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高优指导2017版高考数学一轮复习解答题增分专项三高考中(精)_图文

解答题增分专项三

高考中的 数列

-2-

从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、 等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的 通项及非等差、等比数列的前n项和等.命题规律是解答题每两年 出现一次,命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档.

-3题型一 题型二 题型三

题型一等差、等比数列的综合问题 突破策略一 公式法 对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差 数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可. 例1已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数 列. (1)求{an}的通项公式; (2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.

-4题型一 题型二 题型三

2 解:(1)设{an}的公差为d.由题意, 11 =a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,∴d=-2(d=0舍去).故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31, 故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.

从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n. 2 2

-5题型一 题型二 题型三

1 1 对点训练 已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1- (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2

1

(2)设 bn=log3a 1+log3a 2+…+log3an,求数列{ bn}的通项公式.

关闭

(1)证明 :∵an= ×
3

1

1 -1 3

=

1 3

,Sn=

1 3

1- 3 11 3

1

=

1- 3 2

1

,∴Sn=

1-

(2)解 :bn=log3a 1+log3a 2+… +log3an=-(1+2+… +n)=-

2 ( +1) 2

.

.

∴{bn}的通项公式为 bn=-

( +1) 2

.
答案

-6题型一 题型二 题型三

突破策略二 转化法 无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能 够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列的通项公 式或求和公式解决问题.

-7题型一 题型二 题型三

例2(2015云南检测)在数列{an}中,a1=1,数列{an+1-3an}是首项为9, 公比为3的等比数列. (1)求a2,a3; (2)求数列 的前n项和Sn. 3
关闭

解 :(1)∵数列 {an+1-3an}是首项为 9,公比为 3 的等比数列 , ∴an+1-3an=9×3n-1= 3n+1, ∴a2-3a1=9,a3-3a 2=27,∴a2=12,a 3=63. +1 (2)∵an+1-3an=3n+1,∴ ? =1, +1

∴数列 ∴数列

3 3

是首项为 ,公差为 1 的等差数列 ,
3

3 1

3

的前 n 项和 Sn= +
3



( -1) 2

=

3 2 - 6

.
答案

-8题型一 题型二 题型三

对点训练2 设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n 项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn. 1 + 2 + 3 = 7, 解 :(1)由已知得 ?a2=2. (1 + 3) + (3 + 4) = 62 2 设数列{an}的公比为 q,由 a2=2,可得 a1= ,a3=2q,

又 S3=7,∴ +2+2q=7,即 2q2- 5q+2=0.


2



解得 q=2 或 q= .

1 2

∵q>1,∴q=2,∴a1=1.
故数列{an}的通项公式为 an=2n-1.

-9题型一 题型二 题型三

(2)由 (1)得 a3n+1=23n, ∴bn=ln 23n=3nln 2. 又 bn+1-bn=3ln 2,∴数列 {bn}为等差数列 . ( + ) ∴Tn=b1+b2+… +bn= 1 =
(3ln2 +3 ln2 ) 2 3 ( +1) 2

=

3 ( +1) 2

2

ln 2.

故 Tn=

ln 2.

-10题型一 题型二 题型三

题型二证明数列为等差或等比数列 突破策略一 定义法 用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an1=d(n≥2)和an+1-an=d,前者必须加上“n≥2”,否则n=1时a0无意义;在 +1 =q =q (常数q≠0),或n∈N+时,有 等比数列中也有:n≥2时,有
(常数q≠0). 例3在等比数列{an}中,a1>1,公比q>0,设bn=log2an,且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{bn}的前n项和Sn及数列{an}的通项an.
-1


-11题型一 题型二 题型三

(1)证明 :∵bn=log2an, ∴bn+1-bn=log2 +1=log2q 为常数 .

∴数列 {bn}为等差数列,且公差 d=log2q.
(2)解 :设数列 {bn}的公差为 d, ∵b1+b3+b5= 6,∴ b3= 2. ∵a1>1,∴ b1=log2a1> 0. + 2 = 2, = 4, ∵b1b3b5=0,∴b5=0.∴ 1 解得 1 1 + 4 = 0, = -1.
(-1) 9-2 ∴Sn=4n+ 2 ×(-1)= 2 . 1 log2 = -1, = , 2 ∵ ∴ ∴an=25-n.



log2 1 = 4,

1 = 16.

-12题型一 题型二 题型三

对点训练3 已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和
Sn=pn2+2n,n∈N+. (1)求p的值及an; (2)在等比数列{bn}中,b3=a1,b4=a2+4,若等比数列{bn}的前n项和 1 为Tn,求证:数列 + 为等比数列.
6

(1)解:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即a1+a2=4p+4,∴a2=3p+2. 由已知a2-a1=2,∴p=1,∴an=2n+1.

-13题型一 题型二 题型三

(2)证明:在等比数列{bn}中,b3=a1=3,b4=a2+4=9,∴q= =3. 由 b3=b1· 32,即 3=b1· 32,解得 b1= .
1 3
3

4

∴{bn}是以3为首项,3 为公比的等比数列, ∴Tn=
1 (1-3 ) 3

1

即 Tn+6 = 6· 3 =2· 3n-1.
n

1 -3 1 1 1 6 1 2

= · (3n-1),
6 1
1 6 1 -1 + 6

1

又 T1+ = ,

+

=3,n≥2,n∈N+,
1

∴数列 + 6 是以2为首项,3 为公比的等比数列.

1

-14题型一 题型二 题型三

突破策略二 递推相减化归法 对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题 思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减后, 进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.

例4设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N+),其中 m为常数,且m≠-3. (1)求证:{an}是等比数列; 3 (2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn= f2 (bn1)(n∈N+,n≥2),求证:

1 为等差数列,并求bn.

-15题型一 题型二 题型三

证明 :(1)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得 (3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式相减 ,得 (3+m)an+1=2man, 又 m ≠-3,∴
+1

=

2 (n≥1),∴{an}是等比数列 . +3

(2)由 (3-m)Sn+2man=m+3,得 (3-m)S1+2ma1=m+3,即 a1=1, ∴b1= 1. 又 ∵数列 {an}的公比 q=f(m)=
2-1 , +3 -1 1 1 1 ∴bnbn-1+3bn=3bn-1,∴ ? = 3. -1 1 1 ∴ 是以 1 为首项 ,3为公差的等差数列 , 1 -1 +2 3 ∴ =1+ 3 = 3 ,∴bn= +2.

∴n≥2 时 ,bn=2f(bn-1)=2 ·

3

3

2 , +3

-16题型一 题型二 题型三

对点训练4 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn1,其中λ为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. (1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

-17题型一 题型二 题型三

(2)解:由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3, 解得λ=4. 故an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.

-18题型一 题型二 题型三

题型三非等差、等比数列的求和问题 突破策略一 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,即和式两 边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解. 例5已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 的前n项和.
2

-19题型一 题型二 题型三

解 :(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3. 设数列 {an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= ,从而 a1= . 所以 {an}的通项公式为 an= n+1. (2)设 Sn=
3 4 +1 +2 + + … + + , 2 22 23 2+1 3 4 +1 +2 2 1 2 2 1 2 3 2

的前 n 项和为 Sn,由 (1)知

=

+2 2

+1 ,则

1 Sn= 3 2 2

2+1 2+2 1 3 1 1 两式相减 ,得 Sn= + 3 + … + +1 2 4 2 2 3 1 1 +2 = + 1- -1 ? +2. 4 4 2 2 +4

+

24

+… +

+

.

?

+2 2 +2

所以 Sn=2-

2+1

.

-20题型一 题型二 题型三

对点训练5 已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 的前n项和.
2-1

解 :(1)设等差数列{an}的公差为 d. 1 + = 0, 由已知条件可得 21 + 12 = -10. = 1, 解得 1 = -1. 故数列{an}的通项公式为 an=2-n.

-21题型一 题型二 题型三

(2)设数列

2-1 2 1 2 即 Sn=a1+ +… + -1 ,则 = + +… + . 2 2 2 4 2 2 - - -1 两式相减可得, =a1+ 2 1+…+ - ? 2 2 2 2 1 1 1 1 2- 1 2- =1- + + … + -1 ? =1- 1- -1 ? 2 4 2 2 2 2



的前 n 项和为 Sn,

=

, 2

所以 Sn=

综上 ,数列

2-1 2

.

-1

的前 n 项和 Sn=

2

-1 .



-22题型一 题型二 题型三

突破策略二 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和.利用裂项相消法求和时,要注意抵消后所剩余的项 是前后对称的.

-23题型一 题型二 题型三

例6已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
1 (2)求数列 的前n项和. 2-1 2+1 ( -1) 解 :(1)设 {an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2 3 1 + 3 = 0, 由已知可得 解得 a1=1,d=-1. 5 1 + 10 = -5, 故 {an}的通项公式为 an=2-n.
关闭

(2)由 (1)知 从而数列
1 1 1 2 -1 1

1

2 -1 2 +1 1

=

1

(3-2 )(1-2 )

=

1

1

2 2 -3 2 -1

-

1

,

- + - +…+
1 3

2 -1 2 +1 1 1

的前 n 项和为
1 2 -3 2 -1

-

1

=

1-2

.
答案

-24题型一 题型二 题型三

对点训练6 等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, 2 3 =9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列 的前n项和.
2 2 2 解 :(1)设数列{an}的公比为 q.由3 =9a2a6 得 3 =94 ,所以 q2= . 1 9

由条件可知 q>0,故 q= .
3

1

由 2a1+3a2=1 得 2a 1+3a1q=1, 1 所以 a1= .
3

故数列{an}的通项公式为 an= .
3

1

-25题型一 题型二 题型三

(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=故 =1 1 1 2

( +1) 2 2

.

+

1 2

( +1)

=-2
1

1

+…+ =-2 11

+1 1 2

-

1

, +
1 1 2 3 2 +1

-

+… + .

1

-

1 +1

=-

+1

.

所以数列

的前 n 项和为-

-26-

1.解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利 用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求 解这类问题要重视方程思想的应用;用好等差数列和等比数列的性 质可以降低运算量,减少差错. 2.证明一数列为等差数列或等比数列主要依据定义 ,尽管题目给 +1 出的条件多种多样,但一个总体目标是把条件转化成 与 a n的 差或比为一定值. 3.高考对数列求和的考查主要是:两基本数列的公式求和;能通过 错位相减后转化为等比数列求和;裂项相消法求和.


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