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函数的奇偶性1


函数的奇偶性
主讲:尹阳鹏

2 y=x
当x1=1, x2=--1时, f(-1)=f(1) 当x1=2, x2=--2时, f(-2)=f(2) 对任意x,f(-x)=f(x)
-x x

1 y? x

偶函数定义:如果对于函数定
义域内的任意一个x,都有f(-x) =f(x)。那么f(x)就叫偶函数。

奇函数定义:如果对于函数定
义域内的任意一个x,都有f(-x) =-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。

(1) f ( x) ? ?2 x (2)f ( x) ? x ? 2 (3) f ( x) ? 1 ? x

例1、判断下列函数的奇偶性
判断奇偶性,只 需验证f(x)与f(-x) 之间的关系。

2

解:(1) 因为f(-x)=2x=-f(x),所 以f(x)是奇函数。 (2)因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所 以f(x)是偶函数。 2 2 f ( ? x ) ? 1 ? ( ? x ) ? 1 ? x (3)因为 ? f ( x),? f ( x) 是偶函数。

(4) f ( x) ? ? x (5) f ( x) ?

2

( x ?[?3,1])
2

4? x (6) f ( x) ? 2 x ? 1

定义域关于原 0 ? ( x ?点对称是函数 2) 具有奇偶性的 必要但不充分 条件。

解:(4) 当x ? 2时, 由于2 ?[?3,1]
故f(2)不存在,所以就谈不上与f(-2)相等了,由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 (5)函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在, 同上可知函数没有奇偶性。
(6)? f (? x) ? ?2 x ? 1,? f (? x) ? f ( x)且 f (? x) ? ? f ( x) 故函数没有奇偶性。

思考:
在刚才的几个函数中有的是奇 函数不是偶函数,有的是偶函 数不是奇函数,也有既不是奇 函数也不是偶函数的。那么有 没有这样的函数,它既是奇函 数又是偶函数呢?
f(x)=0

是不是具备这样性质的函数 解析式只能写成这样呢?

例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函 数。求证:f(x)=0

证明:因为 f(x)既是奇函数又是偶函数 所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x) 这样的函数 所以f(x)= -f(x) 有多少个呢? 所以2f(x)=0 即f(x)=0. f ( x)只是解析式的特征 , 若改变函数的定义域 , 如f ( x) ? 0, x ? [?1,1]和f ( x) ? 0, x ? {?2 ? 1, 0, 1,2, } 显然是不同的函数 , 所以具有这样但它们都 既是 奇函数又是偶函数 , 所以这样的函数有无数 多个

函数按是否有奇偶性可分为四类:

奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数

例3、判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? kx ? b

?2? f ( x) ? a

(a ? R)

1、解:当b=0时,f(x)为奇函数,当 b ? 0时,f(x)既不是奇函数,也不是 偶函数。 2、解:当a=0时,f(x)既是奇函数又 是偶函数,当a ?0时,f(x)是偶函数。

小结:
?奇偶性的概念 ?判断奇偶性时要注意的 问题

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