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2[1].4弦切角的性质2.5


1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

观察

? 在图(1)中,根据圆内接四边形性质, 有∠BCE=∠A. E (C) D D C E A D
(1)




(2)



?在图(2)中,DE是切线时,
?∠BCE=∠A仍成立吗?

3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

猜想:△ABC是⊙O的内接三角形,
CE是⊙O的切线,则∠BCE= ∠ A.
C E C O B A B A B E C E

O A

O

? 分析:延用从特殊到一般的思路。先分析△ABC 为直角三角形时的情形,再将锐角三角形和钝角 三角形的情形化归为直角三角形的情形。

4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

证明:

(1)圆心O在△ ABC的边BC上
即△ABC为直角三角形 ∵CE为切线, ∴ ∠BCE=90 ° 又∵∠A是半圆 上的圆周角, ∴ ∠A=90 ° ∴ ∠BCE=∠A A B

C

E

O

5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

(2)圆心0在△ABC的内部 作⊙O的直径CP,那么
∠PCE= ∠PAC= 90 ° C ∵∠BCE = ∠PCE-∠PCB = 90°-∠PCB. O ∠BAC A = ∠PAC-∠PAB P = 90°-∠PAB. 而∠PAB= ∠PCB ∴∠BCE= ∠BAC




6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

(3)圆心0在△ABC的外部, 作⊙O的直径CP,那么
∠PCE= ∠PAC= 90 ° E C ∵∠BCE = ∠PCE+∠PCB = 90°+∠PCB. O A ∠BAC B = ∠PAC+∠PAB P = 90°+∠PAB. 综上所述, 而∠PAB= ∠PCB 猜想成立。 ∴∠BCE= ∠BAC

7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

1.弦切角:顶点在圆上,一边与圆相交, 另一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角? C B
×

C
× A B A B

C
× A

C


A

× B C

A

B

8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
D C O A

m


几何语言:
BA切⊙O于A

∠BAC= ∠ADC

AC是圆O的弦

9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D 求证:AC平分∠BAD. 思路一:
B O 1 2 A

E

C

D

10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

思路二:
连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于 是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得 ∠1=∠2
B O
1

A
2

3

E

C

D

11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

小结
弦切角-------顶点在圆上,一边与圆相交, 另一边与圆相切的角。

弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

注意:
一般情况下,弦切角、圆周角、圆心 角都是通过它们所夹的(或所对的)同一 条弧(或等弧)联系起来,因此,当已知 有切线时常添线构建弦切角或添切点 处的半径应用切线的性质求解。

12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线 段PA,PB,PC,PD之间有何关系? PA· PB=PC· PD 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被 交点分成的两条线段长的积相等。
D A A P O B C D D

P

B O

P

B

A

O
C

C

14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究2:把两条相交弦的交点P从圆内 运动到圆上.再到圆外, PB=PC· 是否还能成立? PD 结论 PA·
D C P A(C.P) A B P A B C D

PB=PC· PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA· P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PD ? ? . PC PB

故PA· PB=PC· PD

15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD D
D C C O P O

P

A
B A(B)

探究3:使割线PB绕P点运动到切线的 位置,是否还能成立?

16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

连接AC,AD易证△PAC∽△PDA 故PA· PB=PC· PD仍成立

D

因为A,B重合,
上式可变形为
P

C O

PA? =PC· PD 3.切割线定理 从圆外一点引圆的切 线和割线,切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项.

A(B)

17 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究4:使割线PD绕P点运动到切线的 位置,可以得出什么结论? C(D) D
C O P A(B) P A(B) O

PA? =PC· PD

易证Rt△OAP≌Rt△OCP.

PA=PC

4.切线长定理 从圆外一点引圆的两 条切线,它们的切线长相等,圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角.

18 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试. 思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?
C(D) F O

O P E

A(B)

19 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

4 4 1 解:设CD=x,则PD= 5 x ,PC= 5 x A 由相交弦定理,得

例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点 1 P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的长.

PA?PB=PC?PD

D
4 x 5

∴4×4= ? 求得 x=10, ∴CD=10

1 x 5

P

C
B

20 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线 EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G. C 求证:(1)△DFE∽△EFA; (2)EF=FG 3 △DFE∽△EFA EF FD O ? E B FA EF

EF?=FA?FD 又GF?=FA?FD GF? EF? = EF=FG

1

2

A G

D
F

21 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是 两圆公共弦AB上的任一点,从P引两 圆的切线PC,PD. C 求证:PC=PD P
析:PC?=PA?PB 又PD?=PA?PB PC? PD? = PC=PD
B A

D

22 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引 两条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC?AD+BC?BE=AB?. D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C BC?BE=BF?BA. A
F O

B

F,B,D,C四点共圆 AC?AD=AF?AB. AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA

=AB(AF+BF)=AB?

23 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE 是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.
问题1 由上述条件能推出哪些结论? B 探究1: ∠ACD= ∠AEC △ADC∽△ ACE ⑴
CD AC ? CE AE
D O E

A
C

CD?AE=AC?CE ⑵ 同理 BD?AE=AB?BE ⑶ 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 可得 BE?CD=BD?CE ⑷

图⑴

24 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些 结论? B
B E D A C O D A F G O E

图⑴

C

图⑵

探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷

25 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

证明如下:

∵AB?=AD?AE,而AB=AC,
∴AC?=AD?AE,即
AC AD ? AE AC

B

E
D F G C O

∵∠CAD= ∠EAC, ∴ △ADC∽△ ACE

A



(对应边成比例且夹角相等).

图⑵

另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆
∴ ∠CFG= ∠AEC, 又∵∠ACF= ∠AEC, ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC



26 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割
线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪 些结论?
B E D O F G C B D O E

A F G
C

A

图⑵
P

图⑶

探究3: 可以推出(1)~(6)的所有结论。

27 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

此外

∴AD?CE=AE?CG ⑺ D ∵ △ACD∽△ AEC O CD AD A ? ? CE AC G Q ∴AC?CD=AD?CE ⑻ 图⑶ 由⑺⑻可得: C AC?CD=AE?CG ⑼ P 连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则 ∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE, 故C,E,B,Q四点共圆 ⑽

AD CG ? ∵AC//DG. ? AE CE

B

E

28 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O?相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN?=NM?NQ
A

O?

O

B M

N
Q

P

29 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点, 求证:∠MPB=∠MCP 思路: ∵MA?=MB?MC=PM? M
B A

MB PM ? PM MC

O

P

∴△MBP∽△PMC
∴∠MPB=∠MCP

C

30 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H 是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
求证:DH=DG
F H
2 1

A
3

E

C

D
B G

31 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线

交于点P,AE=AC.
E A O
1

⌒ ⌒

求证:PF?PO=PA?PB 思路: △POC∽△PDF
B
2

F

PO PC ? P PD PF

C

D

PF?PO=PD?PC
又PD?PC=PB?PA PF?PO=PB?PA

32 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出 哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
B E D O D O C F G B E

A
C

A

图⑴

33 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5 9题 将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推 出哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?

AB?=AD?AE CF?CE=CD?CG ∵AC=AB ∴AC?=AD?AE
AC AD 即 ? AE AC

① ②

B E

D
A

O C

∵∠CAD= ∠EAC,

F

G

∴ △ADC∽△ ACE ∴∠ACD=∠AEC=∠G ∴ AC//FG


34 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

如果∠BAD= ∠CAD,如图, ∵△ABD∽△ ACD (?) = ∴ BD=CD ④ ∴∠ABD=∠ACD ∵∠ACD=∠1 ∠ABD=∠2 ∴∠1=∠2


∴BD=FD

⌒ ⌒



∴△ABE∽△ ACE = ∴ BE=CE


B E
4 3

∴ AE⊥BC ⑧

D
A F

C

2
1

G

∴ 四边形ABEC各边中点 共圆 ⑨

35 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.4
1.如图,经过圆上的点T的切线和弦 AB的延长线相交于点C。 求证:∠ATC=∠TBC 2.如图,⊙O和⊙O′都经过A,B两点, AC是⊙O′的切线,交⊙O于点C,AD 是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证: AB? =BC· BD
A T O B C C B O′ D

A


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