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数学:2.1.1《平面》课件(新人教A版必修2)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修2

2.1.1 《平面》

教学目 标
? 使学生掌握平面的表示法,点、直线与平面的关系,有关平面的三个 公理,会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。 ? 教学重点:三个公理的教学是重点为。 ? 教学难点:公理的理解是难点。

空间点、直线、平面的位置关系

观察长方体,你能发现长方体的顶点,棱 所在的直线,以及侧面、底面之间的位置关系 D? C? 长方体由上下、前后、 吗?
A?

B?

D

C
A B

左右六个面围成. 有些面是平行的,有些 面是相交的;有些棱所在直 线与面平行,有些棱所在直 线与面相交,每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面

实例引入
观察教室里的桌面、黑板面,它们呈现出怎样的 形象?

实例引入
观察活动室里的地面,它呈现出怎样的形象?

实例引入
观察海面,它又呈现出怎样的形象?

引入新课
生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象.你还能 从生活中举出类似平面形的物体吗? 几何里所说的“平面”(plane)就是从这 样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的 平面是无限延展的.

平面的画法 请你从适当的角度和距离观察教室里的桌 面、黑板面或门的表面,它们呈现出怎样的形 象?

平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形,用平行四边形表示平面. 平行四边形的锐角通常画成45°,且横边 长等于其邻边长的2倍.
D

C
B

A

平面的画法 为了增强立体感,常常把被遮挡部分用虚 线画出来.
D F E B

C

A

被遮挡部分 用虚线表示

平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边 形的一个角上,如平面α、平面β等;也可以用代表平 面的四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写 英文字母作为这个平面的名称. D ? C D F C ? A ? B A E B 记作:平面 ? 记作:平面 ? 平面 ? 平面ABCD 平面AC或平面BD

点与平面的位置关系
平面内有无数个点,平面可以看成点的集合.点 在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、 不属于关系来表示. B

?

A

点A在平面 ? 内, 记作 A ? ? . 读作

记作 点B在平面 ? 外, 读作

B ?? .

平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P,直线 l 是否在 平面α内?

平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点,直线 l 是否 在平面α内? 实际生活中,我们有这样的经验:把一根直尺边 缘上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整个 边缘就落在了桌面上.

平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
在生产、生活中, 人们经过长期观察与实 践,总结出关于平面的 一些基本性质,我们把 它作为公理.这些公理 是进一步推理的基础.

l A ? B

A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?
作用: 判定直线是否在平面内.

图形、文字、符号
l A l

A 点A在直线l上.
A?l

点A在直线l外.
A?l

l A

?

l A ? B 直线l在平面 ? 内. 平面 ? 经过直线l.
l ??

直线l在平面 ? 外.
l ??

平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相 机.

平面公理
测量员用三角架支撑测量用的平板 仪.

平面公理
公理2 平面.

存在性

过不在一条直线上的三点,有且只有一个 唯一性

B

?

A

C

不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面, 可以记成“平面ABC”.

作用: 确定平面的主要依据.

平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

平面公理 观察长方体,你能发现长方体的两个相交 平面有没有公共直线吗?
D?
A?

C?
B?

D

C
A B

这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线. 另一方面,相邻两个平面有 一个公共点,如平面 A’B’C’D’和平面BB’C’C 有一个公共点B’,经过点B有且 只有一条过该点的公共直线

平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P ?? ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l
?

?

P

l

作用: ①判断两个平面相交的依据. ②判断点在直线上.

典型例题
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系.
?

?

a

?

A l ( 1)

B

a

l

b P ( 2)

?

解:在(1)中, ? ? ? ? l , a ? ? ? A, a ? ? ? B.

在(2)中, ? ? ? ? l , a ? ? , b ? ? , a ? l ? P, b ? l ? P.

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: ①直线 AC1在平面 CC1B1B 内;错误
C

B A

D

C1

B1

D1

A1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: O 1 ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O , , AA1C1C BB1D1D OO1 则平面 与平面 的交线为 ;
C

D

O

B A

正确

C1
D1 O1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: ③由点A,O,C可以确定一个平面; 错误
C

B
O

D

A

C1
D1

B1

A1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,判断下列命题是否正 确,并说明理由: ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ; 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面. 正确
C

B A

D

C1 D1 A1

B1

知识小结

实例引 入平面

平面的画 法和表示

点和平面的 位置关系

平面三 个公理

空间图形 文字叙述
符号表示



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