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【配套K12】2018届高考数学二轮复习专题四数列课时作业十递推数列及数列求和的综合问题理

小初高试卷教案类

课时作业(十) 递推数列及数列求和的综合问题
? ?an+2,n是奇数, 1.(2017·信阳二模)已知数列{an}中,a1=a2=1,an+2=? ?2an,n是偶数, ?

则数列

{an}的前 20 项和为( A.1 121 C.1 123

) B.1 122 D.1 124

解析:由题意可知,数列{ a2n}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,数列{a2n-1}是首项 为 1, 公差为 2 的等差数列, 故数列{an}的前 20 项和为 123.选 C. 答案:C 2.(2017·湖南省五市十校联考)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn+1=Sn+an+3, -2 1-2
10

10×9 +10×1+ ×2=1 2

a4+a5=23,则 S8=(
A.72 B.88 C.92 D.98

)

解析:法一 由 Sn+1=Sn+an+3,得 an+1-an=3,数列{an}是公差为 3 的等差数列,又

a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,∴a1=1,S8=8a1+
法二

8×7 d=92. 2

由 Sn+ 1= Sn+ an+3,得 an +1 -an=3 ,数列 {an}是公差为 3 的等差数列, S8 = =

a1+a8
2

a4+a5
2

=92.

答案:C 3.已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+1an-1=an(n≥2),则数列{an}的前 40 项和 S40 等 于( ) A.20 B.40 C.60 D.80 解析:由 an+1=

an 1 1 (n≥2),a1=1,a2=3,可得 a3=3,a4=1,a5= ,a6= ,a7=1, an-1 3 3
26 3

a8=3,…,这是一个周期为 6 的数列,一个周期内的 6 项之和为 ,又 40=6×6+4,所以 S40=6× +1+3+3+1=60.
答案:C 4.(2017·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足 a1=1,且 an+1=a1+an+ 26 3

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类

n(n∈N*),则 + +…+ 等于( a1 a2 a2 016
A. C. 4 032 4 028 B. 2 017 2 015 2 015 2 014 D. 2 016 2 015

1

1

1

)

解析:由 a1 = 1 , an + 1 = a1 + an + n 可得 an + 1 - an = n + 1 ,利用累加法可得 an - a1 =

n-
2

n+

,所以 an=

n2+n
2

1 ? 1 2 1 1 1 ?1 ,所以 = 2 =2? - ?,故a +a +…+a = an n +n ?n n+1? 1 2 2 016

1 ?1 1 1 1 2? - + - +…+ 1 2 2 3 2 016 ? - 1 ? ? 1 ? 4 032 =2?1- ,选 A. ?= 2 017? ? ? 2 017? 2 017

答案:A 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S3=a5.令 bn=(-1) 的前 2n 项和 T2n 为( A.-n B.-2n C.n D.2n )
n-1

an,则数列{bn}

解析:设等差数列{an}的公差为 d,由 S3=a5,得 3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得 d =2,∴an=2n-1,∴bn=(-1) -2n,选 B. 答案:B 6 .(2017·太原市模拟 ) 已知数列 {an} 的通项公式为 an = ( - 1) (2n -1)·cos 1(n∈N ),其前 n 项和为 Sn,则 S60=( A.-30 C.90 B.-60 D.120
* * *

n-1

(2n-1),∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)=

n


2



)

解析:由题意可得,当 n=4k-3(k∈N )时,an=a4k-3=1;当 n=4k-2(k∈N )时,an =a4k-2=6-8k;当 n=4k-1(k∈N )时,an=a4k-1=1;当 n=4k(k∈N )时,an=a4k=8k.所 以 a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=8,所以 S60=8×15=120. 答案:D 7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,数列{an}的 “差数列”的通项为 an=2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=( A.2 B.2 C.2
n+1 n n
* *

)

-2 D.2

n-1

-2
n n-1

解析:因为 an+1-an=2 ,所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2 K12 小学初中高中



小初高试卷教案类
n-2

2

2-2 2-2 2 n n n+1 +…+2 +2+2= +2=2 -2+2=2 ,所以 Sn= =2 -2. 1-2 1-2 答案:C 8.各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3Sn=anan+1,则 ?a2k=(
k=1 n

n

n+1

)

A. C.

n n+
2 3n

B.

n

n+
2

n+
2

D.

n+
2

n+

解析:当 n=1 时,3S1=a1a2,3a1=a1a2,所以 a2=3,当 n≥2 时,由 3Sn=anan+1,可得 3Sn-1=an-1an, 两式相减得:3an=an(an+1-an-1), 又因为 an≠0,所以 an+1-an-1=3, 所以{a2n}是一个以 3 为首项,3 为公差的等差数列. 所以 ?a2k=a2+a4+a6+…+a2n=3n+
k-1 n

n n-
2

3n ×3=

n+
2

.

答案:C 9.(2017·湖北省七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项 a1=2,且点(an,
2

a2 n-1)在直线 x-9y=0 上,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于(
1- - n A.3 -1 B. 2 1+3 C. 2
n n

)

3n +n D. 2
2 2 2 2

2

解析:由点(an,an-1)在直线 x-9y=0 上,得 an-9an-1=0,即(an+3an-1)(an-3an-1) =0,又数列{an}各项均为正数,且 a1=2,∴an+3an-1>0,∴an-3an-1=0,即 列{an}是首项 a1=2,公比 q=3 的等比数列,其前 n 项和 Sn= 3 -1,故选 A. 答案:A 10.(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发 大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码 为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 2 ,接下来的两项是 2 2 ,再接下来的三项是 2 2 2 ,依此类推.求满足如下条件的最小整 数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( K12 小学初中高中 )
0 0, 1 0, 1, 2

an =3,∴数 an-1
- 3-1
n

a1

-q 1-q

n





n

小初高试卷教案类 A.440 B.330 C.220 D.110 解析: 设首项为第 1 组, 接下来的两项为第 2 组, 再接下来的三项为第 3 组, 依此类推, 则第 n 组的项数为 n,前 n 组的项数和为 由题意知,N>100,令

n

+n . 2

n
n

+n * >100? n≥14 且 n∈N ,即 N 出现在第 13 组之后. 2 -2 1-2
n

1-2 n 第 n 组的各项和为 =2 -1,前 n 组所有项的和为 1-2

-n=2

n +1

-2-n.

设 N 是第 n+1 组的第 k 项,若要使前 N 项和为 2 的整数幂,则 N-
k k

n

+n 项的和即 2
*

第 n+1 组的前 k 项的和 2 -1 应与-2-n 互为相反数,即 2 -1=2+n(k∈N ,n≥14),k =log2(n+3)? n 最小为 29,此时 k=5,则 N= 故选 A. 答案:A 11.(2017·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=9,a2 为整数,且 Sn≤S5,则数列?
? ?anan+1?

+ 2

+5=440.

1 ? ?的前 9 项和为________.
?a1+4d≥0 ? ? ?a1+5d≤0

解析:由 Sn≤S5 得?

?a5≥0 ? ? ?a6≤0

,即?

9 9 ,得- ≤d≤- ,又 a2 为整数,∴d= 4 5

-2,an=a1+(n-1)×d=11-2n, ∴数列? 1? 1 1? 1
?

1 ? 1 1? 1 = ? - ?, an·an+1 d?an an+1?

?anan+1?

1 ? ?的前 n 项和 Tn=

? d?a1 a2 a2 a3 ? ? d?a1 an+1?
- 1 答案:- 9 1 ?

1 1 1 1 1 ? - + - +…+ - ?=

an an+1?

1 ?1 ? 1?? 1 ,∴T9=- ×? -?- ??=- . 2 ?9 ? 9?? 9

12.(2017·兰州市诊断考试)已知数列{an}中,a1=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且当 2an n≥2 时,有 =1 成立,则 S2 017=________. anSn-S2 n 解析: 当 n≥2 时, 由 2an 2 2 2 得 2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-Sn=-SnSn-1, ∴ - 2=1, anSn-Sn Sn Sn-1

?2? 2 2 2 =1,又 =2,∴? ?是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,∴ =n+1,故 Sn= ,则 S S1 Sn n+1 ? n?

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类

S2 017=

1 . 1 009 1 1 009

答案:

13.(2017·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 ________. 解析:设等差数列{an}的公差为 d,则

k=1

? Sk =

n

1

a3=a1+2d=3, ? ? 由? 4×3 S4=4a1+ d=10, ? 2 ?
∴ Sn=n×1+ 1 = 2

得?

?a1=1, ? ?d=1. ?

∴an=n.

n n-
2

×1=

n n+
2



Sn n n+
n

1 ? ?1 =2? - ?. n n + 1? ? 1 1 1 1



k=1

? Sk=S1+S2+S3+…+Sn

1

1 1 ? ? 1 1 1 1 1 =2?1- + - + - +…+ - ? 2 2 3 3 4 n n + 1? ? =2?1- 答案:

? ?

1 ? 2n = . n+1? ? n+1

2n n+1
n

14.(2017·兰州市高考实战模拟)对于正整数 n,设曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线 与平面直角坐标系的 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列?log2
? ?

an ? n+1?

?的前 10 项和等于________.
n n

解析:y′=nx
n

n-1

-(n+1)x =[n-(n+1)x]x

n

n-1

,当 x=2 时,y=2 (1-2)=-2 ,∴
n-1

曲线在点(2,-2 )处的切线的斜率 k=(-n-2)×2 2)×2
n-1 n

,切线方程为 y-(-2 )=(-n-
n

n

×(x-2),当 x=0 时,y=(n+1)×2 ,∴an=(n+1)×2 ,∴log2
?是首项为 1,公差为 1 的等差数列,其前 10 项的和为 n+1?

an

n+1

=log22 =n,

n

即数列?log2
?

?

an ?

1+10 ×10=55. 2

答案:55 15.(2017·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=9,a2 为整数,且 Sn≤S5. (1)求{an}的通项公式; K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 (2)设数列?
? ?的前 n 项和为 Tn,求证:Tn≤ . 9 ?anan+1?

1 ?

4

解析:(1)由 a1=9,a2 为整数可知,等差数列{an}的公差 d 为整数. 又 Sn≤S5,∴a5≥0,a6≤0, 于是 9+4d≥0,9+5d≤0, 9 9 解得- ≤d≤- . 4 5 ∵d 为整数,∴d=-2. 故{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1),得 1

anan+1



1 -2n

1 ? 1? 1 - = ? ?, -2n 2?9-2n 11-2n?

1??1 1? ?1 1? ∴Tn= ?? - ?+? - ?+…+ 2??7 9? ?5 7?

? 1 - 1 ??=1? 1 -1?. ?9-2n 11-2n?? 2?9-2n 9? ? ?? ? ?
令 bn = 1 1 , 由 函 数 f(x) = 的 图 象 关 于 点 (4.5,0) 对 称 及 其 单 调 性 , 知 9-2n 9-2x

0<b1<b2<b3<b4,b5<b6<b7<…<0,∴bn≤b4=1. 1 ? 1? 4 ∴Tn≤ ×?1- ?= . 2 ? 9? 9 16.设数列{an}的前 n 项和 Sn=2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=4, 由 Sn=2
n+1 n+1

,数列{bn}满足 bn=

1

n+

2 n

a

+ n.

,得 Sn-1=2 (n≥2),
n+1

n

∴an=Sn-Sn-1=2
? ?4,n=1 ∴an=? n ?2 ,n≥2 ?

-2 =2 (n≥2),

n

n

.

1 5 (2)当 n=1 时,b1= +1= , 2log24 4 5 ∴T1= , 4 当 n≥2 时,bn= 1

n+

2

2

n

+n=

1

n n+

1 1 +n= - +n n n+1

1 5 ?1 1 1 1 1 1 ∴Tn= +? - + - + - +…+ n 4 ?2 3 3 4 4 5 K12 小学初中高中

小初高试卷教案类



n+1? ?

1 ? 3 1 n +(2+3+4+…+n)= - + 4 n+1

n+
2 .

.

3 1 n 上式对于 n=1 也成立,∴Tn= - + 4 n+1

n+
2

17.(2017·山东卷)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n +1)得到折线 P1P2…Pn+1,求由该折线与直线 y=0,x=x1,x=xn+1 所围成的区域的面积 Tn.

解析:(1)设数列{xn}的公比为 q. 由题意得?
? ?x1+x1q=3, ?x1q -x1q=2, ?
2

所以 3q -5q-2=0.

2

由已知得 q>0,所以 q=2,x1=1. 因此数列{xn}的通项公式为 xn=2
n-1

.

(2)过 P1,P2,…,Pn+1 向 x 轴作垂线,垂足分别为 Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得 xn+1-xn=2 -2
n n-1

=2

n-1

.

记梯形 PnPn+1Qn+1Qn 的面积为 bn. 由题意得 bn=

n+n+
2

×2

n-1

=(2n+1)×2
0

n-2


1

所以 Tn=b1+b2+…+bn=3×2 +5×2 +7×2 +…+(2n-1)×2
2

-1

n-3

+(2n+1)×2

n-

.① 又 2Tn=3×2 +5×2 +7×2 +…+(2n-1)×2 ①-②得 -Tn=3×2 +(2+2 +…+2 3 2 = + 2 所以 Tn= -2 1-2
n-1
-1 2 0 1 2

n-2

+(2n+1)×2

n-1

.②

n-1

)-(2n+1)×2
n-1

n-1

-(2n+1)×2
n



n-
2

+1 .
*

18.已知数列{an}满足 an+1-an=2[f(n+1)-f(n)](n∈N ). (1)若 a1=1,f(x)=3x+5,求数列{an}的通项公式; (2)若 a1=6,f(x)=2 且 λ an>2 +n+2λ 对一切 n∈N 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 解析:(1)因为 an+1-an=2[f(n+1)-f(n)](n∈N ),f(n)=3n+5, 所以 an+1-an=2(3n+8-3n-5)=6, K12 小学初中高中
*

x

n

*

小初高试卷教案类 所以{an}是等差数列,首项为 a1=1,公差为 6,即 an=6n-5. (2)因为 f(x)=2 ,所以 f(n+1)-f(n)=2 所以 an+1-an=2·2 =2
n n+1 x n+ 1

-2 =2 ,

n

n

.
n n-1

当 n≥2 时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2 +2
+1

+…+2 +6=2

2

n

+2, 当 n=1 时,a1=6,符合上式,所以 an=2
n n+1

+2.

由 λ an>2 +n+2λ ,得 λ > 2 +n 3 =2 时, n+1 取得最大值 , 2 4
n

n

2 +n 1 n n+1 n 1-n n+1 = + n+1,而 n+2 - n+1= n+2 ≤0,所以当 n=1 或 n 2 2 2 2 2 2

?3 ? 故 λ 的取值范围为? ,+∞?. ?4 ?

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