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2013高考数学 解题方法攻略 数列不等式 理

数列不等式三个考察点:①通项公式②求和③证不等式
一、通项公式 学校的训练较多这里不详细介绍。 要熟练掌握: 1、 待定系数法、不动点法、特征根法(连续两年中有考差) 2、 熟悉变形。包括:两边同时除以如 2 n 、平方、变倒数、因式分解、取对数、换元 若不熟悉可以找讲义,或者高妙上有介绍 3、累加累乘法 但是高考一般不会直白地给出关系,或者给出常见的通项公式。 高考题大多这样出题: 1、 与函数、解析几何结合 这个范围太泛了不好归纳,难度一般不会太大,见招拆招即可 2、 给出不常规的通项公式,但有提示 比如: a1 =1,8 an?1 an -16 an?1 +2 an +5=0( n ? 0) bn = ,

1 an ? 1 2

,求{ bn }通项公式

现在不可能把 an 通项公式求出再求 bn ,那么显然 bn 需先求出,故变形为 an =

1 1 ? , bn 2

代入递推关系即可得

4 6 3 ? ? ? 0 ,再乘以 bn bn?1 即可。 bnbn?1 bn?1 bn

还有一种情况便是先让考生得出 a1 、 a2 、 a3 后猜想用数学归纳证明,有时不会提示考生 要猜想,但别的常规方法得不出通项公式时要果断大胆猜想 总之,这种题一定要顺着提示做 通项公式中一定要重视的是累加累乘法 看上去似乎很简单:

an ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
an ? an a ? ? ? 2 ? a1 (an ? 0) an?1 a1

但是这却是解决不等式证明最原始也是最重要的方法。原因很简单:高考考的是灵活, 除了通项公式的变形,不动点法等方法灵活度不大,所以大多所谓的很难想的题目大多归根 到底是递推。比如: 1、 奇偶项不同的数列。奇项间或者偶项间的递推(后会介绍) 2、 数归。证明 f (n) ? g (n) 的核心便是 f (n ? 1) ? f (n) ? g (n ? 1) ? g (n)

-1-

3、 通过通过 an?1 与 an 间的关系得出 an?1 ? qan 或 an?1 ? qan 或 an?1 ? qan ,这是解决 S n ? k ( k 为常数) 这种对 an ? 。

an a ? ? ? 2 ? a1 (an ? 0) 的运用是解决大多数绝对值不等式的 an?1 a1

核心。对 an ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 也能灵活运用 具体后面会介绍。

二、求和 要求等差、等比数列求和公式、掌握裂项、错位相减 一模的裂项需要引起重视,湖南 2010 文科题考查到这一点:

? k (k ? 1)2
k ?1

n

k ?2

k ?2

??
k ?1

n

1 2
k ?3

k

?

2

k ?2

1 1 ? 4 ? n?2 (k ? 1) 2 (n ? 1)

三、不等式证明 大多数考生认为不等式无从下手,其实熟悉每种证明方法的使用情况、学会用逆向思维, 绝大多数不等式可以迎刃而解 基本方法有: 1、 二项式定理 2、 构造函数 3、 数学归纳法(加强命题) 4、 不等式 5、 递推 6、 上下联系 7、 放缩 现具体介绍: 一、二项式定理 虽然以前习题有出现,但广东高考应该不会出现公式的考查 侧重点是二项式定理: (a ? b) ? Cn a ? Cn a
n 0 n 1 n ?1 n n b ? ? ? Cn ?1ab n?1 ? Cn b n ,运用如下:

1、 证明: (1 ? x) ? 1 ? nx
n

2、 证明: (1 ? ) ? 2(n ? N )
n *

1 n

若出现求 (a ? b) ? k (k 为常数) ,万不得已才可考虑用洛必达法则,因为 (a ? b) 取对
n n

数后求导比较难(可考虑用贝努力不等式证明单调性)

-2-

一般可以用放缩代劳 二、构造函数 1、经常运用在上下联系的题目中。这种情况下题目会提示如何构造函数,难度不大 2、构造函数在探究存在性问题中可以用于讨论单调性从而得出结论 3、含指数、对数的不等式可以通过贝努力不等式变换与函数构造结合使用。Eg:证明:

n ? m ? 4 时, (mn n ) m ? (nm m ) n
4、含 sin 的不等式可能用到函数构造。Eg:证明:

1 1 * (n? N ) ? 2 sin 2n ? 1 2n ? 1

三、数学归纳法 证明: f (n) ? g (n) 能用数学归纳法的关键是:

f (n ? 1) 、 g (n ? 1) 易于推得且 f (n ? 1) ? f (n) ? g (n ? 1) ? g (n) 或

f (n ? 1) g (n ? 1) ? f ( n) g ( n)

证明时要充分利用已知条件,比如:除已知条件外假设 n ? k 成立时的不等式是可用的条 件;更多时候直接证明: g (n) ? f (n ? 1) ? f (n) ? g (n ? 1) 或

g (n) f (n ? 1) ? g (n ? 1) f ( n)

在数学归纳法证明:an ? k (k为常数) 时经常碰到这个问题:若 an ? k 则 an?1 ? k ,这就 有不动点的感觉了。有一种加强命题就是用这种方法确定出 an 的上下确界的。 Eg: 0 ? a ? 1 , a1 ? 1 ? a , an ? 令 an?1 ? 1 ,则 an ?

1 ? a (n ? 2) ,证明:对于一切自然数 n 都有 an ? 1 an?1

1 1 (不要纠结 an?1 ? 的话 an 是多少) ,故加强命题为: 1? a 1? a

1 ? an ?

1 1? a

一方面, an?1

?

1 ?a ? a

1 ? a ? 1 ,另一方面 ak ?1 ? 1 ? a ? 1 1 1? a 1? a

给出一题较为特殊的考查数学归纳法的题目:十年 P160 22 题,特殊值法与数归的结合。 后有另一种解法(充分利用已知条件) Ex:加强命题 如果有 an 明确的通项公式,那么加强命题可以解决大部分

?a
i ?1

n

i

? k 题目,很不幸的是这
-3-

种提醒其实在高考中很少见。 因为放缩的最后一步大多为

?a
i ?1

n

i

?k?

1 , 所以大多情况可用直接加强命题解决问题。 3n a

遇到

?a
i ?1

n

i

? k 问题首选应是放缩后裂项或者转化为等比数列

如 果 an 通 项 公 式 中 含 有 3

?n

,则加强命题为

?a
i ?1

n

i

?k?

1 ,首先必须保证 3n a

通过分离变量得出 a 取值范围后再去考虑数学归纳法第一 f (n ? 1) ? f (n) ? g (n ? 1) ? g (n) , 步对 a 取值的要求,因为若要 n ? 1 时加强命题就成立,对 a 的取值范围要求比较高,不一定 有合适的数值,因此可以从 n ? 2 、 n ? 3 …开始加强命题。但是加强命题需要较强的计算能 力,建议在平时熟悉这种方法加快破题速度 下面给出三道习题(答案见后) : 1、 证明:

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

?

1 4

2、 证明:

?2
i ?1 n

n

i

1 5 ? ?1 3 9

3、 证明:

? i! ? 5
i ?1

1

4、 试做四校联考(华附省实深中广雅)压轴题(想办法用加强命题去掉 sin ) 最后强调下数学归纳法的格式: n ? 1 和假设 n ? k 前要加序号①② 证明成功后要写由①②可知不等式(

)成立。

四、不等式 注意:数学归纳法解是证明不了重要不等式的,因此必须基本不等式解决的题不能用数 归代劳。 11 年广东数列题就是例子 不等式真正广东大题会考查的就是基本不等式与各种变形(柯西不等式的考查在弱化, 虽然一些高考题可以运用柯西不等式巧解但技巧性较高,较难想到) :

a ? b 2 a 2 ? b2 ( a ? b 时取等) ab ? ( ) ? 2 2

-4-

它取自均值不等式,均值不等式是:

n 1 ?a i ?1 i
n

?

n

?a
i ?1

n

i

?

? ai
i ?1

n

n

?

?a
i ?1

n

2 i

n

基本不等式的运用于收尾项的放缩,需要注意的是:

a n?i 证明:? i ? n ? 1 时,若用基本不等式首尾并项则需要讨论项数奇偶性,若直接运用 i ?0 b
n

均值不等式就快多了。 Ex: 不等式首尾相加遇到奇偶性问题时可以考虑用倒叙相加 还有就是绝对值不等式了,后面会介绍

五、递推 我们证明不等式时有个误区,总觉得 an 必须得到通项公式拉开架势去证明心理才有底, 其实有时即使 an 能得到复杂的通项公式,对与证明不等式反而会加大难度。 而我们看到 an?1 与 an 是不等关系或者 an 通项公式求不出时就会特别紧张,其实这种题方 向极好把握
2 2 Eg:已知 an ? 0, a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an ,记: S n =

? a ,T = 1 ? a
i ?1 i

n

1

n

???

1

1

? (1 ? a )
i i ?1

n

求证:当 n ? N 时, (1) an ? an?1 (2) S n ? n ? 2 (3) Tn ? 3
*

第一问作商法、作差法、数学归纳法都可以得出,数归最容易想到。 对于证明 (3) 显然前面介绍的四种方法在这里都失灵了。 (2) 问, 这就回到证明 时应首先考虑的问题: (1)放缩后裂项或者(2)转化为等比数列 第二问有两种解法,都是运用了前一种思想。第一种方法较为灵活: 欲证 S n ? n ? 2 ,只需证:
2

?a
i ?1

n

i

?k

?
i ?1

n

(ai ? 1) ? ?2 ,而

? (a ? 1) ? ?1 ? a
i ?1 i

n

2 1

2 2 ? ? ? an?1 ? an

由(1)知 an ? 1 ,故 ? an ? ?1 ,所以 S n ? n ? 2 得证 第二种解法较容易想到: S n =

? ai ,因而从递推关系得到 an2 ? ? ai ? (n ? 1) ? a12 ,就
i ?1 i ?2

n

n

-5-

2 得出 S n ? n ? 1 ? an ,通过(1)的结论 S n ? n ? 2 得证

第三问也有两种方法,都运用了第二种思想: 若化为等比数列 an ? a1q n?1 ( 0 ? q ? 1 ) ,则 S n ?

a1 (1 ? q n ) a a ? 1 , 1 即为题中的 1? q 1? q 1? q

Tn ? 3 的 3.所以确定 a1 与 q 就是要确定的。而 q 通过 an?1 与 an 的递推关系得出:想办法从通
项 公 式 中 凑 出

1 1 1 a 或 者 : ? 2n?1 , 这 时 就 联 想 1 ? an 1 ? an?1 1 ? an?1 a ? 1

an ?

an a 1 a a ? ? ? 2 ? a1 (an ? 0) ,想到用重要不等式降次: ? 2n?1 ? n?1 ,接下来 an?1 a1 1 ? an?1 a ? 1 2an

通过

a1 与 3 之间的推敲接顺利得出 1? q

1

? (1 ? a )
i i ?1

n

?

1 2 n?2

, 着就知道需要保留第一项后化为等

比数列: Tn ? 1 ? 1 ? ? ?

1 2 n?2
n

?3

第二种方法非常巧妙:

1

? (1 ? a )
i i ?2

?

1 1 1 ,则 Tn ? 只需证 ?3 n ?1 1 1 (1 ? a2 ) 1? 1? 1 ? a2 1 ? a2

即可。

虽然这两小问都是同一题,但是以较高的难度体现出解决相邻项数间有不等关系的题的 精髓:逆向思维。想办法用递推关系得出 a1 与 q ,把这一点解决了一切都好办了。第二问的 方法二、第三问的方法一看似复杂,其实是循规蹈矩得出的。 大致思路为:①确认用哪种递推;确定 a1、q ②通过已知条件逐渐迫近 a1、q

如果把这两小题都吃透了,那么就可以看回以前所谓的许多压轴题了: 套卷 17 压轴( q 只需小于 1 即可) 套卷 14 压轴(运用已知条件中的 an ? 2 得出 q ) 试做:若 a0 ? 0 , an?1 ? can ? 1 ? c ( n ? N ) 0 ? c ? ,
3

*

1 n ?1 ,证: an ? 1 ? (3c) 3

(已知: an ? [0,1] 对任意 n ? N 成立的充要条件是 an ? [0,1] )
*

-6-

六、上下联系 上面题目有提示时优先考虑这个。高考题与奥赛题的区别就是高考题可以拾级而上。不 等式证明如果不顺着出题人的思维走往往容易绕弯子(这不是函数的特殊值法) 。例子:套卷 12 压轴题

七、放缩 这个课堂上讲的最多,补充几个少见的不等式即可 1、

? (1 ? xi ) ? 1 ? ? xi
i ?1 i ?1

n

n

2、 n ? n!? (n ? 1)!? n! 3、 k ? 1 ? k ? 1 ? 2 k ? 4、 (1 ?

1 ? k

2 k ?1 ? k ?1

1 n 2n n ?1 ) ? ? ?2 2n 2n ? 1 n

5、

1

? (n ? i )
i ?0

k

?

1 1 1 ( k ?1 ? k ) k ?2 ? (n ? i ) ? (n ? i )
i ?0 i ??1

6、 (1 ? ) x ? e ,证明:令 f (x) ?

1 x

x ln(1 ?

1 1 ) ? x? ?1 x x

介绍两种热门题型: 一、绝对值不等式 可以和不等式证明、反证法、函数(拉格朗日中值定理)相结合 解题误区就是老是看绝对值不顺眼想将 f ( x) ? k 改为 ? k ? f ( x) ? k ,其实是自找苦 吃。 绝对值不等式本来挺多的: 1、 a ? a 2、 a b ? ab 、

a a ? b b

3、 a ? b ? a ? b ? a ? b 高考题其实都基本考的是第三个两种变形:

a ?c ?c ?b ? a ?c ? c ?b

-7-

a1 ? ? ? an ? a1 ? ? ? an
题目分析:湖南 09 年压轴题是需要用第一种递推思想而且它隐藏了一个条件:就是 u1 是 有限的 广东 11 年一模题最后一问计算量思维量都比较大,胆子大的人才能完全做出来,当长见 识吧。第二问还是可以很轻松做出来的。 试做: A 是定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意的 x ? [1, 2] ,都有

? (2 x) ? (1, 2) ; ② 存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1, 2] , 都 有 | ? (2 x1 ) ? ? (2x2 ) |? L | x1 ? x2 | .
(I)设 ? (2 x) ? 3 1 ? x , x ? [2, 4] ,证明: ? ( x) ? A (II)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1, 2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (III) 设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn ?1 ? ? (2 xn ) , n ? 1, 2,? ,证明:给定正整数 k ,对任 意的正整数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

二、奇偶项问题 最经典最难的便是天津 2010(十年 P160 17 题) 、2011 的两题 这两题可以吸取的经验有: 1、凡是求通项公式中存在 (?1) n 就分奇偶项(可能不用求通项公式,直接并项) 2、递推是解决奇偶项数列通项公式的关键方法 3、奇偶项数列求和证明不等式要分类讨论 4、11 年那题更为复杂,从第二小问的代换可以看出奇偶项数列仅凭一对相邻项不能完全解决 问题,通过 3 项间的代换才能彻底解决问题 5、看似 S n =

?a
i ?1

n

2i

增加了讨论范围,将 4k 变为 8k ,其实有降次的方法。可试做:十年

P160 27 题 再给出一道经典的题: an ? 3n ? (?2) n ,求证: n ? N 时,
*

?a
i ?1

n

1
i

?

1 2

先看答案:通过逆向思维得:当 n 为奇数时有: 则当 n 为偶数时
n

4 1 1 ? n?1 ? an an?1 3

?a
i ?1

n

1
i

?(

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ??? ( ? ) ? (1 ? n ) ? 2 3 2 a1 a2 an?1 an

当 n 为奇数时

?a
i ?1

1
i

?(

1 1 1 1 1 ? ) ??? ( ? )? 2 a1 a2 an an?1

启示: 1、 证明奇偶项求和不等式也可以化为等比数列(通过并项) 2、 证明部分奇偶项求和不等式可先证明 n 为奇数(或偶数)时成立,再利用 an ? an?1 证明 n 为偶数(或奇数)时成立。

总结(不一定齐全,自己可继续积累经验) :
-8-

1、 第一原则是上下联系 2、 尽量化简原不等式至方便分析、解决的形态 3、 存在 ( f ( x)) x 考虑取对数后求导或者二项式 4、 存在 x ln f ( x) 可考虑求导或者去指数或者直接运算 5、 存在 sin 可以求导或者通过值域定义域的关系去掉 sin 6、 证明

? ai ? ? bi 或者 ? ai ? ? bi 可考虑: ? ai ? K ? ? bi 或者 ak ? bk ;证明:
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1
n i ?1

n

n

n

n

n

n

? ai ? ? bi 时可考虑并项
i ?1

2n

7、 如果对于证明一个不等式不确定用哪个方法, 多试几次遇到这种情况总结出适合自己的方 法试用顺序

例子: 一、2012 年一模题压轴题: 证明: 1 ? ( )1 ? ? ? (

2 2

2 n 1 ) ? 1?1??? n ?1 n! 2 n 1 ) ? n ?1 n!

思路:因为两边求和或者裂项都不太容易,所以果断试证: ( 即证: 2 n n!? (n ? 1) n

若构造函数因为 n! 的存在很难求导;若用不等式也因为 n! 的存在很难运用二项式定理证 明得出,重要不等式就更难运用了;显然这个不等式没什么好上下联系的;放缩其实自 己没底,于是试试数归先 直接在草稿纸上算第二步:要证: 2 n?1 (n ? 1)!? 2(n ? 1) n?1 ? (n ? 2) n?1 ,现在显然二项式 定理就适用了 所以思路就出来了:要证 1 ? ( ) ? ? ? (
1

2 2

2 n 1 2 n 1 ) ? 1 ? 1 ? ? ? ,只需证 ( ) ? , n ?1 n! n ?1 n!

再通过数归和二项式定理的结合即可证出 二、 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ?

1 1 2 ,已知 ln(1 ? x) ? x ,求证: an ? e ) an ? n ( n ? N * ) n ?n 2
2

(上题证得: an ? 2(n ? 2) ) 题目都有提示了,于是取对数,即证: ln an?1 ? ln[(1 ? 显然
2

1 1 ) an ? n ] ? 2 n ?n 2
2

1 1 容易递推后裂项求和,而 n 就变得碍事了,为了递推求和怎么办呢?由于上 n ?n 2

-9-

题有 an ? 2(n ? 2) ,于是将递推关系改为: ln an?1 ? ln(1 ? 递推后求和问题便迎刃而解了。

1 1 ? n )an ,接下来通过 n ?n 2
2

总之,证不等式一定要运用好逆向思维,学会预判。这种思维通过熟悉各种方法使用范 围后,做几题陌生题,按这种思维应该能提供比较明确的思路。 答案: 数学归纳法(全国题) : 先特殊值法:若要 a2 ? a1 则 c ? 2 然后巧妙利用已知条件证明单调性: (数归第二步) ak ?2 ? c ? :

1 1 ? c? ? ak ?1 ak ?1 ak

接下来就是要证明: an?1 ? c ?

8 1 ? 3 ,而1 ? an ? 3 ,分离变量得 c ? [2, ] 3 an

再次运用数归证明 c ? [ 2, ] 即为所求即可

8 3

加强放缩:

1 后数归 n?7 1 2、右边增加 ? ,从 n ? 2 起开始数归 3 n ?2 4 5 1 3、右边增加 ? ,其中常数可在[ ,2]间,从 n ? 2 起开始数归 2 ? n! 3
1、右边增加 ? 递推: 显然 q 为 3c ,接下来的就是递推,变形通项公式: 1 ? an?1 ? c(1 ? an )(1 ? an ? an )
2

由已知条件得 (1 ? an ? an ) ? 3
2

绝对值不等式: 第一问:运用拉格朗日中值定理,注意对应①②的性质证明,明确写出 二三问直接上答案: ? ? ? ? (2)设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则 由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | ,得 | x 0 ? x 0 |? L | x 0 ? x 0 | ,所以 L ? 1 ,
/ /

/

/

矛盾,故结论成立。 (3) x3 ? x 2 ? ? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,所以 x n ?1 ? x n ? L
n ?1

x 2 ? x1

- 10 -

| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ? ? ?? xk ?1 ? xk ? ?

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k ? Lk ? p ? 2

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +…

Lk ?1 x 2 ? x1 ?

LK ?1 x 2 ? x1 1? L

最后祝大家高考顺利,考到理想的大学^ ^

- 11 -


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