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2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷(理科)

2018 年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x<1},B=x{x|x2﹣x﹣6<0},则( )

A.A∩B={x|x<1} B.A∪B=R C.A∪B={x|x<2} D.A∩B={x|﹣2<x<1} 2. (5 分)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为( A. B. C. D. ) )

3. (5 分)设命题 p:? n>1,n2>2n,则?p 为(

A.? n>1,n2>2n B.? n≤1,n2≤2n C.? n>1,n2≤2n D.? n>1,n2≤2n 4. (5 分)函数 A. D. 5. (5 分) 指数函数 f (x) =ax (a>0, 且 a≠1) 在 R 上是减函数, 则函数 在其定义域上的单调性为( A.单调递增 B.单调递减 C.在(0,+∞)上递增,在(﹣∞,0)上递减 D.在(0,+∞)上递减,在(﹣∞,0)上递增 6. (5 分)设 a=log510,b=log612,c=1+log72,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 7. (5 分)已知函数 f(x)=ln(﹣x2﹣2x+3) ,则 f(x)的增区间为( A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣3,﹣1) C.[﹣1,+∞) ) ) ) B. 的对称轴为( C . )

D.[﹣1,1)

8. (5 分)函数 f(x)=x3﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,2]上的任意 x1,x2 都有|f (x1)﹣f(x2)|≤t,则实数 t 的最小值是( A.20 B.18 C.3 D.0 )

9. (5 分)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间, l∥l1,l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧
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的长为 x(0<x<π) ,y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的 图象大致是( )

A.

B.

C



D. 10. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x3, 且? x∈R,f(x)=f(2﹣x) ,则 f(2017.5)=( A. B. C.0 D.1 )

11. (5 分)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一 人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根 据以上条件,可以判断偷珠宝的人是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 12. (5 分)已知函数 f(x)= 的取值范围是( A.[﹣2,2] ∪[4,+∞) ) C.[﹣2,2+ ] D. [﹣2, 2+ ] ,若 f(f(m) )≥0,则实数 m )

B.[﹣2,2]∪[4,+∞)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)若 ,则 = .

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14. (5 分)已知 f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=x4﹣x,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是 . .

15. (5 分)由 y=x2﹣2 和 y=x 围成的封闭图形面积为 16. (5 分)设函数 成立的 x 的取值范围是 .

,则使得 f(x)>f(2x﹣1)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分)设 a∈R,命题 q:? x∈R,x2+ax+1>0,命题 p:? x∈[1,2],满 足(a﹣1)x﹣1>0. (1)若命题 p∧q 是真命题,求 a 的范围; (2) (¬p)∧q 为假, (¬p)∨q 为真,求 a 的取值范围. 18. (12 分) 已知 f (x) =Asin (ωx+?) ( 且当 时,函数 f(x)取得最大值 1. 个单位得到函数 g(x) ,求函数 g(x)的 过点 ,

(1)将函数 f(x)的图象向右平移 表达式;

(2) 在 (1 ) 的条件下, 函数 h (x) =f (x) +g (x) +2cos2x﹣1, 求h (x) 在 上的值域. 19. (12 分)已知函数 (1)判断 f(x)的单调性并证明; (2)解不等式 20 . ( 12 分)已知 f ( x ) =sinx , . (1)求 (2) 的值. ,求 g(x)的值域. . , , , 为奇函数.

21. (12 分)已知函数 f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1
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(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明: 22. (12 分)已知函数 f(x)=e﹣x﹣ax(x∈R) . (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若 x≥0 时,f(﹣x)+ln(x+1)≥1,求实数 a 的取值范围. 且 n>1)

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2018 年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x<1},B=x{x|x2﹣x﹣6<0},则( )

A.A∩B={x|x<1} B.A∪B=R C.A∪B={x|x<2} D.A∩B={x|﹣2<x<1} 【解答】解:集合 A={x|x<1}, B=x{x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3}, 则 A∩B={x|﹣2<x<1}, A∪B={x|x<3}, 故选 D.

2. (5 分)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为( A. B. C. D.



【解答】解:∵函数 f(x)=ex+4x﹣3, ∴f′(x)=ex+4>0, ∴函数 f(x)=ex+4x﹣3 在(﹣∞,+∞)上为增函数, ∵f( )= f( )= +1﹣3<0, +2﹣3= ﹣1>0,

∴f( )?f( )<0, ∴函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为( , ) 故选:C.

3. (5 分)设命题 p:? n>1,n2>2n,则?p 为(



A.? n>1,n2>2n B.? n≤1,n2≤2n C.? n>1,n2≤2n D.? n>1,n2≤2n
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【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题 p:? n>1,n2>2n,则?p 为? n>1,n2≤2n. 故选:C.

4. (5 分)函数 A. D. 【解答】解:f(x)=sin2x+ 令 2x+ = +kπ,解得 x= B.

的对称轴为( C .



cos2x=2sin(2x+ + ,k∈Z.

) ,

故选:D.

5. (5 分) 指数函数 f (x) =ax (a>0, 且 a≠1) 在 R 上是减函数, 则函数 在其定义域上的单调性为( A.单调递增 B.单调递减 C.在(0,+∞)上递增,在(﹣∞,0)上递减 D.在(0,+∞)上递减,在(﹣∞,0)上递增 【解答】解:∵指数函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数, ∴0<a<1, ∴﹣2<a﹣2<﹣1, 而函数 y=x2 在(﹣∞,0)上递减,在区间(0,+∞)上递增; ∴g(x)在区间(﹣∞,0)上递增,在区间(0,+∞)上递减; 故选:C. )

6. (5 分)设 a=log510,b=log612,c=1+log72,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【解答】解:∵a=log510=1+log52, b=log612=1+log62,
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c=1+log72, log52>log62>log72, ∴a>b>c. 故选:D.

7. (5 分)已知函数 f(x)=ln(﹣x2﹣2x+3) ,则 f(x)的增区间为( A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣3,﹣1) C.[﹣1,+∞)



D.[﹣1,1)

【解答】解:由﹣x2﹣2x+3>0, 解得:﹣3<x<1, 而 y=﹣x2﹣2x+3 的对称轴是 x=﹣1,开口向下, 故 y=﹣x2﹣2x+3 在(﹣3,﹣1)递增,在(﹣1,1)递减, 由 y=lnx 递增,根据复合函数同增异减的原则, 得 f(x)在(﹣3,﹣1)递增, 故选:B.

8. (5 分)函数 f(x)=x3﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,2]上的任意 x1,x2 都有|f (x1)﹣f(x2)|≤t,则实数 t 的最小值是( A.20 B.18 C.3 D.0 )

【解答】解:对于区间[﹣3,2]上的任意 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,等 价于对于区间[﹣3,2]上的任意 x,都有 f(x)max﹣f(x)min≤t, ∵f(x)=x3﹣3x﹣1,∴f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1) (x+1) , ∵x∈[﹣3,2], ∴函数在[﹣3,﹣1]、[1,2]上单调递增,在[﹣1,1]上单调递减 ∴f(x)max=f(2)=f(﹣1)=1,f(x)min=f(﹣3)=﹣19 ∴f(x)max﹣f(x)min=20, ∴t≥20 ∴实数 t 的最小值是 20, 故选 A.

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9. (5 分)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间, l∥l1,l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 的长为 x(0<x<π) ,y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的 图象大致是( )

A.

B.

C



D. 【解答】解:当 x=0 时,y=EB+BC+CD=BC= 当 x=π 时,此时 y=AB+BC+CA=3× 当 x= 时,∠FOG= =2 ; , ;

,三角形 OFG 为正三角形,此时 AM=OH=

在正△AED 中,AE=ED=DA=1, ∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣(AE+AD)=3× 又当 x= 故当 x= 故选 D. 时,图中 y0= + (2 ﹣ )= ﹣2×1=2 >2 ﹣2.如图. ﹣2.

时,对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方,对照选项,D 正确.

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10. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x3, 且? x∈R,f(x)=f(2﹣x) ,则 f(2017.5)=( A. B. C.0 D.1 )

【解答】解:? x∈R,f(x)=f(2﹣x) , ∴f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x) , 故 f(2017.5)=f(1009×2﹣0.5)=f(0.5)=f(0.5)=(0.5)3= , 故选:B.

11. (5 分)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一 人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根 据以上条件,可以判断偷珠宝的人是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解答】解:假如甲:我没有偷是真的,乙:丙是小偷、丙:丁是小偷是假的, 丁:我没有偷就是真的,与他们四人中只有一人说真话矛盾, 假如甲:我没有偷是假的,那么丁:我没有偷就是真的,乙:丙是小偷、丙:丁 是小偷是假的,成立, 故选:A. )

12. (5 分)已知函数 f(x)=
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,若 f(f(m) )≥0,则实数 m

的取值范围是( A.[﹣2,2] ∪[4,+∞)

) C.[﹣2,2+ ] D. [﹣2, 2+ ]

B.[﹣2,2]∪[4,+∞)

【解答】解:令 f(m)=t? f(t)≥0? ? t ≥3 下面求解﹣1≤f(m)≤1 和 f(m)≥3, ? ﹣2≤m≤1, ? 1<m≤2+ ? m 无解, ? m≥ 4 , 综上实数 m 的取值范围是[﹣2,2+ 故选:D. ,

? ﹣1≤t≤1;

]∪[4,+∞) .

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)若 【解答】解: ,则 , = .

则:

=



= 故答案为: .

=



14. (5 分)已知 f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=x4﹣x,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是 5x+y﹣3=0 .

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【解答】解:f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=x4﹣x, 可得 x>0 时,﹣x<0,f(﹣x)=x4+x, 又 f(﹣x)=﹣f(x) , 可得 f(x)=﹣x4﹣x, (x>0) , 则 f′(x)=﹣4x3﹣1(x>0) , 可得 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为﹣4﹣1=﹣5, 切点为(1,﹣2) , 则 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y+2=﹣5(x﹣1) , 即为 5x+y﹣3=0. 故答案为:5x+y﹣3=0.

15. (5 分)由 y=x2﹣2 和 y=x 围成的封闭图形面积为 【解答】解:联立 ﹣1) , S= (x﹣x2+2)dx=( x2﹣ x3+2x) ,解得: ,或

. ,则 A(2,2) ,B(﹣1,

=( ×4﹣ ×8+2×2)﹣( ×1+ ﹣2)= , ∴y=x2﹣2 和 y=x 围成的封闭图形面积 , 故答案为: .

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16. (5 分)设函数 成立的 x 的取值范围是 【解答】解:∵函数 f(﹣x)= 故函数为偶函数, = .

,则使得 f(x)>f(2x﹣1)

, =f(x) ,

当 x>0 时,

= 函数 若使得 f(x)>f(2x﹣1)成立, 则|x|>|2x﹣1|,即 x2>(2x﹣1)2, 解得:x∈ 故答案为: ,

>0 恒成立 为增函数,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分)设 a∈R,命题 q:? x∈R,x2+ax+1>0,命题 p:? x∈[1,2],满 足(a﹣1)x﹣1>0. (1)若命题 p∧q 是真命题,求 a 的范围; (2) (¬p)∧q 为假, (¬p)∨q 为真,求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)p 真,则 q 真,则 a2﹣4<0,得﹣2<a<2, ∴p∧q 真, .
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(2)由(¬p)∧q 为假, (¬p)∨q 为真? p、q 同时为假或同时为真, 若 p 假 q 假,则 ,? a≤﹣2,

若 p 真 q 真,则 综上 a≤﹣2 或 .

,?

18. (12 分) 已知 f (x) =Asin (ωx+?) ( 且当 时,函数 f(x)取得最大值 1.

过点



(1)将函数 f(x)的图象向右平移 表达式;

个单位得到函数 g(x) ,求函数 g(x)的

(2) 在 (1 ) 的条件下, 函数 h (x) =f (x) +g (x) +2cos2x﹣1, 求h (x) 在 上的值域. 【解答】解: (1)由题意可得 A=1,由函数过 ,由 ∵0<ω<4, ∴可得:ω=2,可得: ∴ (2)∵ 由于 可得: ∴h(x)在 , 上的值域为[﹣1,2]. . , , , ,得 ,结合范围 ,

19. (12 分)已知函数 (1)判断 f(x)的单调性并证明;

为奇函数.

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(2)解不等式



【解答】解: (1)由已知 f(﹣x)=﹣f(x) ,∴ ∴ ,a=﹣2,

∵ (2)∵ ∴ ∴

,∴

为单调递增函数. , ,而 f(x)为奇函数,

∵f(x)为单调递增函数,∴ ∴ ∴﹣3≤log2x≤1, ∴ . ,



20 . ( 12 分)已知 f ( x ) =sinx , . (1)求 (2) 【解答】解: (1)∵ ∴ ∵ ∴ ∴ , , , , , 的值.







,求 g(x)的值域. ,

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又 ∴ ∴ ,





= (2) 令 则 ∴g(x)的值域为







21. (12 分)已知函数 f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明: 且 n>1)

【解答】解: (1)∵f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, ∴x>1, ∵x>1,∴当 k≤0 时, , >0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;

当 k>0 时,f(x)在(1,1+ )上是增函数,在(1+ ,+∞)上为减函数. (2)∵f(x)≤0 恒成立, ∴? x>1,ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1≤0, ∴? x>1,ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1, ∴k>0. 由(1)知,f(x)max=f(1+ )=ln ≤0,
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解得 k≥1. 故实数 k 的取值范围是[1,+∞) . (3)令 k=1,则由(2)知:ln(x﹣1)≤x﹣2 对 x∈(1,+∞)恒成立, 即 lnx≤x﹣1 对 x∈(0,+∞)恒成立. 取 x=n2,则 2lnn≤n2﹣1, 即 ∴ ,n≥2, 且 n>1) .

22. (12 分)已知函数 f(x)=e﹣x﹣ax(x∈R) . (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若 x≥0 时,f(﹣x)+ln(x+1)≥1,求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)=e﹣x+x, 则 f′(x)=﹣ +1.

令 f'(x)=0,得 x=0. 当 x<0 时,f'(x)<0; 当 x>0 时,f'(x)>0. ∴函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增. ∴当 x=0 时,函数 f(x)取得最小值,其值为 f(0)=1f(x)的最小值为 1. (2)若 x≥0 时,f(﹣x)+ln(x+1)≥1,即 ex+ax+ln(x+1)﹣1≥0(*) 令 g(x)=ex+ax+ln(x+1)﹣1,则 ① 若 a ≥ ﹣ 2 , 由 ( 1 ) 知 e ﹣ x+x ≥ 1 , 即 e ﹣ x ≥ 1 ﹣ x , 故 ex ≥ 1+x ∴函数 g(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(0)=0. ∴(*)式成立. ②若 a<﹣2,令 ,则

∴ 函 数 ? ( x ) 在 区 间 [0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 , 由 于 ? ( 0 ) =2+a < 0 , .

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故? x0∈(0,﹣a) ,使得 ?(x0)=0, 则当 0<x<x0 时,?(x)<?(x0)=0,即 g'(x)<0. ∴函数 g(x)在区间(0,x0)上单调递减, ∴g(x0)<g(0)=0,即(*)式不恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是[﹣2,+∞) .

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