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分数指数幂运算淮安

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第十四讲

分数指数幂

7.28

一、学习要求: 了解指数的扩展变化和分数指数幂的意义,掌握分数指数幂的运算. 二、要点扫描: 1.根式: ⑴平方根与立方根 如果 x ? a ,那么 x 称为 a 的平方根;
2

如果 x ? a ,那么 x 称为 a 的立方根; ⑵ n 次实数方根
3

一般地,如果一个实数 x 满足 x ? a ( n ? 1, n ? N ? ) ,那么 x 称为 a 的 n 次实数方根; ⑶正数、负数、0 的 n 次实数方根 ①当 n 为奇数时, 正数 a 的 n 次实数方根是一个正数, 负数 a 的 n 次实数方根是一个负数, 这时,a 的
n

n 次实数方根只有一个,记作 x ? n a ; ②当 n 为偶数时,负数 a 的 n 次实数方根不存在; 当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次实数方根有两个,它们互为相反数,这时正数 a 的正的 n 次实数方根用 符号 n a 表示,负的 n 次实数方根用符号 ? n a 表示,它们可以合并写成 ? n a ( a ? 0 )的形式; ③ 0 的 n 次实数方根等于 0 ; ⑷ 根式: 式子 n a ( n ? 1, n ? N ? )叫做根式,其中 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.
2.分数指数幂: 一般地,我们规定 a 我们还规定 a
? m n
m n

? n a m ( a ? 0 , m, n 均为正整数) ;
? m n

?

1

( a ? 0 ,m, n 均为正整数) 所以:a , m

?

1
n

an (1) 0 的正分数指数幂为 0 , 0 的负分数指数幂没有意义;
3.指数运算法则 ①a ?a ? a
s t s ?t

a

m

? ( a ? 0 ,n ? 1, m、n ? N ) .

② (a ) ? a
s t

st

③ (ab) ? a ? b ;
t t t

其中, s, t ? Q , a ? 0 , b ? 0 . 三、例题与练习: 1.求下列各式的值: ⑴ ( 5)2 ⑵ ( 3 ?2)3
2 ⑶ 4 (?2) 2 ⑷ (3 ? ? )

2.求值:
1

⑴ 100 2 ⑵8 ⑶9
2 3
? 3 2

16 ? 3 ⑷( ) 4 81
⑸ [(1 ? 2) ]
1 4 2

3. 用分数指数幂的形式表示下列各式( a ? 0 ) :
1

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⑴a

2

a

⑵ a a
2 ⑶ 3 ( m ? n) ( m ? n )



4. 用根式的形式表示下列各式( a ? 0 ) :
1

m3 m

⑴ a5
3

⑵ a4
7

⑶ a5 ⑷a 2 5.化简(式子中的字母均为正数) :
1 1
? 3

⑴ a2a4a
1 ? 1

?

3 8

⑵ ( x 2 y 3 )6 ⑶ ( x 2 y) ? ( xy 3 )
2 3 2

6.(1)若 9a2 ? 6a ? 1 ? 3a ? 1 ,则 a 的取值范围是 (2)要使 (5 x ? ) 7.若 a ? a
?1

; .

1 2

3 ? 4

? ( x ? 1) 有意义,则 x 的取值范围是
1 ? 1 2

2 3

? 3 ,求值:
.

2 ?2 ?1 2 ?2 2 ?2 ⑴ a ? a ;⑵ a ? a ;⑶ (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) ;★⑷ a 2 ? a

8.利用指数的运算法则,确定下列方程的解: ⑴ 2× 4 ? 16 ;
x

⑵4

3 x?2

? 256 ? 81? x ;

⑶ 2 x 4 ? 1 ? 15 ; ⑷2
x?2

3

? 5 ? 2x ? 1 ? 0 .

课后作业: 1. 计算下列各式:
2

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36 3 )2 49 ⑵ 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
⑴( 2. 计算下列各式(式中的字母都是正数) : ⑴ (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
1 2 1 1 1 1 5

⑵ ( m 4 n 8 )8 ⑶

?

3

a2 a ? 3 a2
? 1 4

(a ? 0)
2 3 1

1 ?1?5 49 ? 2 ⑷ 0.0001 ? 27 ? ( ) ?( ) 9 64
3.求下列各式的值: ⑴ 4 1002
5 ⑵ 5 ( ?0.1) 2 ⑶ (? ? 4) 6 ⑷ 6 ( x ? y) ( x ? y )

4.计算( a ? 0, b ? 0 ) : ⑴ 4a b
2 3 ? 1 3

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) 3
? 1 1 ? 1

(2) (2 x 2 ? 3 y 4 )(2 x 2 ? 3 y 4 ) 5.已知 x ? ⑴ x2 ? x
1 ? 1 2

1

1 ? 3 ,求下列各式所的值: x
;⑵ x ? x ;⑶ x ? x .
2 ?2

2

?2

3


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