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2017届高考数学(理)一轮复习 (课件+练习)第八章 平面解析几何8-5

课后课时作业
[A 组· 基础达标练] x2 y2 1.[2016· 韶关调研 ]已知椭圆与双曲线 4 -12=1 的焦点相同, 且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10,那么椭圆的离心率等 于( ) 3 A.5 5 C.4 答案 解析 B 由双曲线方程求出焦距 c2=4+12=16?c=4,2c=8,e= 4 B.5 3 D.4

c 2c 8 4 a=2a=10=5,故选 B. x2 y2 2.[2015· 广州二模]设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,若∠ PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为( 1 A.6 3 C. 6 答案 D 1 B.3 3 D. 3 )

解析

1 如右图所示,PF1 的中点为 M,O 为中点?OM 綊2PF2,

∠PF1F2=30° .设|F1F2|=2c,|PF1|=

4c 2c c 2c 2c ,|PF2|= ,e=a=2a= 6c = 3 3 3

3 3 .故选 D. x2 y2 3.P 是椭圆 5 + 4 =1 上的一点,F1 和 F2 是焦点,若∠F1PF2= 30° ,则△F1PF2 的面积为( 16 3 A. 3 答案 解析 B 由题意知 c=1; B.4(2- 3) D.16 )

C.16(2+ 3)

|PF1|+|PF2|=2 5,|F1F2|=2,在△F1PF2 中有: |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos30° =|F1F2|2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-(2+ 3)|PF1|· |PF2|=4, ∴|PF1|· |PF2|=16(2- 3), 1 △F1PF2 的面积为 S=2|PF1|· |PF2|sin30° =4(2- 3).故选 B. 4 . [2016· 广 东 四 校 联 考 ] 已 知 椭 圆的 方 程 为 2x2 + 3y2 = m , (m>0),则此椭圆的离心率为( 1 A.3 2 C. 2 答案 解析 B x2 y2 由题意得椭圆的标准方程为m +m =1, 2 3 3 B. 3 1 D.2 )

m m ∴a2= 2 ,b2= 3

m 2 c2 1 3 ∴c =a -b = 6 ,e =a2=3,e= 3 .
2 2 2

x2 y 2 5.过点 A(3,-2)且与椭圆 9 + 4 =1 有相同焦点的椭圆的方程 为( ) x2 y2 A.15+10=1 x2 y2 C.10+15=1 答案 解析 A 由题意可得 c2=9-4=5, x2 x2 y2 B.25+20=1 x2 y2 D.20+15=1

y2 又已知椭圆的焦点在 x 轴,故所求椭圆方程可设为 + = λ+5 λ 9 4 1(λ>0),代入点 A 的坐标得 + λ=1 解得 λ=10 或 λ=-2(舍去), λ+5 x2 y2 故所求的椭圆方程为15+10=1. x2 y2 6.[2016· 广安月考]若点 O 和点 F 分别是椭圆 4 + 3 =1 的中心和 → → 左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为( A.2 C.6 答案 解析 C x2 y2 由椭圆 4 + 3 =1 可得点 F(-1,0),点 O(0,0), B.3 D.8 )

→ → 设 P(x,y),-2≤x≤2,则OP· FP=(x,y)· (x+1,y)=x2+x+y2 x? 1 ? 1 = x +x +3?1- 4 ?=4x2+ x+3 =4(x+ 2)2+2 ,当且仅当 x =2 时, ? ?
2 2

→ → OP· FP取得最大值 6.

x2 y2 7.[2015· 长春调研]已知 F1、F2 是椭圆 4 + 3 =1 的两个焦点, 过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点,则△F1AB 的周长为 ________. 答案 解析 8.
?1 ? x2 y2 8.设 e 是椭圆 4 + k =1 的离心率,且 e∈?2,1?,则实数 k 的取 ? ?

8 由已知得△F1AB 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=

值是________. 答案 解析 16 k> 3 或 0<k<3 c 当 4>k 时,e=a= 4-k ?1 ? 1 ? ,1?,即 < ∈ 2 2 ?2 ? 4-k 2 <1?1<4-

k<4,即 0<k<3. c 当 4<k 时,e=a= k-4 ?1 ? ∈? ,1? ? k ?2

1 k-4 1 4 3 4 16 即4< k <1?4<1-k<1?4>k>0?k> 3 . π 9.设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,点 C 在 Γ 上,且∠CBA=4,若 AB =4,BC= 2,则 Γ 的两个焦点之间的距离为________. 4 答案 3 6

解析 坐标系.

如图所示,以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的

x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0) π ∵D 在 AB 上,且 CD⊥AB,AB=4,BC= 2,∠CBA=4, ∴CD=1,DB=1, ∴C(1,1). ∵2a=4, ∴a=2, 1 1 把 C(1,1)代入椭圆的标准方程得a2+b2=1, 1 1 3 ∴b2=1-a2=4, 4 8 ∴b2=3,c2=3, 2 6 4 ∴c= 3 ,∴2c=3 6. x2 y2 10 . [2014· 课标全国卷Ⅱ ] 设 F1 , F2 分别是椭圆 C : a2 + b2 = 1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.

3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解 (1)根据 c= b? ? a -b 及题设知 M?c, a ?,若直线 MN 的斜率 ? ?
2 2 2

b2 a 3 b2 3 为4,即 tan∠MF1F2=2c=2ac=4,得 2b2=3ac. c 1 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得a=2,-2(舍去). 1 故 C 的离心率为2. (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 b2 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 a =4,即 b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

?2?-c-x1?=c ? ?-2y1=2,
3 ? ?x1=-2c 即? ?y1=-1. ? 9 c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 将①及 c= 9?a2-4a? 1 a -b 代入②得 4a2 +4a=1,
2 2

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. [B 组· 能力提升练] x2 y2 1.[2015· 海淀期末 ]椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左右焦点分别

为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P,使得△F1F2P 为等腰 三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是(
?1 2? A.?3,3? ? ? ?2 ? C.?3,1? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ? ?1 1? ?1 ? D.?3,2?∪?2,1? ? ? ? ?

)

答案

D

解析

当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时,△F1F2P 为等腰三角

形,此时有 2 个. 若点 P 不在短轴的端点时,要使△F1F2P 为等腰三角形,则有 PF1=F1F2=2c 或 PF2=F1F2=2c.不妨设 PF1=F1F2=2c.此时 PF2=2a - 2c. 所以有 PF1 + F1F2>PF2 ,即 2c + 2c>2a - 2c ,所以 3c>a ,即 c 1 c 1 > ,又当点 P 不在短轴上,所以 PF 1≠BF1,即 2c≠a,所以 ≠ . a 3 a 2 1 1 所以椭圆的离心率满足3<e<1 且 e≠2,所以选 D. x2 y2 2.[2015· 海淀期末]已知椭圆 C: 4 + 3 =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2.若点 P 是椭圆 C 上的动点, → → 则F1P· F2A的最大值为( 3 A. 2 3 3 B. 2 )

9 C.4 答案 解析 B

15 D. 4 → → b2 3 设向量F1P,F2A的夹角为 θ.由条件知|AF2|= a =2,则

→ → 3 → → → → F1P· F2A=2|F1P|cosθ,于是F1P· F2A要取得最大值,只需F1P在向量 → F2A上的投影值最大,易知此时点 P 在椭圆短轴的上顶点,所以 → → 3 → 3 3 F1P· F2A=2|F1P|cosθ≤ 2 ,故选 B. 3.[2016· 大连双基]在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶 sinA+sinC x 2 y2 点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆25+ 9 =1 上,则 sinB 的值 为________. 5 答案 4 解析 sinA+sinC |BC|+|BA| 2a a 5 sinB = |AC| =2c=c=4.

x2 y2 4 . [2015· 课标全国卷Ⅰ ] 一个圆经过椭圆 16 + 4 = 1 的三个顶 点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________. 3? ? 25 答案 ?x-2?2+y2= 4
? ?

解析

由题意知,圆过椭圆的三个顶点(4,0),(0,2),(0,-2), 3 a2+4,解得 a=2,所以该圆

设圆心为(a,0),其中 a>0,由 4-a= 3? ? 25 的标准方程为?x-2?2+y2= 4 .
? ?

x2 y2 5.[2015· 陕西高考 ]已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的半焦距为 1 c,原点 O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为2c. (1)求椭圆 E 的离心率; 5 (2)如图,AB 是圆 M:(x+2)2+(y-1)2=2的一条直径,若椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭圆 E 的方程. 解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0,则原点 bc =a, b2+c2 c 3 a2-c2,解得离心率a= 2 . bc

O 到该直线的距离 d=

1 由 d=2c,得 a=2b=2

(2)解法一:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.① 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 8k?2k+1? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- , 1+4k2

4?2k+1?2-4b2 x1x2= . 1+4k2 由 x1+x2=-4,得- 8k?2k+1? =-4, 1+4k2

1 解得 k=2.从而 x1x2=8-2b2. 于是|AB|= 5 =2
?1? 1+?2?2|x1-x2| ? ?

?x1+x2?2-4x1x2=

10?b2-2?.

由|AB|= 10,得

10?b2-2?= 10,解得 b2=3.

x2 y2 故椭圆 E 的方程为12+ 3 =1. 解法二:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.② 依题意,点 A , B 关于圆心 M( - 2,1) 对称,且 |AB| = 10. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2 2 2 x1 +4y1 =4b2, x2 +4y2 =4b2,

两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, 所以 AB 的斜率 kAB= y1-y2 1 = . x1-x2 2

1 因此直线 AB 的方程为 y=2(x+2)+1,代入②得 x2+4x+8-2b2=0.

所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 于是|AB|= 5 2
?1? 1+?2?2|x1-x2|= ? ?

?x1+x2?2-4x1x2=

10?b2-2?.

由|AB|= 10,得

10?b2-2?= 10,解得 b2=3.

x2 y2 故椭圆 E 的方程为12+ 3 =1.


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