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高中数学绝对值不等式的解法


一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 -x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x-x1|

x1

3、函数y=|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 -x ,x<0 y

1

-1

o 1

x

1

二、探索解法
探索:不等式|x|<1的解集。
方法一: 利用绝对值的几何意义观察 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号, 需要分类讨论 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四: 利用函数图象观察

2 3 4

这是解含绝对值不等式的四种常用思路

探索:不等式|x|<1的解集。 方法一: 利用绝对值的几何意义观察

不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1

所以,不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集。 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号, 需要分类讨论 ①当x≥0时,原不等式可化为x<1

∴ 0≤x<1
②当x<0时,原不等式可化为-x<1,即x>-1

∴ -1<x<0
综合①②得,原不等式的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集。 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1

即 x2-1<0
即 (x+1)(x-1)<0

即-1<x<1
所以,不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集。 方法四: 利用函数图象观察 从函数观点看,不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以,不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x

-1 o 1

小结:不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0

a

② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }

-a

0

a


-c


0


c
2

题型1: 如果 c 是正数,那么 ① ② ①
2016/10/11

x ? c ? x ? c ? ?c ? x ? c
x ? c ? x2 ? c2 ? x ? ?c,或x ? c

2

题型2: 如果 c 是正数,那么

ax +b ? c ? (ax +b) ? c ? ?c ? ax +b ? c
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2

2

2 2 ax +b ? c ? (ax +b) ? c ? ax +b ? ?c, 或ax +b ? c ②

二、重难点讲解
② ① -m -n 0 n m 题型3: 形如n<| ax + b | <m (m>n>0)不等式

等价于不等式组


? n ? ax ? b ? m, 或 ? m ? ax ? b ? ?n
题型4:
2016/10/11

?| ax ? b |? n ? ?| ax ? b |? m


含有多个绝对值的不等式的解法 ---零点分段法
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法1: 3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5

?| 2 x ? 3 |? 3 或2 x ? 3 ? ?3 ?2 x ? 3 ? 3, ?? ?? ?| 2 x ? 3 |? 5 ?? 5 ? 2 x ? 3 ? 5
或x ? 0 ? x ? 3, 即? ?? 1 ? x ? 4
-1 0

3

4

?原不等式的解集是 {x | ?1 ? x ? 0, 或3 ? x ? 4}.
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法2:3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5 ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ?? , 或? ?3 ? 2 x ? 3 ? 5 ?3 ? ?(2 x ? 3) ? 5 3 3 ? ? ?x ? ?x ? , 2 ?? 2 , 或? ? ? 3 ? x ? 4 ?? 1 ? x ? 0 ?

? 3 ? x ? 4, 或 ?1 ? x ? 0 .
?原不等式的解集是 {x | ?1 ? x ? 0, 或3 ? x ? 4}.
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法3:3 ?| 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ?| 2 x ? 3 |? 5

? 3 ? 2 x ? 3 ? 5, 或 ? 5 ? 2 x ? 3 ? ?3

? 3 ? x ? 4, 或 ?1 ? x ? 0 .
?原不等式的解集是 {x | ?1 ? x ? 0, 或3 ? x ? 4}.
0 4

-1
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3

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-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:原不等式变形为| X +1| + |X -3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X -3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
(1)当x ? ?1时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 0.

此时, 得{x | x ? ?1} ?{x | x ? 0} ? {x | x ? ?1}.
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-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:(1)当x ? ?1时, 原不等式的解为{x|x ? ?1};
(2)当 ?1 ? x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 2.
此时, 得{x | ?1 ? x ? 3} ?{x | x ? 2} ? {x | ?1 ? x ? 2};

(3)当x ? 3时, x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0, ?原不等式变形为( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x,即x ? 4.
此时, 得{x | x ? 3} ?{x | x ? 4} ? {x | x ? 4}; 2 4 将(1)、 (2)、 (3)的结果取并集 ,

则原不等式的解集为 {x | x ? 2, 或x ? 4}.
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三、例题讲解 例3 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x 1 1 ② 2 ① ③ ?x? 2 (2)当1<x ≤2时,原不等式化为:

x ?1 ? 4 ? 2x ? 3 ? x ? x ? 0

又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 综上所述,原不等式的解集为 ?

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x ?1 ? 2x ? 4 ? 3 ? x ? x ? 4
1 ② 2 ③

1 ? ? x | x ? 或x ? 4?. 2 ? ?

1/2

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4

四、练习 1. 解不等式2<|2x-5|≤7. 解:原不等式等价于
2<2x-5≤7,或- 7≤ 2x-5<-2 7 ? ? x ? 6, 或 ?1 ? x ? 3 2 2

原不等式的解集为: 3 7 或 ?x?6 {x|-1≤x< } 2 2

-1
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3 2

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7 2

6

x

四、练习
2.解不等式 x ? 9 ? x ? 1 解:

x ? 9 ? x ?1

? ?x ? 9? ? ?x ? 1? ?x?5
2
1 5 9

2

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四、练习
3. 解不等式|x-3|-|x+1|<1 解:使两个绝对值分别为零的x的值依次为 x=3、x=-1, 将其在数轴上标出,将实数分为三个区间.依次考虑,原不 等式可以转化为下列不等式组.
? ? ? ?x≤-1 ?-1<x≤3 ?x>3 Ⅰ) ? Ⅱ) ? Ⅲ) ? ?-(x-3)+(x+1)<1 ? ?(x-3)-(x+1)<1 ? ?-(x-3)-(x+1)<1 ?
I) 1 的解集为空集;Ⅱ)的解为 <x≤3;Ⅲ)的解为 x>3 2

1 综上所述,原不等式的解集为{x | x> }. 2

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-1



3



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基础练习: 解下列不等式: (1)|x|>5 (2)2|x|<5

{ x | x ? 5或x ? ?5}
5 5 {x | ? ? x ? } 2 2 5 5 { x | x ? 或x ? ? } 2 2

(3)|2x|>5
(4)|x-1|<5

{ x | ?4 ? x ? 6}

(5)|2x-1|<5
(6)|2x2-x|<1 (7)|2x-1|<1

{ x | ?2 ? x ? 3}

1 { x | ? ? x ? 1} 2
{ x | x ? 1}

(4)|x-1|<5 -4 1 6

1 5 (5)|2x-1|<5 ?| x ? |? 2 2

-2

1 2

3

巩固练习:
解下列不等式:

1 1 (1) | ? x |? 4 2
(3) | 5 x ? 4 |? 6 (5)1 ?| 3 x ? 4 |? 6

2 1 ( 2) | x ? |? 3 3 (4) | 3 ? 2 x |? 7

(6) | x ? 3 x |? 4
2

(7) | 3 ? 2 |? 1
x

五、小结 (1)解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。 (2)零点分段法解含有多个绝对值的不等式。 ①
x1


x2



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