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2013备考各地试题解析分类汇编(二)文科数学:8不等式

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各地解析分类汇编(二)系列:不等式

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1 ? 2 ”的 x

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1.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文】“ x ? 0 ”是“ x ? (A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件 【答案】C 【解析】 当 x ? 0 时,x ? 是x? (B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

1 1 1 1 1 ? 2 x? ? 2 。 若因为 x , 同号, 所以若 x ? ? 2 , 则x?0 所以 x ? 0 , ? 0 , x x x x x

1 ? 2 成立的充要条件,选 C. x
2

2.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】 “ x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】B 【解析】由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 x ? 3 或 x ? ?1 。所以“ x ? 2 x ? 3 ? 0 成立”是“ x ? 3 成立”的必要不充
2 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

分条件,选 B. 3. 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 第 四 次 模 拟 测 试 1 月 数 学 文 】 若 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组

? x ? y ? 0, ? 则 2 x ? y 的最大值是 ? 2 x ? y ? 10 ? 0, ? ? 3 x ? y ? 5 3 ? 0,
A.11 【答案】D B.23 C.26 D.30

【解析】做出可行域如图

,设 z ? 2 x ? y ,即 y ? ?2 x ? z ,平移直线

y ? ?2 x ? z , 由 图 象 可 知 当 直 线 经 过 点 D 时 , 直 线 y ? ?2 x ? z 的 截 距 最 大 , 此 时 z 最 大 。 由

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? x ? y ? 0, ? x ? 10, ? ? ?2 x ? y ? 10 ? 0, 解得 ? y ? 10, ,即 D(10,10) ,代入得 z ? 2 x ? y ? 30 ,所以最大值为 30,选 D.
4.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】设不等式 ?

?x ? y ? 0 2 表示的平面区域与抛物线 y ? ?4 x ?x ? y ? 0

的准线围成的三角形区域(包含边界)为 D , P( x, y ) 为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y ? 5 的 最大值为( )

A.4
【答案】C

B .5

C .8

D .12

【解析】物线的准线为 x ? 1 ,所以它们围成的三角形区域为三角形 BOC .由 z ? x ? 2 y ? 5 得

y?
y?

1 1 1 1 1 1 x ? (5 ? z ) ,作直线 y ? x ,平移直线 y ? x ,当直线 y ? x ? (5 ? z ) 经过点 C 时,直线 2 2 2 2 2 2
?x ? 1 1 1 此时 z 最大.由 ? 得 x ? 1, y ? ?1 , 即 C1 代入 z ? x ? 2 y ? 5 ( , 1 ) ? , x ? (5 ? z ) 的截距最小, 2 2 ? y ? ?x

得 z ? 8 ,选 C.

? x ? 2 y ? 8, ? 2 x ? y ? 8, ? 5.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】已知 x , y 满足不等式组 ? 则目 x ? 0, ? ? ? y ? 0,
标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 (A)

32 3

(B) 12

(C) 8

(D) 24

【答案】B

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【解析】做出可行域,由 z ? 3x ? y 得 y ? ?3x ? z ,平移直线 y ? ?3x ? z



由图象可知当直线 y ? ?3x ? z 经过点 D 时, 直线 y ? ?3x ? z 的的截距最大, 此时最大, 由题意知 D(4, 0) , 代入直线 z ? 3x ? y 得 z ? 3? 4 ? 12 ,所以最大值为 12,选 B. 6.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? y ? 1 ,则 xy 的最大 值是 A.

1 4

B.

1 8

C. 4

D. 8

【答案】B 【解析】因为 2 x ? y ? 1 ? 2 2 xy ,所以 xy ? B. 7. 【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 (三) 文】 已知向量 a ? ( x ? z,1), b ? (2, y ? z ) , 且a ? b,

1 1 1 1 ,当且仅当 2 x ? y ? ,即 x ? , y ? 取等号,所以选 8 2 4 2
? ?

?

?

? x ? ?1 ? 若变量 x, y 满足约束条件 ? y ? x 则 z 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ? ,
A.1 【答案】C B.2 C.3 D.4

b ? 0 ,即 2( x ? z ) ? y ? z ? 0 ,得 z ? 2 x ? y ,即 y ? ?2 x ? z ,做出可行 【解析】因为 a ? b ,所以 a ?
域,作直线 y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 F 时,直线

?

?

? ?

?y ? x ?x ? 1 y ? ?2 x ? z 的截距最大,此时 z 最大。由 ? 得? ,即 F (1,1), 代入 z ? 2 x ? y 得 ?3 x ? 2 y ? 5 ? y ? 1

z ? 3 ,所以 z 的最大值为 3,选 C.

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8.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】已知 m ? 0, a1 ? a2 ? 0 ,则使得

m2 ? 1 ?| ai x ? 2 | (i ? 1, 2) 恒成立的 x 的取值范围是 m
A. [0, 【答案】C 【解析】

2 ] a1

B. [0,

2 ] a2

C. [0,

4 ] a1

D. [0,

4 ] a2

m2 ? 1 1 ? m ? ? 2 , 所 以 要 使 不 等 式 恒 成 立 , 则 有 2 ?| ai x ? 2 | (i ? 1, 2) 恒 成 立 , 即 m m
4 a1 4 a2

? ?0 ? x ? ? ?2 ? ai x ? 2 ? 2 ,所以 0 ? ai x ? 4 ,因为 a1 ? a2 ? 0 ,所以 ? ?0 ? x ? ? ?
式恒成立的 x 的取值范围是 [0,

, 即0 ? x ?

4 ,所以使不等 a1

4 ] ,选 C. a1

9.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】点 P(x,y)在函数 y ?| x | 的图像上, 且 x、y 满足 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则点 P 到坐标原点距离的取值范围是

A. [0, 【答案】D

2 2 ] 3

B. [

2 2 , 2 2] 3

C. [

2 2 8 2 , ] 3 3

D. [0, 2 2]

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【解析】

因为点 P 在 y = x 上,且 x、y 满足 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,由图象可知,

点 P 位于线段 OC , OB 上,显然点 P 到坐标原点距离最小值为 0,当点 P 位于 B 点时,距离最大,此时由

?x ? 2 ? y =x 得? ,即 B (2, 2) ,所以 OB ? 2 2 ,所以最大值为 2 2 ,所以点 P 到坐标原点距离 ? ? x ? 2 y ? 2=0 ? y ? 2
的取值范围是 [0, 2 2] ,选 D.

?x ? y ? 1 1 ? 10.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考 文】若 x , y 满足不等式组 ?2 y ? x ? 2 ,且 y ? x 的最 2 ? y ? mx ?
大值为 2,则实数 m 的值为( A. ? 2 【答案】D B. ? ) C. 1

3 2

D.

3 2

?x ? y ? 1 1 1 1 ? y? x z ? y? x y? x?2 2y ? x ? 2 2 取最大值 2 时,有 2 ,当 2 【解析】设 ,先做出不等式 ? 对应的可

y?
行域, 要使

1 1 x z ? y? x 2 取最大值 2, 2 的截距最大, 则说明此时为区域内使直线 即点 A 在直线 y ? mx

1 ? ?x ? 1 ?y ? x ? 2 ? 2 ? ? 3 3 y? m? ? ? 2 y ? x ? 2 y ? mx 2 ,代入直线 2 ,选 D. 上,由 ? ,解得 ? 得,
? x ? 1, ? 11.【云南师大附中 20 1 3 届高三高考适应性月考卷(四)文】如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
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则 x ? y 的最小值是
2 2

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A.25 【答案】B

B.5

C .4

D. 1

? x ≥ 1, ? 【解析】在直角坐标系中画出不等式组 ? x ? y ? 1 ≤ 0, 所表示的平面区域如图 1 所示的阴影部分,x2+y2 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?

的最小值即表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最 小值的平 方,由图可知直线 x?y+1=0 与直线 x=1 的交点 (1 , 2) 到原点最近,故 x +y 的最小值为 1 +2 =5. 选
2 2 2 2

B. 12.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】定义在 f (M ) = (m, n, p ) ,其中 M 是 D ABC 内 一 点 , m 、 n 、 p 分 别 是 D MBC 、 D MCA 、 D MAB 的 面 积 , 已 知 D ABC 中 ,

? ? ?? ? ? ? ? AB ? A C2 3 ? ,
A.8 B.9

骣 1 ? B A C?3 0( , ) f = N ? ? 桫 2
D.18

1 4 ÷ ,x + y 的最小值是 ÷ ÷,,则 x y

C.16

【答案】D 【解析】由定义可知 S?NBC ?

AB ? AC ? 4 , 所 以 S?ABC

??? ? ???? 1 AC cos30 ? ? 2 3 ,即 , S?NAB ? x, S?NAC ? y ,由 AB ?AC 2 3 ,得 AB ? 2 1 1 1 1 ? , 所 以 x ? y ? , 即 2 x ? 2y ? 1。所以 ? AB?AC sin 30 ? ? 4 ? ? 1 2 2 2 2

1 4 1 4 2 y 8 x + = ( + )( 2x + 2 y ) = 10 + + ? x y x y x y

10

2 16 =

18 , 当且仅当

2 y 8x = , 即 y ? 2 x 取等号, x y

解得 x ?

1 4 1 1 , y ? ,所以 + 的最小值为 18,选 D. x y 6 3

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13.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】设 O 为坐标原点, A(1, 2) ,若点 B ( x, y ) 满足

ì ? x2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 ? ? ? í 1 #x 2, ? ? ? ? ? 1 # y 2.
【答案】 (2, 1)

0

则 OA × OB 取得最小值时,点 B 的坐标是________.

??? ? ??? ?

【 解 析 】 由 x + y - 2x - 2 y + 1

2

2

0 得 , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , 所 以 不 等 式 对 应 的 区 域 为

A , 因 为 B( x, y, ) 所 以 O ?
z=

? ? ?? ? ? ?? O (B , ? x ) (y= 1 , + 2 ), x 令 y 2

? ? ?? ? ? ?? 1 z 1 z 1 z O ? A O B 2+ , x y x? , 则y?? 做平移直线 y ? ? x ? , 由图象可知当直线 y ? ? x ? 经 2 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? OB 取得最小值,此时坐标为 (2,1) 。 过点 C 时, 直线的截距最小, 此时 z 最小,所以当点 B 位于 C 时,OA ×

14. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】 已知向量 a ? ?x,?2?, b ? ? y,1? ,其中 x ,y 都是正实数,若 a ? b ,则 t ? x ? 2 y 的最小值是_______. 【答案】4

b ? ? x, ?2 ?? 2? 2 2 x y ?4 【解析】 因为 a ? b , 所以 a? 即 xy ? 2 。 又 t ?x ? y ? y,1? ? 0 ,
的最小值是 4.

? ?

, 所以 t ? x ? 2 y

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】设 x, y 满足的约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函 ? x ? 0, y ? 0 ?
数 z ? abx ? y 的最大值为 8, 则 a ? b 的最小值为
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.(a、b 均大于 0)
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【答案】4

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z 所 以 直 线 的 斜 率 为 ?ab ? 0 , 做 出 可 行 域 如 图 【 解 析 】 由 z ? abx ? y 得 , y ? ?a b x? ,

,由图象可知当目标函数经过点 B 时,直线的截距最大,此时

z ? a b x? y?8 。 由

2 0 ? ?2 x ? y ? ? 4 0 ? ?8 x ? y ?

?x ? 1 ? y?4 1 ,) ( , 得? , 即 B4

, 代入 z ? abx ? y ? 8 得 ab ? 4 ? 8 , 即 ab ? 4 ,

所以 a ? b ? 2 ab ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,所以 a ? b 的最小 值为 4.

?x ? 2 ? 16.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】已知实数对 ( x, y ) 满足 ? y ? 1 则 2x ? y 的 ?x ? y ? 0 ?
最小值是___ ______. 【答案】3

【解析】做出可行域如图

,设 z ? 2 x ? y ,则 y ? ?2 x ? z ,做直线 y ? ?2 x ,平

移直线由图象知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? z 的截距最小,由 ? 即 C (1,1) ,代入 z ? 2 x ? y 得最小值为 z ? 2 x ? y ? 3 。

?y ?1 ?x ? 1 ,得 ? , ?y ?1 ?y ? x

17.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】已知正数 a 、 b 满足 2a ? b ? 10, 则 小值为 .

1 2 ? 的最 a b

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【答案】 【 解

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4 5
析 】 由

2a ? b ? 10,
? 0 ) b2 ?



2a ? b ?1 10





a b ? ?1 。 5 1 0





1 ? a

2 (? b

1 a ? ) a 5

(

2b b 1

5

a ? 1 a0

2 2b a b 2 2a 4 ? 2 ,当且仅当 ? ? ? 4a 2 , ,即 b2 ? ? ? b5 5 a 10 1a b 0 5 5 5b

5 1 2 4 b ? 2a 时取等号,此时 a ? , b ? 5 ,所以 ? 的最小值为 。 a b 5 2
18. 【 北 京 市 西 城 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 】 设 函 数 f ( x) ? x ? 6 x? 5 ,集合
2

A ? {(a, b) | f (a) ? f (b) ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ?0} .在直角坐标系 aOb 中,集合 A 所表示的区域的
面积为______. 【答案】 4π 【解析】 因为 f ( x) ? x ? 6 x ? 5 ? ( x ? 3) ? 4 , 所以由 f (a) ? f (b) ? 0 得 (a ? 3) ? 4 ? (b ? 3) ? 4 ? 0 ,
2 2 2 2

即 (a ? 3) ? (b ? 3) ? 8 , 它表示以 (3,3) 为圆心, 半径为 2 2 的圆面。 由 f (a) ? f (b) ? 0 得 f (a) ? f (b) ,
2 2

即 a ? 6a ? b ? 6b , 整 理 得 (a ? b)(a ? b ? 6) ? 0 , 即 ?
2 2

?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0 或 ? ,显然 ?a ? b ? 6 ? 0 ?a ? b ? 6 ? 0

a ? b ? 0, a ? b ? 6 ? 0 的交点为 (3,3) ,且两直线垂直,所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积,所

以集合 A 所表示的区域的面积为 ? (2 2) ? 4? ,如图:
2

1 2

19. 【 北 京 市 石 景 山 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 】 不 等 式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的 解 集
2

为 【答案】

.

? 2,3?
2

【解析】 x ? 5 x ? 6 ? 0 得 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ,即 2 ? x ? 3 ,所以不等式的解集为

? 2,3? 。

? y ? x, ? 20【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面 ? x?a ?
积为 4 ,则 a ?
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世纪金榜 圆您梦想 若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 .
【答案】2;6

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【解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形 OBC ,由图象知 a ? 0 。其中 B(a, a), C (a, ?a) ,所以

1 BC ? 2a, 所以三角形的面积为 ? a ? 2a ? a 2 ? 4 ,所以 a ? 2 。由 z ? 2 x ? y 得 y ? ?2 x ? z ,平移直 2
线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 B 时,直线截距最大,此时 z 也最大,把 B (2, 2) 代

入 z ? 2x ? y 得 z ? 2? 2 ? 2 ? 6 。

? 2 x ? y ? 4, ? 21. 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4, 则 ? x ? 0, y ? 0 ?

z ? x ? y 的最大值为
8 【答案】 3



【解析】作出不等式组对应的可行域

,由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,

平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 B 时,直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时 z 最

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4 ? x? ? 2 x ? y ? 4, ? 4 4 8 4 4 ? 3 大。由 ? 解得 ? ,即 B ( , ) ,代入 z ? x ? y 得 z ? ? ? 。 3 3 3 3 3 ? x ? 2 y ? 4, ? y ? 4 ? 3 ?
22.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 【答案】 1 【解析】由 x?

1 的最小值为 x ?1



1 1 1 ? x ?1? ?1 得 , 因 为 x ? 1 ? 0 , 所 以 ?0 ,根据均值定理得 x ?1 x ?1 x ?1
? 1 , ? 1 当 且 仅 当 x ?1 ?
1 2 , 即 (x ? 1 ) ? 1 ,即 x ?1

x?

1 1 1 ?x ? 1 ? ? 1 ? 2 (x ? 1) ? x ?1 x ?1 x ?1

x? x ?1 ? 1x , ? 时取等号,所以 0

1 的最小值为 1. x ?1

? x ? 2, ? 23.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文】不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域的面积是 ? y ? x ?1 ?
___________. 【答案】

1 2

【解析】 所以平面区域的面积 S?BCD ?

不等式组表示的区域为三角形 BCD ,由题意知 C (1,0), D(2,0), B(2,1) ,

1 1 1 CD?BD ? ?1?1 ? 。 2 2 2
p?q % ,若 p ? q ? 0 ,则提价多 2

24.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方 案甲:第一次提价 p % ,第二次提价 q% ;方案乙:每次都提价 的方案是 【答案】乙 【 解 析 】 设 原 价 为 1 , 则 提 价 后 的 价 格 : 方 案 甲 : (1? p %) (1 , 乙 : (1? ? q %) .

(1 ? p%)(1 ? q%) ? ( ?1 p ?% q

1 ? p% 1 ? q% p?q 所 以 p?q?0 , ? ? 1? % , 因 为 2 2 2 p?q p?q 2 ,即 ) ? ? ( 1 % (1 ? ) p%)(1 1 ? q%) ? (1 ? % %) ,所以提价多的方案是乙。 2 2
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p?q 2 %) ,因为 2

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? x ? 0, ? 25.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域为 ? ,直线 ? y ? x ?1 ?

y ? kx ? 1 与区域 ? 有公共点,则实数 k 的取值范围为_________.
【答案】 [3, ??) 【解析】做出不等式组对应的区域为三角形 BCD,直线 y ? kx ? 1 过定点 M (0, ?1) ,由图象可知要使直线

y ? kx ? 1 与 区 域 ? 有 公 共 点 , 则 有 直 线 的 斜 率 k ? k , 由 ? x ? y ? 3, 得 ? x ? 1 , 即 C (1, 2)。 又 ? ? MC ?y ? x ?1 ?y ? 2

kMC ?

2 ? (? 1) ? 3 ,所以 k ? 3 ,即 [3, ??) 。 1? 0

26.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学文】若实数 x, y 满足不等式组

? x ? y ? 2, ? ? 2 x ? y ? 4, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是__________. ? x ? y ? 0, ?
【答案】4 【解析】 做出不等式对应的可行域, 由 z ? 2x ? 3 y 得 y ? ? 由图象可知当直线 y ? ?

2 z 2 2 作直线 y ? ? x , 平移直线 y ? ? x , x? , 3 3 3 3

2 z 2 z x ? 经过点 D(2, 0) 时,直线 y ? ? x ? 的截距最小,此时 z 最小,最 3 3 3 3

小为 z ? 2 x ? 3 y ? 2 ? 2 ? 0 ? 4 。如图

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27.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学文】已知点 P (a, b) 与点 Q(1,0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,给出下列命题: ① 2a ? 3b ? 1 ? 0 ; ② a ? 0 时,

b 有最小值,无最大值; a
2 2

③ 存在正实数 m ,使得 a ? b ? m 恒成立 ; ④ a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 时, 则

1 2 b 的取值范围是 (??, ? ) ? ( , ??) . 3 3 a ?1

其中正确的命题是__________(把你认为所有正确的命题的序号都填上) . 【答案】③④ 【解析】 因为点 P,Q 在直线的两侧, 所以 (2a ? 3b ? 1)(2 ? 1) ? 0 , 即 2a ?3 b ? 所以①错误。 当a ? 0 1 0 ? , 时, 得 3b ? 2a ? 1 , 即

b 2 1 b 2 2 所以 无最小值, 所以②错误。 a ? b 的几何意义为点 P (a, b) ? ? , a a 3 3a
1 22 ? 32 ? 1 1 ,所以 OP ? ,所 13 13

到原点 (0, 0) 的距离。则原点到直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

以只要 0 ? m ?

1 2 2 ,则有 a ? b ? m 成立,所以③正确,如图 13

.

b 的 a ?1

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几何意义表示点 P (a, b) 到点 (1, 0) 连线斜率的取值范围。 可知 k ? ③④。

由图象

2 1 b 1 2 或 k ? ? ,即 的取值范围为 (??, ? ) ? ( , ??) ,所以④正确。所以正确的命题为 3 3 a ?1 3 3

28.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(文) 】已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 3 ? xy ,若对任 意满足条件的 x, y , 都有 ( x ? y ) ? a( x ? y ) ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围为
2



【答 案】 (??,

37 ] 6
2 2

【解析】要使 ( x ? y ) ? a( x ? y ) ? 1 ? 0 恒成立,则有 ( x ? y ) ? 1 ? a( x ? y ) ,即 a ? ( x ? y ) ? 立。由 x ? y ? 3 ? xy 得 x ? y ? 3 ? xy ? (

1 恒成 x? y

x? y 2 ) ,即 ( x ? y )2 ? 4( x ? y ) ? 12 ? 0 解得 x ? y ? 6 或 2
1 1 ? t ? ,在 t ? 6 时,单调递增, x? y t

x ? y ? ?2 (舍去)设 t ? x ? y ,则 t ? 6 ,函数 y ? ( x ? y ) ?
所以 y ? t ? 的最小值为 6 ?

1 t

1 37 37 37 ,所以 a ? ,即实数 a 的取值范围是 (??, ] 。 ? 6 6 6 6

? x ? y ? 1 ? 0, ? 29.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】若关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1 ? 0, (a 为 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
常数)所表示的平面区域的面积等于 2,则 a 的值为 【答案】 3 .

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【解析】先做出不等式 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 对应的区域如图 ? x ? 1 ? 0,

。因为直线

ax ? y ? 1 ? 0 过定点 (0,1) ,且不等式 ax ? y ? 1 ? 0 表示的区域在直线 ax ? y ? 1 ? 0 的下方,所以三
角形 ABC 为不等式组对应的平面区域, 三角形的高为 1, 所以 S?ABC ? 当 x ? 1 时, yC ? 1 ? a ,所以 yC ? 1 ? a ? 4 ,解得 a ? 3 。

1 ?1? BC ? 2 ,所以 BC ? 4 , 2

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