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2015-2016高中数学 1.4.2导数应用(二)课件 新人教A版选修2-2


1.4.1 导数应用(二) 研题型 学方 法 题型一 利润最大问题 1 3 例 1 某产品生产 x 件时的总成本函数为 C(x)=300+ x - 12 5x2+170x,每件产品的价格是 134 元, 求产量为多少时利润最 大. 解析: 由题意知, 生产 x 件时, 总收入 R(x)=134x,设利 润为 L(x),则 ? ? 1 3 2 L(x)=R(x)-C(x)=134x-?300+12x -5x +170x? ? ? 1 3 1 2 1 2 =- x +5x -36x-300, L′(x)=- x +10x-36=- (x-36)(x 12 4 4 -4). 令 L′(x)=0 得 x1=4, x2=36, 当 4<x<36 时, L′(x) >0;当 x>36 时,L′(x)<0. ∴L(36)=996 是 L(x)的最大值, 即产量为 36 件时,利润最大. 规律方法:(1)解决此类有关利润的实际应用题,应灵 活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量 关系有:①利润=收入-成本;②利润=每件产品的利润 ×销售件数. (2)对于单峰函数来说极值点就是最值点. ?变式训练 2 3 1. 某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+ x (万 75 元),已知产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件 这样的产品单价为 50 万元,则产量定为________件时,总利 润最大. k 解析:设产品的单价为 p 万元,根据已知,可设 p = , x 2 其中 k 为比例系数, 因为当 x=100 时, p=50, 所以 k=250 000, 250 000 500 所以 p = x ,p= ,x>0. x 2 500 2 3 设总利润为 y 万元, 则 y= · x-1 200- x =500 x 75 x 2 3 - x -1 200. 75 250 2 2 求导数得,y′= - x . x 25 令 y′=0 得 x=25. 故当 x<25 时,y′>0;当 x>25 时,y′<0. 因此,当 x=25 时,函数 y 取得极大值,也是最大值. 答案:25 题型二 面积、容积的最值问题 例 2 在边长为 60 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起, 做成一个无盖的方底箱子, 箱底边长为 多少时,箱子容积最大?最大是多少? (60-x) 解析:设箱底边长为 x,则箱高 h= ,箱子容 2 (60x2- x3) 积 V(x)= . 2 令 V′(x)=60x-1.5x2=0,解得 x=0(舍去)或 x=40.并求 得 V(40)=16 000. 由题意可知,当 x 过小、过大时,箱子容积很小,因此 16 000 是最大值. 即箱底边长为 40 时,箱子容积最大,最大是 16 000. 规律方法:(1)解决有关面积、容积的最值问题,要正 确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际 问题的定义域,利用导数求解函数的最值. (2)借助直角坐标系来沟通变量间的关系,是处理几何 问题的常用方法. ?变式训练 2.横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比,并和高的平 方成正比,要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,问断 面的高和宽应是多少? 解析:如图,设断面的宽为 x,高为 y.则当 xy2 取极大值 时,横梁的强度最大. 又 y2=d2-x2. ∴f(x)=xy2=x(d2-x2)(0<x<d). f′(x)=d2-3x2. d 6 令 f′(

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