1)是,f ( x) ? 2 x ? 1,? f (4 ? log 2 10) ? 16 ? 3 即f (log 2 10) ? .故选A. 5
2、 (★★)设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?

1 3 ?1 ? , 10 5

1 ,且当 x ?? ?3, ?2? 时, f ( x)

8

f ( x) ? 2 x ,则 f (113.5) ? ( D ) 2 2 1 A. ? B. C. ? 7 7 5

D.

1 5

3、 ( ★★ ) 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有

f (x ? 1 ) ?

1 ? f (x ) ,当 0 ? x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (11.5) ? ( A ) 1 ? f (x ) 1 1 A. ?1 B. 1 C. D. ? 2 2

4、 (★★)已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时,

f ( x) ? x ,则 f (7.5) 等于( B
A. 0.5

)

B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5 R 5、 ( ★★ ) 设 f ( x ) 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , f ( x ? 4) ? -f ( x) 且 f (3) ? 5 , 则 f (- 2 1) ? ______________, f (2005) ? ______________
答:5,-5 6、 (★★) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且满足 f ( x ? 2) ?

1 , 当 0≤x≤1, f ( x) ? 2x, f ( x)

则 f (7.5) ? ______________ 答:1 7、 (★★) 设 f ( x ) 是 定义在 R 上 的奇 函数 ,且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,

f (1) ? 2 ,则

f (2)? f (7)? ______________
答:-2 8、 (★★★)设 f ? x ? 是定义域为 R 的函数,且 f ? x ? 2 ? ? ?1 ? f ? x ? ? ? ? 1 ? f ? x ? ,又

f ? 2? ? 2 ? 2 ,则 f ? 2006? =
(答:

2 ?2 ) 2

1+x 9、 (★★★) 设 f(x)= , 又记 f1(x)=f(x), fk+1(x)=f[fk(x)], k=1,2, …, 则 f2009(x)=( D ) 1-x 1 A.- x B.x x-1 C. x+1 1+x D. 1-x

【本题属于迭代周期型,也是常出现的题】 10、 (★★★)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函 数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 =___-8_____. 11、 (★★★)已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2009]上的所有 x 的个 2 2

9

数. 解析:(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x,设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 2 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 1 1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x(-1≤x≤0).故 f(x)= x(-1≤x≤1). 2 2 2 1 又设 1<x<3,则-1<x-2<1,∴f(x-2)= (x-2), 2 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)] =-f(x), 1 1 ∴-f(x)= (x-2),∴f(x)=- (x-2)(1<x<3). 2 2

?2x,-1≤x ∴ f(x)=? 1 ?-2x- ,

1

x

1 . 由 f(x)=- ,解得 x=-1. 2

∵f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 故 f(x)=- 的所有 x=4n-1 (n∈Z). 2 1 1005 令 0≤4n-1≤2009,则 ≤n≤ . 4 2 又∵n∈Z,∴1≤n≤502 (n∈Z), 1 ∴在[0,2009]上共有 502 个 x 使 f(x)=- 2 课后习题
x 1 若函数 f ( x) ? 2 ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (5) =

.1

2 设 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,则函
2

数 f ? x ? 在 (1, 2) 上的解析式是 【答案】 y ? log1 ?x ? 1?
2

10

?m 1 ? x 2 , x ? ?? 1,1? ? 3(2013 浦东二模理 17)已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? ,其 ?x , x ? ?1,3? ?? cos 2 ?
中m ? 0。 若方程 f ( x) ?

x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( 3



( A) (

15 8 , ) 3 3

( B) (

15 , 7) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 ( D) ( , 7) . 3

【答案】B

?m(1? | x |), x ? ?? 1,1? ? 4(2013 浦东二模文 17)已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? 其 ?x ? cos , x ? ?1,3? ? 2 ?
中 m ? 0 ,若方程 f ( x) ?

x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( 3



4 ( A) ( , ??) 3
【答案】C 新定义型

4 ( B) [ , ??) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 8 ( D) [ , ] . 3 3

5 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) (其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 ) 的函数叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f ( x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f ( x) 是偶函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x) ? x(1 ? x) ,求函 数 y ? f ( x) , x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式; 解:因为 x ? R 关于原点对称, 又函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,所以

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ①

又 T ? 1 ,? f ( x ? 1) ? af ( x) ,

用 ? x 代替 x 得 f (? x ? 1) ? af (? x) , 由①②③可知 af ( x) ? af (? x) , ? a ? 1且 a ? 0 ,

11

? f ( x) ? f (? x) .即函数 f ( x) 是偶函数;
(2)当 n ? x ? n ? 1 (n ? Z ) 时, 0 ? x ? n ? 1 (n ? Z )

f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 2 f ( x ? 2) ? ? ? 2 n f ( x ? n) ? 2 n ( x ? n)(n ? 1 ? x) ;
6、 已知函数 y ? f ( x), x ? D , 如果对于定义域 D 内的任意实数 x , 对于给定的非零常数 m , 总存在非零常数 T ,恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类增周 期函数,周期为 T .若恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类周 期函数,周期为 T . (1) 试判断函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1) 是否为 ?3, ? ?? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数?并
2

说明理由; (2)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax 是 ?3, ? ?? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数,求实数 a 的 取值范围; 解(1)∵( x ? 1 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? ?( x 2 ? 3x ? 1) ? 0 ,即 ( x ? 1 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ∴log 1 ( x ? 1 ? 1) ? log1 ( x ? 1) ,即 log 1 ( x ? 1 ? 1) ? 2 log1 ( x ? 1)
2
2

2

2

2

即 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) 对一切 x ? ?3, ? ?? 恒成立, 故 f ( x) ? log1 ( x ? 1) 是 ?3, ? ?? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数.
2

(2)由题意可知: f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 即 ? ( x ? 1) ? a( x ? 1) ? 2(? x ? ax) 对一切 ?3, ? ?? 恒成立,
2 2

?x ? 1?a ? x 2 ? 2x ? 1 ,
∵x ? 3 ∴a ?

x 2 ? 2x ? 1 ?x ? 1? ? 2 ? ?x ? 1? ? 2 , ? x ?1 x ?1 x ?1
2

令 x ? 1 ? t ,则 t ? ?2, ? ?? ,

g (t ) ? t ?

2 在 ?2, ? ?? 上单调递增, t

所以 g (t ) min ? g (2) ? 1, 所以 a ? 1 .
12

利用周期,奇偶性,对称性求解析式 7 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 4,且 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x) ?

2x 4x ?1

(1)判断并证明 f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上的单调性,并求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的解析式; (2)当 ? 为何值时,关于 x 的方程 f ( x) ? ? 在 ?2,6? 上有实数解? 解: (1) f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为减函数。
x1

……………2分
x2

证明如下:设 0 ? x1 ? x2 ? 2, 则 2 ? 2

? 0,1 ? 2

x1 ? x2

? 0, (4 ? 1)(4 x2 ? 1) ? 0
x1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 2 x2 (2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) ? = ?0 4 x1 ? 1 4 x2 ? 1 (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)
……………4 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ),? f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为减函数。
当 ?2 ? x ? 0 时, 0 ? ? x ? 2 , f ( ? x) ?

2?x 2x ? 4?x ? 1 4 x ? 1 2x 又 f ( x) 为奇函数,? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x , ……………6 分 4 ?1 当 x ? 0 时,由 f (?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0 ……………7 分 f ( x) 有最小正周期 4,? f (?2) ? f (?2 ? 4) ? f (2) ? f (?2) ? f (2) ? 0 ………9 分

? 2x ,0? x?2 ? x 4 ? 1 ? ? 综上, f ( x) ? ?0 ……………10 分 , x ? 0,?2 ? 2x ?? ,?2 ? x ? 0 ? ? 4x ?1 (2) f ( x) 周期为 4 的周期函数,关于方程 f ( x) ? ? 在 ?2,6? 上有实数解的 ? 的范围即为求
函数 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的值域. …………………………………11 分 当 x ? ? 0,2? 时由(1)知, f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为减函数,? 当 x ? ? ?2,0? 时, f ( x) ? (?

4 1 ? f (2) ? f ( x) ? f (0) ? , 17 2

1 4 ,? ) 2 17 当 x ?{?2, 0, 2} 时, f ( x) ? 0 1 4 4 1 ? f ( x) 的值域为 (? ,? ) ? ?0? ? ( , ) 2 17 17 2 1 4 4 1 ? ? ? (? ,? ) ? ?0? ? ( , ) 时方程方程 f ( x) ? ? 在 ?2,6? 上有实数解. 2 17 17 2

8 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

13

当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) . 由单调性可得 y ? [0, lg 2] .
y

因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ?[0, lg 2] .

9、函数 f ( x) 的图像与函数 y ? 4 ? a |x?2| ? 2 ? a x?2 的图像关于点 A(1 , 2) 对称.
求函数 f ( x) 的解析式; 设 点 P( x , y ) 是 函 数 f ( x) 图 像 上任 意一 点 , P 关 于 点 A 对 称 的 点为 P?( x? , y ?) , 则

x ? x? y ? y? ? 1, ? 2 ,于是 x ? ? 2 ? x , y ? ? 4 ? y , 2 2 ? ? 因为 P?( x? , y ?) 在函数 g ( x) 的图像上,所以 y ? ? 4 ? a | x ?2| ? 2 ? a x ?2 ,
即 4 ? y ? 4 ? a |? x| ? 2 ? a ? x , y ? a | x| ? 2 ? a ? x , 所以 f ( x) ? a | x| ? 2 ? a ? x .

10 已知函数 f ( x) ? 2 ,a?R 。 (1)若 f ( x ) 为偶函数,求 a 的值; 的取值范围。 解: (1)

x ?a ? x?1

(2)若函数 g ( x) 和 f ( x ) 的图像关于原点对称,且 g ( x) 在区间 ? 2, ??? 上是减函数,求 a

f ( x) 为偶函数,? f (?2) ? f (2),? 2 ? a ? 2 ?1 ? 2 ? a ? 2 ?1 解得 a ? 1 。 当 a ? 1 时, f (? x) ? f ( x) 成立 故 a ? 1
x ? a ? x ?1

(2)由题意, g ( x) ? ? f (? x) ? ?2

,设 h( x) ? x ? a ? x ?1

? h( x) ? x ? a ? x ?1 ? x ? a ? x ?1 在 ? 2, ??? 上是增函数
只有在 x ? ? a 时, h( x) ? x ? a ? x ?1 ? 2x ? a ?1是增函数, 所以 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 。

g ( x) 在区间 ? 2, ??? 上是减函数,

14


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