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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第1章 章末分层突破

章末分层突破 [自我校对] a b c ①sin A=sin B=sin C ②已知两角和其中一边 ③c2=a2+b2-2abcos C ④已知三边 1 ⑤S=2acsin B 利用正、余弦定理求解三角形的基本问题 解三角形就是已知三角形中的三个独立元素 (至少一条边)求出其他元素的 过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、 外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常是指求未知的元素,有时也求三角形 的面积. 解斜三角形共包括四种类型:(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和 求角或用正弦定理求边);(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边);(3) 已知三边(先用余弦定理求角);(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一 边的对角或先用余弦定理求第三边,注意讨论解的个数). 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C - 2asin C=bsin B. (1)求角 B 的大小; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 【精彩点拨】 用余弦定理求解. (2)先求角 C,然后利用正弦定理求边 a,c. 【规范解答】 (1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. (1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系,然后利 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 2 故 cos B= 2 ,因此 B=45° . (2)sin A=sin(30° +45° ) =sin 30° cos 45° +cos 30° sin 45° = sin A 故 a=b×sin B=1+ 3. 由已知得,C=180° -45° -75° =60° , sin C c=b×sin B= 6. 2+ 6 4 . [再练一题] 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,设 a,b,c 满足 c 1 条件 b2+c2-bc=a2 和b=2+ 3,求 A 和 tan B 的值. b2+c2-a2 1 【解】 由余弦定理 cos A= 2bc =2,因此 A=60° .在△ABC 中,C= 180° -A-B=120° -B. 由已知条件,应用正弦定理 -B? 1 c sin C sin?120° + 3 = = = 2 b sin B sin B = sin 120° cos B-cos 120° sin B sin B 3 1 1 =2tan B+2,从而 tan B=2. 正、余弦定理的综合应 用 正、 余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求三 角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相 结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题. (1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等 知识转化求解. (2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦 定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解. →· → 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a>c, 已知BA BC 1 =2,cos B=3,b=3.求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 【精彩点拨】 方程组即可求解. (2)由(1)结合正弦定理分别求出 B,C 的正、余弦值,利用差角余弦公理求 解. (1)由平面向量的数量积定义及余弦定理,列出关于 a,c 的 【规范解答】 → → (1)由BA· BC=2 得 c· acos B=2. 1 又 cos B=3,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 1 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×6×3=13. ?ac=6, ?a=2, ?a=3, 解? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ?c=3 ?c=2. 因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sin B= 1-cos2 B= ?1? 2 2 1-?3?2= 3 , ? ? c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C=bsin B=3× 3 = 9 . 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cos C= 1-sin2 C= ?4 2?2 7 ?= . 1-? ? 9 ? 9 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C 1 7 2 2 4 2 23 =3×9+ 3 × 9 =27. [再练一题] π 2.如图 11,在△ABC 中,∠B=3,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 1 cos∠ADC=7. (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 图 11 【解】 1 (1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC=7, 4 3 所以 sin∠ADC= 7 . 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B 4 3 1 1 3 3 3 = 7 ×2-7× 2 = 14 . (2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8× 14 AB· sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B 1 =82+52-2×8×5×2=49. 所以 AC=7. 正、余弦定理的实际应 用 正弦定理、 余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离 问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图, 把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后 确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算 的要求. 图 12 如图 12 所示, 某市郊外景区内有一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、 B、C.景区管委会开发了

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