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2018-2019学年高中数学苏教版必修3教学案:第3章 3.3 几何概型-含解析

数学 几何概型 预习课本 P106~109,思考并完成以下问题 1.什么是几何概型?几何概型有何特征? 2.几何概型的计算公式是什么? [新知初探] 1.几何概型的定义 对于一个随机试验, 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该 区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的 某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随 机试验,称为几何概型. 2.几何概型的特征 (1)在每次随机试验中,不同的试验结果有无穷多个,即基本事件有无穷多个. (2)在随机试验中,每个试验结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是等可能的. [点睛] (1)判断一个随机试验是否为几何概型时,两个条件“无限性”与“等可能性”的验证 缺一不可. (2)注意几何概型与古典概型的区别,前者基本事件有无限个,而后者只有有限个. (3)在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的 可能性大小,仅与该区域的度量成正比,而与该区域的位置、形状无关. 3.几何概型的计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A, 则事件 A 发生的概率 P(A)= d的测度 . D的测度 数学 这里要求 D 的测度不为 0,其中“测度”的意义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图 形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. [小试身手] 1.下列概率模型: ①从 1~10 中任意取一个整数,求取到 5 的概率; ②从区间[1,10]内任意取一个数,求取到 5 的概率; ③一枚硬币连掷三次,求出现一次正面朝上的概率; ④一个十字路口的交通信号灯中,红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为 30 秒、50 秒、60 秒,求某辆车到达路口遇见绿灯的概率. 其中是几何概型的是________(填序号). 答案:②④ 2.在区间[1,3]上任取一数,则这个数大于 1.5 的概率为________. 答案:0.75 3.在边长为 4 的正方形中有一个半径为 1 的圆,向这个正方形中随机投一点 M,则点 M 落在圆内的概率为________. π 答案: 16 一维几何概型 [典例] (1)在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. (2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,则一位乘客 到达车站后等车时间超过 10 min 的概率为__________. [解析] (1)∵区间[-1,2]的长度为 3,由|x|≤1,得 x∈[-1,1],而区 2 间[-1,1]的长度为 2,x 取每个值为随机的,∴在[-1,2]上取一个数 x,|x|≤1 的概率 P= . 3 (2)设上一辆车于时刻 T1 到达,而下一辆车于时刻 T2 到达,则线段 T1T2 的长度为 15, 设 T 是线段 T1T2 上的点,且 T1T=5,T2T=10,如图所示. 记“等车时间超过 10 min”为事件 A,则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不 含端点)时,事件 A 发生. ∴P(A)= 5 1 = = , T1T2的长度 15 3 T1T的长度 数学 1 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是 . 3 2 [答案] (1) 3 1 (2) 3 (1) 几何概型的关键是选择测度,等可能的角度不同,相应的测度也不 同.(2)一维几何概型,常以长度和角度为测度. [活学活用] 1 ? ?1 ? 1.已知函数 f(x)=log2x,x∈? ?2,2?,在区间?2,2?上任取一点 x0,则使 f(x0)≥0 的概 率为________. 1 ? 解析:欲使 f(x)=log2x≥0,则 x≥1,而 x∈? ?2,2?, ∴x0∈[1,2],从而由几何概型概率公式知所求概率 2-1 2 P= = . 1 3 2- 2 2 答案: 3 2.在 Rt△ABC 中,∠A=30° ,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,求使 AM> AC 的概率. 解:如图所示: 设事件 D 为“作射线 CM, 使 AM>AC”. 在 AB 上取点 C′, 使 AC′ =AC. ∵△ACC′是等腰三角形, 180° -30° ∴∠ACC′= =75° , 2 ∠BCC′=90° -75° =15° ,∠ACB=90° , 数学 ∠BCC′ 1 ∴P(D)= = . 6 ∠ACB 二维几何概型 [典例] (1)如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通 信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区 域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是________. (2)设关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0. ①若 a 是从 0,1,2,3 这四个数中任取一数,b 是从 0,1,2 这三个数中任取一个数,则此方 程有实根的概率为________. ②若 a 是从[0,3]中任取一数,b 是从[0,2]中任取一个数,则此方程有实根的概率为 ________. 1 π [解析] (1)由题意知,两个四分之一圆补成半圆其面积为 ×π×12= ,矩形面积为 2, 2 2 π 2- 2 π 则所求概率为 =1- . 2 4 (2)①此题是古典概型,所有基本事件为 (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)共 12 个. 要使方程有实根则Δ=4a2-4b2≥0, ∴a≥b,符合此条件的基本事件有 (1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)共 8 个. 8 2 故所求概率为 = . 12 3 ②该试

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