当前位置:首页 >> 数学 >>

高二数学与圆有关的比例线段练习题及答案


2014 年 06 月 06 日 1051948749 的高中数学组卷

菁优网

www.jyeoo.com

2014 年 06 月 06 日 1051948749 的高中数学组卷
一.选择题(共 5 小题) 1. (2013?顺义区一模)如图,AB,AC 分别与圆 O 相切于点 B,C,ADE 是⊙ O 的割线,连接 CD,BD,BE,CE.则 ( )

A.AB2=AD?DE

B.CD?DE=AC?CE

C.BE?CD=BD?CE

D.AD?AE=BD?CD

2. (2012?河东区一模)如图,在△ ABC 中,AB=AC=4,BC=6,以 AB 为直径的圆交 BC 于点 D,过点 D 作该圆的 切线,交 AC 于点 E,则 CE=( )

A .7

B.

C .9

D.3

3.如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆上的点,∠ BAC=20°,弧 ( )

和弧

的长相等,DE 是圆 O 的切线,则∠ EDC=

A.70°

B.40°

C.20°

D.35°

4.圆内接三角形 ABC 角平分线 CE 延长后交外接圆于 F,若 FB=2,EF=1,则 CE=( ) 3 2 4 1 A. B. C. D. 5. (2011?北京)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个 结论: ① AD+AE=AB+BC+CA;② AF?AG=AD?AE③ △ AFB~△ ADG 其中正确结论的序号是( )

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

② A .①

③ B.②

③ C .①

② ③ D.①

二.填空题(共 8 小题) 6. (2012?天津)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段 CD 的长为 _________ .

7. (2013?天津) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB∥ DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB=AD=5, BE=4,则弦 BD 的长为 _________ .

8. (2013?天津)如图,△ ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥ AC.过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线 交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为 _________ .

9. (2010?天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若 的值为 _________ .

,则

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

10. (2010?天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB=1,PD=3,则 的值为 _________ .

11. (2013?重庆)如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A=60°,AB=20,过 C 作△ ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥ CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为 _________ .

12. (2013?北京)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA=3,PD:DB=9:16, 则 PD= _________ ,AB= _________ .

13. (2014?重庆一模) 如图, BD 是半圆 O 的直径, A 在 BD 的延长线上, AC 与半圆相切于点 E, AC⊥ BC, 若 AE=6,则 EC= _________ .



三.解答题(共 17 小题) 14. (2009?辽宁)选修 4﹣1:几何证明讲 已知△ ABC 中,AB=AC,D 是△ ABC 外接圆劣弧 (1)求证:AD 的延长线平分∠ CDE;
?2010-2014 菁优网

上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E.

菁优网

www.jyeoo.com (2)若∠ BAC=30°,△ ABC 中 BC 边上的高为 2+

,求△ ABC 外接圆的面积.

15.如图,AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于 C 点,AM⊥ MN 于 M 点,BN⊥ MN 于 N 点, CD⊥ AB 于 D 点. 求证: (1)CD=CM=CN; 2 (2)CD =AM?BN.

16. (1979?北京)设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形,过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A,与 CF 的延 长线相交于点 B. 求证:

17. (2012?辽宁)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,⊙ O 和⊙ O′ 相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙ O 于点 E.证 明: (Ⅰ )AC?BD=AD?AB; (Ⅱ )AC=AE.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 18. (2010?湖南)如图,PE 是⊙ O 的切线,E 为切点,PAB、PCD 是割线,AB=35,CD=50,AC:DB=1:2,则 PA= _________ .

19. (2009?宁夏)如图,⊙ O 为△ ABC 的内切圆,∠ C=90°,切点分别为 D,E,F,则∠ EDF=

_________ 度.

20.△ ABC 中,∠ A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于 P,求证:BP=CP.

21. (2011?辽宁)如图,A、B、C、D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (Ⅰ )证明:CD∥ AB; (Ⅱ )延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A、B、G、F 四点共圆.

22. (理科) 点 A 不在⊙ O 上, 过 A 作⊙ O 的割线交⊙ O 于 B, C 且 AB?AC=64, OA=10, 则⊙ O 的半径为 _________ . 23.如图所示,AB 为⊙ O 的直径,BC、CD 为⊙ O 的切线,B、D 为切点. (I)求证:∠ BOC=∠ ODA; (II)若 AD=OD=1,过 D 点作 DE 垂直于 BC,交 BC 于点 E,且 DE 交 OC 于点 F,求 OF:FC 的值.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

24.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图, AB 为圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点, 过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C, 若 DA=DC, 求证: AB=2BC.

25.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知 C 点在⊙ O 直径的延长线上,CA 切⊙ O 于 A 点,DC 是∠ ACB 的平分线,交 AE 于 F 点,交 AB 于 D 点. (1)求∠ ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求 AC:BC.

26. (2013?辽宁) (选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直于 AB 于 F,连 接 AE,BE,证明: (1)∠ FEB=∠ CEB; 2 (2)EF =AD?BC.

27. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ )证明:DB=DC; (Ⅱ )设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△ BCF 外接圆的半径.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

28. (2014?江苏一模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知⊙ O 的半径为 1,MN 是⊙ O 的直径,过 M 点作⊙ O 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙ O 于 B 点,若 四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ )求 AM 的长; (Ⅱ )求 sin∠ ANC.

29. 【选修 4﹣1 几何证明选讲】 如图,CD 为△ ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值.

30. (2012?唐山二模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,在△ ABC 中,BC 边上的点 D 满足 BD=2DC,以 BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A,过点 B 作 BE⊥ CA 于点 E,BE 交圆 D 于点 F. (I)求∠ ABC 的度数: ( II)求证:BD=4EF.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

2014 年 06 月 06 日 1051948749 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 5 小题) 1. (2013?顺义区一模)如图,AB,AC 分别与圆 O 相切于点 B,C,ADE 是⊙ O 的割线,连接 CD,BD,BE,CE.则 ( )

A.AB2=AD?DE

B.CD?DE=AC?CE

C.BE?CD=BD?CE

D.AD?AE=BD?CD

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题. 分析: 由已知中 AB,AC 分别与圆 O 相切于点 B,C,ADE 是⊙ O 的割线,根据切割线定理,及相似三角形性质 (对应边成比例) ,逐一分析四个答案,可得结论. 解答: 解:∵ AB,AC 分别与圆 O 相切于点 B,C,ADE 是⊙ O 的割线, 2 由切割线定理可得 AB =AD?AE,故 A 不正确,D 不正确; 由△ ACD∽ △ AEC,可得 CD?AE=AC?CE,故 B 不正确; 由△ ACD∽ △ AEC,可得 AD?CE=AC?CD,由△ ABD∽ △ AEB,可得 AD?BE=AB?BD,又因为 AB=AC,故 BE?CD=BD?CE,故 C 正确 故选 C 点评: 本题考查的知识点是与圆有关的比例线段,熟练掌握切割线定理及相似三角形的性质是解答的关键.
菁优网版权所有

2. (2012?河东区一模)如图,在△ ABC 中,AB=AC=4,BC=6,以 AB 为直径的圆交 BC 于点 D,过点 D 作该圆的 切线,交 AC 于点 E,则 CE=( )

A .7

B.

C .9

D.3

考点: 专题: 分析: 解答:

与圆有关的比例线段. 计算题. 根据等腰三角形的三线合一求得 CD 的长,利用切线的性质求得 DE⊥ AC,再根据射影定理即可求出 CE. 解:连结 AD,OD,根据题意,得 AB=AC=5; ∵ AB 是直径, ∴ AD⊥ BC, ∴ BD=CD=3,
菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 又 BO=OA,∴ DO∥ CA, DE 是圆的切线,∴ DE⊥ OD, ∴ DE⊥ AC, 在直角三角形 ADC 中,DC =CE?CA, 2 即 3 =4CE, ∴ CE= , 故选 B.
2

点评: 本题主要考查了与圆有关的比例线段,掌握切线的性质,解答关键是根据等腰三角形的性质、射影定理等 进行计算.

3.如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆上的点,∠ BAC=20°,弧 ( )

和弧

的长相等,DE 是圆 O 的切线,则∠ EDC=

A.70°

B.40°

C.20°

D.35°

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据∠ BAC=20°,弧 和弧
菁优网版权所有

的长相等,求得弧

所对的圆心角为

=70°,再利用

DE 是圆 O 的切线,即可求得∠ EDC. 解答: 解:∵ ∠ BAC=20°,弧 ∴ 弧 所对的圆心角为 和弧 的长相等, =70°

∵ DE 是圆 O 的切线,∴ ∠ EDC= ×70°=35° 故选 D. 点评: 本题考查圆的切线,考查圆周角定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 4.圆内接三角形 ABC 角平分线 CE 延长后交外接圆于 F,若 FB=2,EF=1,则 CE=( ) A .3 B.2 C .4 D.1 考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题.

菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析: 由已知中圆内接三角形 ABC 角平分线 CE 延长后交外接圆于 F,则 A、F、B、C 四点共圆,由圆周角定理 结合已知条件,易得△ FCB∽ △ FBE,进而根据三角形相似的性质得到 FE:FB=FB:FC,最后由 FB=2,EF=1, 求出 FC 的值,进而得到 CE 的长. 解答: 解:由题意得:A、F、B、C 四点共园, 根据圆周定理可得∠ ABF=∠ ACF. 又∵ CE 是角平分线,所以∠ ACF=∠ BCF. ∴ △ FCB∽ △ FBE, ∴ FE:FB=FB:FC, ∵ FB=2,EF=1, ∴ FC=4, ∴ CE=CF﹣FE=3. 故选 A 点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段,其中证得△ FCB∽ △ FBE,进而根据三角形相似的性质,结合条件 求出 FC 的长是解答本题的关键. 5. (2011?北京)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个 结论: ① AD+AE=AB+BC+CA;② AF?AG=AD?AE③ △ AFB~△ ADG 其中正确结论的序号是( )

② A .①

③ B.②

③ C .①

② ③ D.①

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 常规题型. 分析: 根据从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,得到第一个说法是正确的,根据切割线定理知道第二个说 法是正确的,根据切割线定理知,两个三角形△ ADF~△ ADG,得到第三个说法错误. 解答: 解:根据从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等, 有 CE=CF,BF=BD, ∴ AD+AE=AB+BC+CA,故① 正确, ∵ AD=AE, 2 AE =AF?AG, ∴ AF?AG=AD?AE,故② 正确, 根据切割线定理知△ ADF~△ ADG 故③ 不正确, 综上所述① ② 两个说法是正确的, 故选 A. 点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查圆的切线长定理,考查圆的切割线定理,考查切割线构成的两个相似 的三角形,本题是一个综合题目.
菁优网版权所有

二.填空题(共 8 小题) 6. (2012?天津)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段 CD 的长为 .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由相交弦定理求出 FC,由相似比求出 BD,设 DC=x,则 AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD?AD 求解. 解答: 解:由相交弦定理得到 AF?FB=EF?FC,即 3×1= ×FC,FC=2,在△ ABD 中 AF:AB=FC:BD,即 3:4=2:
菁优网版权所有

BD,BD= , 设 DC=x,则 AD=4x,再由切割线定理,BD =CD?AD,即 x?4x=( ) ,x= 故答案为: 点评: 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与 性质. 7. (2013?天津) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB∥ DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB=AD=5, BE=4,则弦 BD 的长为 .
2 2

考点: 与圆有关的比例线段;余弦定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 连结圆心 O 与 A,说明 OA⊥ AE,利用切割线定理求出 AE,通过余弦定理求出∠ BAE 的余弦值,然后求解 BD 即可. 解答: 解:如图连结圆心 O 与 A,因为过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.所以 OA⊥ AE, 因为 AB=AD=5,BE=4, 梯形 ABCD 中,AB∥ DC,BC=5, 2 由切割线定理可知:AE =EB?EC,所以 AE= =6, 2 2 2 在△ ABE 中,BE =AE +AB ﹣2AB?AEcosα,即 16=25+36﹣60cosα,
菁优网版权所有

所以 cosα= ,AB=AD=5, 所以 BD=2×ABcosα= 故答案为: . .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

点评: 本题考查切割线定理,余弦定理的应用,考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力. 8. (2013?天津)如图,△ ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥ AC.过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线 交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

与圆有关的比例线段. 计算题;压轴题;直线与圆. 利用切割线定理求出 EB,证明四边形 AEBC 是平行四边形,通过三角形相似求出 CF 即可. 解:如图由切角弦定理得∠ EAB=∠ ACB,又因为,AB=AC,所以∠ EAB=∠ ABC, 所以直线 AE∥ 直线 BC,又因为 AC∥ BE,所以是平行四边形. 因为 AB=AC,AE=6,BD=5,∴ AC=AB=4,BC=6. △ AFC∽ △ DFB,
菁优网版权所有

即: CF= ,



故答案为: .

点评: 本题考查圆的切割线定理,三角形相似,考查逻辑推理能力与计算能力.

9. (2010?天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若 的值为 .

,则

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

考点: 圆內接多边形的性质与判定. 专题: 计算题. 分析: 由题中条件:“四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形”可得两角相等,进而得两个三角形相似得比例关系,最 后求得比值. 解答: 解:因为 A,B,C,D 四点共圆, 所以∠ DAB=∠ PCB,∠ CDA=∠ PBC, 因为∠ P 为公共角,
菁优网版权所有

所以△ PBC∽ △ PDA,所以 设 PB=x,PC=y, 则有 所以 故填: . . ,



点评: 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于中等题.温馨提示:四点共圆时四边形对角互补, 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容,也是考查的热点.

10. (2010?天津)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB=1,PD=3,则 的值为 .

考点: 圆內接多边形的性质与判定. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质, 属于容易题. 由 ABCD 四点共圆不难得到△ PBC∽ △ PAB, 再根据相似三角形性质,即可得到结论. 解答: 解:因为 A,B,C,D 四点共圆, 所以∠ DAB=∠ PCB,∠ CDA=∠ PBC, 因为∠ P 为公共角, 所以△ PBC∽ △ PAD,
菁优网版权所有

所以

= .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 故答案为: . 点评: 四点共圆时四边形对角互补,圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容,也是考查的热点. 11. (2013?重庆)如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A=60°,AB=20,过 C 作△ ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥ CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为 5 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直角△ ABC 的边角关系即可得出 BC,利用弦切角定理可得∠ BCD=∠ A=60°.利用直角△ BCD 的边角关系
菁优网版权所有

即可得出 CD,BD.再利用切割线定理可得 CD =DE?DB,即可得出 DE. 解答: 解:在△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A=60°,AB=20,∴ BC=AB?sin60°= . ∵ CD 是此圆的切线,∴ ∠ BCD=∠ A=60°. 在 Rt△ BCD 中,CD=BC?cos60°= ,BD=BC?sin60°=15. 由切割线定理可得 CD =DE?DB,∴
2

2

,解得 DE=5.

故答案为 5. 点评: 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键. 12. (2013?北京)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA=3,PD:DB=9:16, 则 PD= ,AB= 4 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 2 分析: 由 PD:DB=9:16,可设 PD=9x,DB=16x.利用切割线定理可得 PA =PD?PB,即可求出 x,进而得到 PD, PB.AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,利用切线的性质可得 AB⊥ PA.再利用勾股定理即可得出 AB. 解答: 解:由 PD:DB=9:16,可设 PD=9x,DB=16x. 2 ∵ PA 为圆 O 的切线,∴ PA =PD?PB,
菁优网版权所有

∴ 3 =9x?(9x+16x) ,化为 ∴ PD=9x= ,PB=25x=5.

2

,∴



∵ AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,∴ AB⊥ PA. ∴ = =4.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 故答案分别为 ,4. 点评: 熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键. 13. (2014?重庆一模) 如图, BD 是半圆 O 的直径, A 在 BD 的延长线上, AC 与半圆相切于点 E, AC⊥ BC, 若 AE=6,则 EC= 3 . ,

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 2 分析: 连结 OE,由切线的性质定理得到 OE⊥ AC,从而可得 OE∥ BC.根据切割线定理得 AE =AD?AB,解出 AB= ,可得 AO= ,最后利用比例线段加以计算得到 AC 长,从而可得 EC 的长. 解答: 解:连结 OE, ∵ AC 与半圆相切于点 E,∴ OE⊥ AC, 又∵ AC⊥ BC,∴ OE∥ BC.
菁优网版权所有

由切割线定理,得 AE =AD?AB,即 36= 因此,半圆的直径 BD= ,AO=BD= 可得 故答案为:3 ,所以 AC=

2

,解得 AB= .



=9,EC=AC﹣AE=3.

点评: 本题给出半圆满足的条件, 求线段 EC 之长. 着重考查了切线的性质定理、 切割线定理与相似三角形等知识, 属于中档题. 三.解答题(共 17 小题) 14. (2009?辽宁)选修 4﹣1:几何证明讲 已知△ ABC 中,AB=AC,D 是△ ABC 外接圆劣弧 (1)求证:AD 的延长线平分∠ CDE; (2)若∠ BAC=30°,△ ABC 中 BC 边上的高为 2+ 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E. ,求△ ABC 外接圆的面积.

考点: 弦切角;圆內接多边形的性质与判定. 专题: 计算题;证明题.

菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析: 首先对于(1)要证明 AD 的延长线平分∠ CDE,即证明∠ EDF=∠ CDF,转化为证明∠ ADB=∠ CDF,再根据 A, B,C,D 四点共圆的性质,和等腰三角形角之间的关系即可得到. 对于(2)求△ ABC 外接圆的面积.只需解出圆半径,故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心,再连 接 OC,根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径,可得到外接圆面积. 解答: 解: (Ⅰ )如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵ A,B,C,D 四点共圆,∴ ∠ CDF=∠ ABC 又 AB=AC∴ ∠ ABC=∠ ACB,且∠ ADB=∠ ACB,∴ ∠ ADB=∠ CDF, 对顶角∠ EDF=∠ ADB,故∠ EDF=∠ CDF, 即 AD 的延长线平分∠ CDE. (Ⅱ )设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥ BC. 连接 OC,由题意∠ OAC=∠ OCA=15°,∠ ACB=75°,∴ ∠ OCH=60°. 设圆半径为 r,则 r+ 外接圆的面积为 4π. 故答案为 4π. r=2+ ,a 得 r=2,

点评: 此题主要考查圆内接多边形的性质问题,其中涉及到等腰三角形的性质,属于平面几何的问题,计算量小 但综合能力较强,需要同学们多练多做题. 15.如图,AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于 C 点,AM⊥ MN 于 M 点,BN⊥ MN 于 N 点, CD⊥ AB 于 D 点. 求证: (1)CD=CM=CN; 2 (2)CD =AM?BN.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题. 分析: (1)首先根据题中圆的切线条件得二组角相等,再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等,从而证得 线段相等; 2 (2) 在直角三角形 ABC 中应用射影定理求得一个线段的等式, 再根据线段的相等关系可求得 CD =AM?BN. 解答: 证明: (1)连接 CA、CB, 则∠ ACB=90°∠ ACM=∠ ABC,∠ ACD=∠ ABC ∴ ∠ ACM=∠ ACD∴ △ AMC≌ △ ADC ∴ CM=CD 同理 CN=CD∴ CD=CM=CN
菁优网版权所有

(2)∵ CD⊥ AB,∠ ACD=90°
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 2 ∴ CD =AD?DB 由(1)知 AM=AD,BN=BD ∴ CD =AM?BN. 点评: 本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理,属容易题. 16. (1979?北京)设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形,过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A,与 CF 的延 长线相交于点 B. 求证:
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题;压轴题. 分析: 做出辅助线,根据一个圆周角是直角,得到圆周角所对的弦是直径,根据连接圆心与切点的直线垂直,得 到直角,在直角三角形中应用射影定理,得到线段成比例,通过变形得到要征得结论. 解答: 解:证连接 CD, ∵ ∠ CFD=90°, ∴ CD 为圆 O 的直径, 又 AB 切圆 O 于 D, ∴ CD⊥ AB, 又在直角三角形 ABC 中,∠ ACB=90°,
菁优网版权所有

∴ AC =AD?AB,BC =BD?BA ∴ 又因 BD =BC?BF,AD =AC?AE ∴
2 2

2

2

由(1)与(2)得 点评: 本题是一个与圆有关的比例线段问题,这是一个平面几何问题,在解题时所应用的方法在立体几何中也会 用到,是一个综合题. 17. (2012?辽宁)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,⊙ O 和⊙ O′ 相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙ O 于点 E.证 明: (Ⅰ )AC?BD=AD?AB; (Ⅱ )AC=AE.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ )先由 AC 与⊙ O′ 相切于 A,得∠ CAB=∠ ADB,同理得到∠ ACB=∠ DAB,即可得到△ ACB∽ △ DAB,进而得 到结论; (Ⅱ )由 AD 与⊙ O 相切于 A,得∠ AED=∠ BDA,再结合∠ ADE=∠ BDA,得到△ EAD∽ △ ABD,最后结合第一问 的结论即可得到 AC=AE 成立. 解答: 证明: (Ⅰ )由 AC 与⊙ O′ 相切于 A, 得∠ CAB=∠ ADB, 同理∠ ACB=∠ DAB, 所以△ ACB∽ △ DAB,
菁优网版权所有

从而



即 AC?BD=AD?AB. (Ⅱ )由 AD 与⊙ O 相切于 A, 得∠ AED=∠ BDA, 又∠ ADE=∠ BDA, 得△ EAD∽ △ ABD, 从而 ,即 AE?BD=AD?AB.

结合(Ⅰ )的结论,AC=AE.

点评: 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用.属于基础题. 18. (2010?湖南)如图,PE 是⊙ O 的切线,E 为切点,PAB、PCD 是割线,AB=35,CD=50,AC:DB=1:2,则 PA= 45 .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 考点: 圆的切线的性质定理的证明;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 计算题. 分析: 设 PA=x,可证明△ PAC∽ △ PDB,则 = ,由已知得,PD=2PA,则由切割线定理得 PA?PB=PC?PD,即 x
菁优网版权所有

(x+35)=2x(2x﹣35) ,求解即可. 解答: 解:设 PA=x, ∵ ∠ PAC=∠ D,∴ △ PAC∽ △ PDB,∴ = ∵ AC:DB=1:2,∴ PD=2PA, ∴ 由切割线定理得,PA?PB=PC?PD, 即 x(x+35)=2x(2x﹣50) , 解得 x=45, 故答案为 45. ,

点评: 本题考查了切割线定理和相似三角形的判定和性质,是基础知识要熟练掌握. 19. (2009?宁夏)如图,⊙ O 为△ ABC 的内切圆,∠ C=90°,切点分别为 D,E,F,则∠ EDF= 45 度.

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 连接 OE、OF,易证得四边形 OECF 是正方形,由此可证得∠ EOF=90°;由圆周角定理即可求得∠ EDF 的度 数. 解答: 解:连接 OE、OF,则 OE⊥ BC、OF⊥ AC; 四边形 OECF 中,∠ OEC=∠ C=∠ OFC=90°,OE=OF; ∴ 四边形 OECF 是正方形; ∴ ∠ EOF=90°;
菁优网版权所有

∴ ∠ EDF= ∠ EOF=45°. 故答案为:45.

点评: 本题考查的是切线的性质、正方形的判定和性质以及圆周角定理.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 20.△ ABC 中,∠ A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于 P,求证:BP=CP.

考点: 圆周角定理. 专题: 证明题. 分析: 根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角,得到角相等,根据等量代换得 到同一个三角形的内角相等,得到三角形是一个等腰三角形,得到两条线段相等. 解答: 证明:∠ CBP=∠ CAP=∠ PAD 又∠ 1=∠ 2 由∠ CAD=∠ ACB+∠ CBA =∠ ACB+∠ CBP+∠ 2 =∠ ACB+∠ 1+∠ CBP =∠ BCP+∠ CBP
菁优网版权所有

∴ ∠ BCP=∠ CBP, ∴ BP=CP. 点评: 本题考查圆周角定理,考查圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角,考查等量代换,考查要证明两条 线段相等先证明两个角相等,本题是一个基础题. 21. (2011?辽宁)如图,A、B、C、D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (Ⅰ )证明:CD∥ AB; (Ⅱ )延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A、B、G、F 四点共圆.

考点: 圆內接多边形的性质与判定. 专题: 证明题. 分析: (I)根据两条边相等,得到等腰三角形的两个底角相等,根据四点共圆,得到四边形的一个外角等于不相 邻的一个内角,高考等量代换得到两个角相等,根据根据同位角相等两直线平行,得到结论. (II)根据第一问做出的边和角之间的关系,得到两个三角形全等,根据全等三角形的对应角相等,根据平 行的性质定理,等量代换,得到四边形的一对对角相等,得到四点共圆. 解答: 解: (I)因为 EC=ED, 所以∠ EDC=∠ ECD 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上, 所以∠ EDC=∠ EBA 故∠ ECD=∠ EBA, 所以 CD∥ AB
菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com (Ⅱ )由(I)知,AE=BE, 因为 EF=EG,故∠ EFD=∠ EGC 从而∠ FED=∠ GEC 连接 AF,BG,△ EFA≌ △ EGB,故∠ FAE=∠ GBE 又 CD∥ AB,∠ FAB=∠ GBA, 所以∠ AFG+∠ GBA=180° 故 A,B.G,F 四点共圆

点评: 本题考查圆内接多边形的性质和判断,考查两直线平行的判断和性质定理,考查三角形全等的判断和性质, 考查四点共圆的判断,本题是一个基础题目. 22. (理科) 点 A 不在⊙ O 上, 过 A 作⊙ O 的割线交⊙ O 于 B, C 且 AB?AC=64, OA=10, 则⊙ O 的半径为 6 或 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 若 A 在圆外,由⊙ O 的割线 AB?AC=64,OA=10,由切割线定理及切线长公式,我们可以求出半径 R,若 A 在圆内,由⊙ O 的割线 AB?AC=64,OA=10,由相交弦定理得到 R 的值. 解答: 解:若 A 在圆外, 则∵ AB?AC=64, 则过 A 点作圆的切线 AD,切点为 D 则 AD=8 ∵ OA=10,
菁优网版权所有

此时⊙ O 的半径 R=

=6

若 A 在圆内, 则∵ AB?AC=64,OA=10, 此时⊙ O 的半径 R 满足: (R﹣OA)?(R+OA)=AB?AC 解得 R= 故答案为:6 或

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段,熟练掌握切割线定理及相交弦定理,是解答本题的关键,本题 易忽略 A 在圆内的情况,错解为 6. 23.如图所示,AB 为⊙ O 的直径,BC、CD 为⊙ O 的切线,B、D 为切点. (I)求证:∠ BOC=∠ ODA; (II)若 AD=OD=1,过 D 点作 DE 垂直于 BC,交 BC 于点 E,且 DE 交 OC 于点 F,求 OF:FC 的值.

考点: 弦切角;与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: (I)先根据条件得到∠ 2+∠ 3=90°以及∠ 1+∠ 2=90°;即可得到结论. (II) 先结合条件得到△ AOD 为等边三角形, ∠ 1=60°; 进而得到△ BCD 为等边三角形且 DE⊥ BC, 再结合 AB∥ DE, 即可得到答案. 解答: 解: (I)如图:连接 BD, 因为 CB,CD 是圆的两条切线, 所以:BD⊥ OC, ∴ ∠ 2+∠ 3=90°. 又 AB 为圆的直径,又∠ 1=∠ ODA, ∴ AD⊥ DB,∠ 1+∠ 2=90°; ∴ ∠ 1=∠ 3, ∴ ∠ BOC=∠ ODA. (II)∵ AO=OD=1, 则 AB=2,BD= .且△ AOD 为等边三角形,∠ 1=60°. 又∠ 3=∠ 1=60°,OB=1,则 OC=2. ∴ BC=DC= ,则△ BCD 为等边三角形.其中 DE⊥ BC,则 BE=EC. 又 AB∥ DE,则 OF=FC,即 OF:FC=1:1.
菁优网版权所有

点评: 本题主要考察弦切角的应用以及等边三角形的应用.解决本题第二问的关键在于等边三角形知识在解题中 的应用. 24.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图, AB 为圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点, 过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C, 若 DA=DC, 求证: AB=2BC.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

考点: 弦切角;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 证明题. 分析: 连接 OD,根据 DC 是圆 O 的切线,半径 OD⊥ DC.由 DA=DC,可得∠ A=∠ C,设大小为 α,利用等腰△ ADO 的外角,得到∠ ODC=∠ ODA+∠ A=2α.最后在 Rt△ ODC 中,利用内角和得到∠ ODC+∠ C=3α=90°,从而∠ C=30°,
菁优网版权所有

最后利用直角三角形 30°角对的边等于斜边的一半,得到 Rt△ ODC 中,OC=2OD=2OB,从而得到 BC= AB, 即 AB=2BC. 解答: 解:连接 OD, ∵ DC 是圆 O 的切线,OD 为圆半径, ∴ OD⊥ DC, ∵ DA=DC, ∴ ∠ A=∠ C,设∠ A=∠ C=α, ∵ △ ADO 中,OA=OD ∴ ∠ ODA=∠ A=α, ∴ ∠ ODC=∠ ODA+∠ A=2α, ∴ 在 Rt△ ODC 中,∠ ODC+∠ C=3α=90°, ∴ ∠ C=α=30° ∴ Rt△ ODC 中,OC=2OD=2OB ∴ BC=OB= AB,即 AB=2BC.

点评: 本题以圆的切线和等腰三角形为载体,借助于证明线段长度的关系,着重考查了圆的切线的性质、三角形 的外角和含有 30 度的直角三角形的性质等知识点,属于基础题. 25.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知 C 点在⊙ O 直径的延长线上,CA 切⊙ O 于 A 点,DC 是∠ ACB 的平分线,交 AE 于 F 点,交 AB 于 D 点. (1)求∠ ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求 AC:BC.

考点: 弦切角;与圆有关的比例线段.

菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)由弦切角定理可得∠ B=∠ EAC,由 DC 是∠ ACB 的平分线,可得∠ ACD=∠ DCB,进而∠ ADF=∠ AFD,由 BE 为⊙ O 的直径,结合圆周角定理的推论,可得∠ ADF 的度数; (2)由(1)的结论,易得△ ACE∽ △ BCA,根据三角形相似的性质可得 BC=tanB,求出 B 角大小后,即可得到答案. 解答: (1)因为 AC 为⊙ O 的切线,所以∠ B=∠ EAC 因为 DC 是∠ ACB 的平分线,所以∠ ACD=∠ DCB 所以∠ B+∠ DCB=∠ EAC+∠ ACD,即∠ ADF=∠ AFD, 又因为 BE 为⊙ O 的直径,所以∠ DAE=90°. 所以 . , ,又由 AB=AC,可得 AC:

(2)因为∠ B=∠ EAC,所以∠ ACB=∠ ACB,所以△ ACE∽ △ BCA,所以 在△ ABC 中,又因为 AB=AC,所以∠ B=∠ ACB=30°,Rt△ ABE 中,

点评: 本题考查的知识点是弦切角,三角形相似的性质,其中(1)中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得 到∠ ADF=∠ AFD, (2)的关键是根据三角形相似的性质得到 =tanB.

26. (2013?辽宁) (选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直于 AB 于 F,连 接 AE,BE,证明: (1)∠ FEB=∠ CEB; (2)EF =AD?BC.
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题. 分析: (1)直线 CD 与⊙ O 相切于 E,利用弦切角定理可得∠ CEB=∠ EAB.由 AB 为⊙ O 的直径,可得∠ AEB=90°.又 EF⊥ AB,利用互余角的关系可得∠ FEB=∠ EAB,从而得证. (2) 利用 (1) 的结论及∠ ECB=90°=∠ EFB 和 EB 公用可得△ CEB≌ △ FEB, 于是 CB=FB. 同理可得△ ADE≌ △ AFE, 2 AD=AF.在 Rt△ AEB 中,由 EF⊥ AB,利用射影定理可得 EF =AF?FB.等量代换即可. 解答: 证明: (1)∵ 直线 CD 与⊙ O 相切于 E,∴ ∠ CEB=∠ EAB. ∵ AB 为⊙ O 的直径,∴ ∠ AEB=90°. ∴ ∠ EAB+∠ EBA=90°. ∵ EF⊥ AB,∴ ∠ FEB+∠ EBF=90°. ∴ ∠ FEB=∠ EAB. ∴ ∠ CEB=∠ EAB. (2)∵ BC⊥ CD,∴ ∠ ECB=90°=∠ EFB, 又∠ CEB=∠ FEB,EB 公用.
菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com ∴ △ CEB≌ △ FEB. ∴ CB=FB. 同理可得△ ADE≌ △ AFE,∴ AD=AF. 在 Rt△ AEB 中,∵ EF⊥ AB,∴ EF =AF?FB. 2 ∴ EF =AD?CB. 点评: 熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关 键. 27. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ )证明:DB=DC; (Ⅱ )设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△ BCF 外接圆的半径.
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (I)连接 DE 交 BC 于点 G,由弦切角定理可得∠ ABE=∠ BCE,由已知角平分线可得∠ ABE=∠ CBE,于是得 到∠ CBE=∠ BCE,BE=CE.由已知 DB⊥ BE,可知 DE 为⊙ O 的直径,Rt△ DBE≌ Rt△ DCE,利用三角形全等的性 质即可得到 DC=DB.
菁优网版权所有

(II) 由 (I) 可知: DG 是 BC 的垂直平分线, 即可得到 BG=

. 设 DE 的中点为 O, 连接 BO, 可得∠ BOG=60°. 从 .

而∠ ABE=∠ BCE=∠ CBE=30°.得到 CF⊥ BF.进而得到 Rt△ BCF 的外接圆的半径= 解答: (I)证明:连接 DE 交 BC 于点 G. 由弦切角定理可得∠ ABE=∠ BCE,而∠ ABE=∠ CBE, ∴ ∠ CBE=∠ BCE,BE=CE. 又∵ DB⊥ BE,∴ DE 为⊙ O 的直径,∠ DCE=90°. ∴ △ DBE≌ △ DCE,∴ DC=DB. (II)由(I)可知:∠ CDE=∠ BDE,DB=DC. 故 DG 是 BC 的垂直平分线,∴ BG= .

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠ BOG=60°. 从而∠ ABE=∠ BCE=∠ CBE=30°. ∴ CF⊥ BF. ∴ Rt△ BCF 的外接圆的半径= .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

点评: 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识, 需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力. 28. (2014?江苏一模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知⊙ O 的半径为 1,MN 是⊙ O 的直径,过 M 点作⊙ O 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙ O 于 B 点,若 四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ )求 AM 的长; (Ⅱ )求 sin∠ ANC.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ )连接 BM,则平行四边形 BCON 中证出 BC∥ MN,由⊙ O 的切线 AM⊥ MN 得到 BC⊥ AM,结合 C 是 AM 的中点得到△ ABM 中 BM=BA.由 MN 是⊙ O 的直径,得∠ MBN=90°,因此得到△ NAM 是等腰直角三角形, 故 AM=MN=2.
菁优网版权所有

(II)作 CE⊥ AN 于 E 点,等腰 Rt△ CEA 中算出 CE= .

,Rt△ MNC 中算出 CN=

,从而可得 Rt△ ENC 中,

解答: 解: (Ⅰ )连接 BM,则 ∵ MN 是⊙ O 的直径,∴ ∠ MBN=90°, ∵ 四边形 BCON 是平行四边形,∴ BC∥ MN, 又∵ AM 是⊙ O 的切线,可得 MN⊥ AM,∴ BC⊥ AM, ∵ C 是 AM 的中点,∴ BC 是△ ABM 的中线, 由此可得△ ABM 是等腰三角形,即 BM=BA, ∵ ∠ MBN=90°,∴ ∠ BMA=∠ A=45°, 因此得到 Rt△ NAM 是等腰直角三角形,故 AM=MN=2.…(5 分) (Ⅱ )作 CE⊥ AN 于 E 点,则 由(I) ,得△ CEA 是等腰直角三角形,且 AC=1 ∴ , = .…(10 分) ,

∵ Rt△ MNC 中,MN=2,MC=1,∴ 故 Rt△ ENC 中,

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

点评: 本题给出圆 O 的垂直于直径 MN 的一条切线 AM,在已知△ NAM 是等腰直角三角形的情况下求线段的长, 并求 sin∠ ANC 的值.着重考查了圆的切线的性质、直径所对的圆周角和直角三角形中三角函数的定义等知 识,属于中档题. 29. 【选修 4﹣1 几何证明选讲】 如图,CD 为△ ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 已知 CD 为△ ABC 外接圆的切线, 利用弦切角定理可得∠ DCB=∠ A, 及 BC?AE=DC?AF, 可知△ CDB∽ △ AEF, 于是∠ CBD=∠ AFE. 利用 B、E、F、C 四点共圆,可得∠ CFE=∠ DBC,进而得到∠ CFE=∠ AFE=90°即可证明 CA 是△ ABC 外接圆的 直径; (2)要求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之 2 比即可. 由过 B、 E、 F、 C 四点的圆的直径为 CE, 及 DB=BE, 可得 CE=DC, 利用切割线定理可得 DC =DB?DA, 2 2 2 CA =CB +BA ,都用 DB 表示即可. 解答: (1)证明:∵ CD 为△ ABC 外接圆的切线,∴ ∠ DCB=∠ A,
菁优网版权所有

∵ BC?AE=DC?AF,∴



∴ △ CDB∽ △ AEF,∴ ∠ CBD=∠ AFE. ∵ B、E、F、C 四点共圆,∴ ∠ CFE=∠ DBC,∴ ∠ CFE=∠ AFE=90°. ∴ ∠ CBA=90°,∴ CA 是△ ABC 外接圆的直径; (2)连接 CE,∵ ∠ CBE=90°, ∴ 过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE,由 DB=BE,得 CE=DC, 2 2 又 BC =DB?BA=2DB , 2 2 2 2 ∴ CA =4DB +BC =6DB . 2 2 而 DC =DB?DA=3DB , 故过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ ABC 面积的外接圆的面积比值= = .

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 点评: 熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理 等腰三角形的性质是解题的关键. 30. (2012?唐山二模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,在△ ABC 中,BC 边上的点 D 满足 BD=2DC,以 BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A,过点 B 作 BE⊥ CA 于点 E,BE 交圆 D 于点 F. (I)求∠ ABC 的度数: ( II)求证:BD=4EF.

考点: 弦切角;与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )连接 OA、AD.由 AC 是圆 O 的切线,OA=OB,知 OA⊥ AC,∠ OAB=∠ OBA=∠ DAC,由 AD 是 Rt△ OAC 斜边上的中线,知 AD=OD=DC=OA,由△ AOD 是等边三角形,能求出∠ ABC 的度数.
菁优网版权所有

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知,在 Rt△ AEB 中,∠ EAB=∠ ADB=60°,由 EA= AB= × EB= AB= ×
2

BD=

BD,知

BD= BD,由切割线定理,得 EA =EF×EB,由此能够证明 BD=4EF.

解答: 解: (Ⅰ )连接 OA、AD. ∵ AC 是圆 O 的切线,OA=OB, ∴ OA⊥ AC,∠ OAB=∠ OBA=∠ DAC,…(2 分) 又 AD 是 Rt△ OAC 斜边上的中线, ∴ AD=OD=DC=OA, ∴ △ AOD 是等边三角形,∴ ∠ AOD=60°, 故∠ ABC= ∠ AOD=30°.…(5 分) (Ⅱ )由(Ⅰ )可知, 在 Rt△ AEB 中,∠ EAB=∠ ADB=60°, ∴ EA= AB= × EB= AB= × BD= BD,

BD= BD,…(7 分)
2

由切割线定理,得 EA =EF×EB, ∴ BD =EF× BD, ∴ BD=4EF.…(10 分) 点评: 本题考查弦切角、与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进 行等价转化.
2

?2010-2014 菁优网


相关文章:
高中数学人教a版选修4-1课后习题解答:2-5与圆有关的比例线段高考_....doc
高中数学人教a版选修4-1课后习题解答:2-5与圆有关的比例线段高考 - 第 5 课时 习题 2.5 1.解 (第 40 页) 与圆有关的比例线段 如图所示,设两条弦相交...
人教版高中数学选修2.5与圆有关的比例线段-ppt课件_图文.ppt
人教版高中数学选修2.5与圆有关的比例线段-ppt课件 - 探究1:AB是直径,
高二数学直线与圆的位置关系练习题及答案.doc
高二数学直线与圆的位置关系练习题及答案 - 一.选择题(共 11 小题) 1.
...1创新应用:第二讲 五 与圆有关的比例线段_图文.pdf
人教A版选修4-1创新应用:第二讲 五 与圆有关的比例线段_数学_高中教育_教育...答案:A 二、填空题 5.AB 是⊙O 直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,AM=4,BM ...
...人教A版选修4-1创新应用:第二讲 五 与圆有关的比例线段.doc
人教A版选修4-1创新应用:第二讲 五 与圆有关的比例线段_数学_高中教育_教育...答案:14 [来源:学科网] 三、解答题 8.如图,AB 是圆 O 直径,弦 CD⊥...
...1创新应用教学案:第二讲 五 与圆有关的比例线段 Word版含答案_....pdf
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案:第二讲 五 与圆有关的比例线段 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。五 与圆有关的比例线段 [对应...
与圆有关的比例线段_图文.ppt
与圆有关的比例线段_数学_高中教育_教育专区。 探究1:AB是直径,CD⊥AB交
...1课件创新应用:第二讲 五 与圆有关的比例线段_图文.ppt
高中数学人教A版选修4-1课件创新应用:第二讲 五 与圆有关的比例线段_数学_...答案:B 2.如图,已知 AB 是⊙O 直径,OM= ON,P 是⊙O 上点,PM、PN...
...直线与圆的位置关系 第五节 与圆有关的比例线段课堂....doc
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第五节 与圆有关的比例线段课堂导学案 新人
二次函数综合练习题(含答案).doc
二次函数综合练习题(含答案)_数学_高中教育_教育...(a≠0) 、二次函数 y=ax2+bx 比例 函数 ...线段 OE 的长有最大值, 求出这个最大值;[中*@...
2015年高二数学期末考试模拟题选1-4-无答案-bxy.doc
2015年高二数学期末考试模拟题选1-4-无答案-bxy_...已知某校高二文科班学生的化学与物理的水平测试成绩...线段 B1D1 上有两个动点 E,F 且 EF= 2 2 ,...
选修4-1 2.5 与圆有关的比例线段(第二课时)_图文.ppt
选修4-1 2.5 与圆有关的比例线段(第二课时)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.5 与圆有关的比例线段 T A B O C D P ? 1.圆周角定理 ? (1)圆周...
高中数学测试题及答案.doc
高二数学| 高中数学| 高中数学测试题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。...若直线 n 与圆 C 相交于 P, 两点, l 交于 N 点, Q 与 且线段 PQ 的...
中考数学试题-82018年中考复习之圆中成比例的线段 最新.doc
中考数学试题-82018年中考复习之圆中成比例的线段 最新_高三数学_数学_高中教育...割线定理是圆中成比例线段的重要的结论,是解决有 关圆中比例线段问题的有力...
中考专题复习之圆中成比例的线段.doc
中考专题复习之圆中成比例的线段_初三数学_数学_...2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用,主要是用于...跟踪训练参考答案一、选择题:AACB 二、填空题: 1...
高二数学椭圆知识点与例题.doc
高二数学《椭圆曲线知识点与例题》 1 椭圆定义:王...cos? A.(0, 答案:B 4.如果方程 x 2 ? ky ...线段 F2 P 为直径的圆与 此椭圆长轴为直径的圆...
人教版九年级上数学《24.1.1圆》练习题(含答案).doc
人教版九年级上数学《24.1.1圆》练习题(含答案) - 24.1.1 01 基础题 知识点 1 圆的有关概念 1.下列条件中,能确定唯一一个圆的是(C) A.以点 O 为...
几何概型的经典题型及答案.doc
几何概型经典题型及答案_高二数学_数学_高中教育_...只与构成该事件区域的长度(面积或 体积)成比例,则...有关,因此,此题可以转化为在 12cm 长 线段 AB...
人教版九年级上数学《24.1.1圆》练习题(含答案).doc
人教版九年级上数学《24.1.1圆》练习题(含答案) - 24.1.1 圆 01 基础题 知识点 1 圆的有关概念 1.下列条件中,能确定唯一一个圆的是(C) A.以点 O...
初三数学圆概率的专项培优练习题(含答案).doc
初三数学圆的专项培优练习题(含答案) 1.如图 1,已知 AB 是⊙O 的直径,
更多相关标签: