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离散型随机变量的均值与方差


离散型随机变量的均值与方差
高中数学 江苏 高中三年级 60

离散型随机变量 离散型随机变量的分布列的性质 离散型随机变量的分布列的求法

理解期望方差的含义,会进行简单的期望方差的求解 随机变量的期望、方差

实际问题的转化,期望与方差的计算。

本节在高考中的考察较为简单,以填空的形式出现,复习的时候掌握基本题型即可。

均值 (1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均 水平. (2)若 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量,且 E(aX+b)=aE(X)+b. 方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则(xi-E(X))2 描述了 xi(i=1,2,?,n)相对于均值 E(X)的偏离程度,而 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 为这些偏离程度的加
i=1

n

权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 V(X)为随机变量 X 的方差,其算术平方根 V?X?为随机 变量 X 的标准差. (2)V(aX+b)=a2V(X).

常见分布的期望与方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,V(X)=p(1-p). (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=np,V(X)=np(1-p).

求离散型随机变量均值、方差的基本方法 1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; 2.已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y=aX+b 的均值、方差和标准差,可直接用 X 的均值、方差 的性质求解; 3.如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.

求离散型随机变量均值的步骤 (1)理解随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值; (2)求 X 的每个值的概率; (3)写出 X 的分布列; (4)由均值定义求出 E(X).

已知 X 的分布列 X P 1 23 则在下列式子中①E(X)=-3;②V(X)=27; 1 ③P(X=0)= ,正确的个数是________. 3 -1 1 2 0 1 3 1 1 6

2 1 1 1 1 由 E(X)=(-1)× +0× +1× =- ,故①正确. 2 3 6 3 1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 5 ? 由 V(X)=?-1+3?2×2+?0+3?2×3+?1+3?2×6=9,知②不正确.由分布列知③正确. ? ? ? ? ? ?

(2013· 浙江高考)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球 所得分数之和,求 ξ 的分布列; 5 5 (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所得分数.若 E(η)=3,D(η)=9,求 a∶ b∶c.

见解析 (1)由题意得 ξ=2,3,4,5,6. 故 P(ξ=2)= 3×3 1 = , 6×6 4

2×3×2 1 P(ξ=3)= =3, 6×6 2×3×1+2×2 5 P(ξ=4)= = , 18 6×6 2×2×1 1 P(ξ=5)= =9, 6×6 1×1 1 P(ξ=6)= = . 6×6 36 所以 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 5 6

P (2)由题意知 η 的分布列为 η P 所以 E(η)=

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

1 a a+b+c

2 b a+b+c

3 c a+b+c

a 2b 3c 5 + + =3, a+b+c a+b+c a+b+c

5? 5? 5? a b c 5 ? ? ? D(η)=?1-3?2· +?2-3?2· +?3-3?2· =9. ? ? a+b+c ? ? a+b+c ? ? a+b+c ? ?2a-b-4c=0, 化简得? 解得 a=3c,b=2c, ? a + 4b - 11c = 0 , ? 故 a∶b∶c=3∶2∶1.

(2013· 南京三模)某车站每天上午发出两班客车,第一班客车在 8:00,8:20,8:40 这三个时刻随机发出,且在 8:00 1 1 1 发出的概率为4,8:20 发出的概率为2,8:40 发出的概率为4;第二班客车在 9:00,9:20,9:40 这三个时刻随机发出, 1 1 1 且在 9:00 发出的概率为4,9:20 发出的概率为2,9:40 发出的概率为4.两班客车发出时刻是相互独立的,张先生预计 8:10 到站.求: (1)请预测张先生乘到第一班客车的概率; (2)张先生候车时间的分布列; (3)张先生候车时间的数学期望.

3 (1) 4(2) 见解析(3) 30 分钟 1 1 3 (1)第一班客车若在 8:20 或 8:40 发出,则张先生能乘到,其概率为 P=2+4=4. 3 答:张先生乘到第一班客车的概率为4. (2)张先生候车时间的分布列为 候车时间(分) 概率 (3)张先生候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 15 25 35 45 10×2+30×4+50×16+70×8+90×16=5+ 2 + 8 + 4 + 8 =30. 答:张先生候车时间的数学期望是 30 分钟. 10 1 2 30 1 4 50 1 1 4×4 70 1 1 4×2 90 1 1 4×4

(2014· 苏北四市联考)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,他 们约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点 数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (2)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E(ξ).

148 81 1 2 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为3,去参加乙游戏的概率为3. 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4), ?1? ?2? 则 P(Ai)=Ci4?3?i?3?4-i. ? ?? ? (1)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4.由于 A3 与 A4 互斥,故 ?1?3?2? 4?1?4 1 P(B)=P(A3)+P(A4)=C3 4?3? ?3?+C4?3? = . ? ?? ? ? ? 9 1 所以这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9. (2)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 8 P(ξ=0)=P(A2)=27,

40 P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=81, 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=81. 所以 ξ 的分布列是 ξ P 随机变量 ξ 的数学期望 8 40 17 148 E(ξ)=0×27+2×81+4×81= 81 . 0 8 27 2 40 81 4 17 81

(2013· 无锡三模)第 30 届夏季奥运会已于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行,当地某学校招募了 8 名男志愿者和 12 名女 志愿者.将这 20 名志愿者的身高制成如下茎叶图(单位:cm): 男 8 8 7 7 4 6 2 1 16 17 18 19 5 2 0 0 女 8 3 1 9 5 2 5 6

若身高在 180 cm 以上(包括 180 cm)定义为“高个子”,身高在 180 cm 以下(不包括 180 cm)定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高

个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 X 的分布列, 并求 X 的数学期望.

7 3 10.;2 5 1 (1)根据茎叶图,有“高个子”8 人,“非高个子”12 人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是20=4, 1 1 所以抽取的 5 人中“高个子”有 8×4=2 人,“非高个子”有 12×4=3 人. 用事件 A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”,则它的对立事件A表示“没有一名”‘高个子’被选中”,则 C2 3 7 3 P(A)=1-C2=1-10=10.
5 -

7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是10.

(2)依题意,知所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3.
2 C3 1 C1 4 4C4 3 P(X=0)=C3=14,P(X=1)= C3 =7, 8 8 1 C2 C3 1 4C4 3 4 P(X=2)= C3 =7,P(X=3)=C3=14. 8 8

因此,X 的分布列为 X P 所以 X 的数学期望 1 3 3 1 3 E(X)=0×14+1×7+2×7+3×14=2. 0 1 14 1 3 7 2 3 7 3 1 14

1.理解均值 E(X)易失误,均值 E(X)是一个实数,由 x 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量是可变的,而 E(X)是 不变的,它描述 X 值的取值平均状态. 2.注意 E(aX+b)=aE(X)+b,V(aX+b)=a2V(X)易错.



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