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高三文科数学圆锥曲线导学案

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心

高三数学
授课教师 授课时间 课型 教学目标 教学重点 和难点 参考教材 姚智鑫 2013.01.31 复习

导学案

授课对象 授课题目 使用课时 圆锥曲线 4 课时

1、掌握椭圆、双曲线的第一定义第二定义,掌握抛物线的定义。 2、会运用椭圆、双曲线、抛物线的定义处理选择题填空题。 3、掌握圆锥曲线里的一些重点题型的基本解法。 深层次地理解椭圆、双曲线的第一定义第二定义,掌握抛物线的定义。

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一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 |

F1 F2 | )

的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标 准 方 程
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
B2 y F2 O F1 B1 A2x

P 图 形 A1

y

B2 O F2 B1 A2

x

P A1

F1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a





2b 2 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a
1

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2 2 3. 常用结论: 椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 , F1 的直线交椭圆于 A, B (1) 过 2 2 a b

两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴 a2 b2

的直线交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是

| PQ |?

二、双曲线:
(1) 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
Py F2 B2 O B1 F1 x

P 图 形 F1 A1

y x O A2 F2





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

2

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 (3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 2 2 2 2

a

b

a

b

x y ? ?0。 a b
2 2 x2 y2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; a b a b

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2
2 2 (4)常用结论: (1)双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双 a2 b2

曲线的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对 a2 b2

称 轴 的 直 线 交 双 曲 线 于 P, Q 两 点 , 则 P, Q 的 坐 标 分 别 是

| PQ |?

三、抛物线:
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点在 x 轴上, 开口向左
y 2 ? ?2 px

焦点在 y 轴上, 开口向上

焦点在 y 轴上, 开口向下

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图 形 O

y P x F

P

y

l
x P

y F O x

l
P

F

O

y O F

x

l
顶 点 对称轴 焦 点
p F ( ,0 ) 2

O(0,0)

x轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

离心率 准 线
x?? p 2
x? p 2

e ?1
y?? p 2
y? p 2

3

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| PF |?| x 0 | ? p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦 焦准距

p

四、 弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

? | A|

其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 x 的系数 求弦长步骤: (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的 一 元 二 次 方 程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 由 韦 达 定 理 求 出
2

x1 ? x 2 ? ?

B C , x1 x 2 ? ; (3)代入弦长公式计算。 A A

法(二)若是联立两方程,消去 x,得关于 y 的一元二次方程 Ay2 ? By ? C ? 0, 则相 应 的 弦 长 公 式 是 :

1 1 1 ? | AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A|
注意(1)上面用到了关系式 | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? 和 | A|

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

? | A|

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的 距离) ,但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一 般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法(一)(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; : (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的 一 元 二 次 方 程 Ax ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 由 韦 达 定 理 求 出
2

x1 ? x 2 ? ?

x ? x2 B ; (3)设中点 M ( x0 , y0 ) ,由中点坐标公式得 x 0 ? 1 ;再把 x ? x0 代 A 2

入直线方程求出 y ? y0 。

4

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法(二) :用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上,线 段的中点坐标公式, A、 两点斜率公式, 过 B 列出 5 个方程, 通过相减, 代入等变形, 求出 x0 , y0 。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时,要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)

课后练习:
一、选择题:
2 2 1. 已知动点 M 的坐标满足方程 13 x ? y ?| 12 x ? 5 y ? 12 | , 则动点 M 的轨迹是 (



A. 抛物线 2.设 P 是双曲线

B.双曲线

C. 椭圆

D.以上都不对

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 9 a2

分别是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5 B. 1 或 9

|? 5 ,则 | PF2 |? (
C. 1

) D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 、F 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1
)条

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 2 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? y 2 ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 二、填空题: B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 6.对于椭圆 16 9 7 9
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; 其中正确命题的序号是 ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. .

2 2 7.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为

8、抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是
2

5

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 9、抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小, 则点 Q 的坐 标 10、椭圆 。

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 11.若曲线 a?4 a?5
三、解答题:

.;

12.已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25

2 2 13.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

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14、 求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为 分)

8 3 的双曲线方程. (14 3

15、知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程. (12 分)

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 16、某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、

BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省 工?

17、点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20

圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值。

教师评定:
学生上次作业评价: ○ 好 学生本次上课情况评价: ○ 好 教务主任签字: ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差

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