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(北师大版)数学必修四:1.7《正切函数的图像与性质》ppt课件(1)_图文

复习导入:
(1)正切函数是怎么定义的?

y ? tan ? ? ( x ? 0,? ? ? k? , k ? z ) x 2

y
?

· P (x, y) ·

的终边 ? ·

x

复习导入:
(2)正切函数值的一种几何表示 在单位圆中如何画出角 ? 的正切线?

正切线:AT
(3)正切函数是否为周期函数,如果是, 周期为多少?

sin x sin( x ? k? ) tan( x ? k? ) ? ? ? tan x cos( x ? k? ) cos x ? (其中x ? ? k? , k ? z ) 2 ∴正切函数是周期函数,周期为 k? (k ? 0且k ? z) 最小正周期为 ?

探究活动: 如何作出正切函数的图像呢?
我们一起来回顾正弦函数图像的作法

第一步:画出正弦函数在一个周期内的图像 1、确定一个周期,分成若干等分 ?0,2? ?

? ? ? 2、方法:利用单位圆,平移正弦线 ? ? 3、用光滑的曲线连接正弦线的终点
1 π

y=sinx,x∈[0,2π ]
2π x

01

O

第二步:将图像拓展到 整个定义域内
y1

?4?

?3?

?2?

??

?

? 2

o ?
-1

2

?

3? 2

2?

3?

4?

x

探究交流
类比正弦函数图像的画法, 画出正切函数的图像
第一步:画出正切函数在一个周期内的图像 ? ? ) 1、如何选择一个周期作图? ( ? 2 , 2 2、如何利用单位圆平移正切线? 3、连接正切线的终点 第二步:将图像拓展到 整个定义域内

动手实践、展示成果

1、选择一个周期( ? , ) ,分成若干(8)等分
2 2

? ?

y

1

0

'

A
?

?
2

?

3? ? ? ? ? 4 8 8
-1

? ? 3? 08 4 8

?
2

x

? 1、图像经过原点 ? ? ? x=x= 之间 特点 ? 2、介于直线 和 2 2 ? y ? 3、整个图像呈上升的趋势
? 2

1

0

'

A
?

?
2

?

3? ? ? ? ? 4 8 8
-1

? ? 3? 08 4 8

?
2

x

?

?
2

2、平移正切线

3、用光滑的曲线 连接正切线的终点

? ? y ? tan x , x ? (? , ) 2 2

4、将图像拓展到 整个定义域内

y
1

3? ? 2

??

?

?
2
-1

0

? 2

?

3? 2

x

正切曲线是由被相互平行的直线 x ? ? k? 2 所隔开的无穷多支形状相同曲线组成的。

y ? tan x

?

(k ? Z )

正 切 函 数 图 像

渐 进 线 渐 进 线

性质 :

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} ⑵ 值域: R 2 ⑶ 周期性:周期是 k ? ,最小正周期是 ?

⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。 ? ? ⑸ 单调性: 在每一个开区间 (? ? k? , ? k? ) k ? Z 2 2 内都是增函数。

k? (6)对称性:无对称轴 对称中心坐标( , 0)k ? z 2

请画出函数 y ? tan( x ? ) 的图像,并通过图像 4 讨论该函数的性质
y

动手实践

?

?

7? 4

?

5? 4

?

3? 4

?

?
4

O

? 4

3? 4

5? 4

x

思考:
1、观察正切曲线,满足 tan x ? 0 的x的集合 ? 是 ( ? ? k? , k? ) k ? Z
2

2、 函数y ? tan 3x 的定义域为 单调递增区间为

? k? ? ? ?x | x ? ? , k ? Z ? 6 3 ? ?

? k ? ? k? (? ? , ? ) k ? Z 6 3 6 3

有单调减区间吗?

没有

3、函数y ? tan( x ? ) 的周期为 3

?

?

知识巩固
例1 比较下列每组数的大小。
(1)tan167 与 tan173
o o

11 13 (2)tan(- ?)与 tan(? ? ) 4 5
11 ? 解: tan (? ?) ? tan 4 4

解:Q 900 ? 167 0 ? 1730 ? 1800

?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?
0 0

? tan167 ? tan173

13 2 tan( ? ? ) ? tan ? 5 5 ? 2 ? 又 0< < ? <
4 5 2
11 13 ? tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5

说明:比较两个正切值大小,关键是把相应的角 化到 y=tanx的同一单调区间内,再利用y=tanx的单调递增 性解决。

知识巩固
练习
(1) tan138?与 tan143?
? 13 ? ? 17 ? (2) t an? ? ? ?与 t an? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ?

? tan 138? ? tan 143?

? 17 ? ? 13 ? ? tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 5 ? ? 4 ?

比较大小方法:
1、将角转化在同一个单调区间

2、利用正切函数的单调性

思考: 解不等式: tan x ? 3
y

解:

3
0 ?

? x
2

3

小 ? ? 结 (1). y ? tan x的作图是平移在( ? , )上的图象得到的。
2 2
y

?

3? 2

??

?

? 2

0

? 2

?

3? 2

x

(2).y ? tan x的性质

定义域 值域
? ? ? x | x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

周期 奇偶性

单调增区间

对称中心
( k? ,0)k ? Z 2

R

?

? ? k?, ? k?) ,k ? Z 奇函数 (? ? 2 2

(3)思想方法: 1、作图:平移三角函数线

? ? ? 2、比较大小:利用单调性 ? ? 3、类比归纳、整体代换、数形结合

作业:
课本P39第1、2题


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