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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系试题理

2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第 4 讲 直线与 圆、圆与圆的位置关系试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2016·全国Ⅱ卷)圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1, 则
2 2

a=(
4 A.- 3 C. 3

) 3 B.- 4 D.2
2 2

解析 由圆的方程 x +y -2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式 |1×a+4-1| 4 得 d= =1,解之得 a=- . 2 3 1+a 答案 A 2.(2017·长春模拟)过点(3,1)作圆(x-1) +y =r 的切线有且只有一条,则该切线的方 程为( ) B.2x+y-7=0 D.x-2y-7=0
2 2 2 2 2 2 2

A.2x+y-5=0 C.x-2y-5=0 解析
2

∵过点(3,1)作圆(x-1) +y =r 的切线有且只有一条,∴点(3,1)在圆(x-1)
2

+y =r 上, 1-0 1 ∵圆心与切点连线的斜率 k= = , 3-1 2 ∴切线的斜率为-2, 则圆的切线方程为 y-1=-2(x-3),即 2x+y-7=0.故选 B. 答案 B 3.已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是 ( ) B.-4 D.-8
2 2 2 2

A.-2 C.-6

解析 将圆的方程化为标准方程为(x+1) +(y-1) =2-a,所以圆心为(-1,1),半径

r= 2-a,圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d=
-2=4,所以 a=-4,故选 B. 答案 B

|-1+1+2| 2 2 = 2,故 r -d =4,即 2-a 2

1

4.圆 x +2x+y +4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点共有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

2

2

)

|-1-2+1| 2 2 解析 圆的方程化为(x+1) +(y+2) =8, 圆心(-1, -2)到直线距离 d= = 2 2,半径是 2 2,结合图形可知有 3 个符合条件的点. 答案 C 5.(2017·福州模拟)过点 P(1,-2)作圆 C:(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,
2 2

B,则 AB 所在直线的方程为(
A.y=- C.y=- 3 4 3 2
2 2

) 1 B.y=- 2 1 D.y=- 4
2 2

解析 圆(x-1) +y =1 的圆心为(1,0),半径为 1,以|PC|= (1-1) +(-2-0) =2 为直径的圆的方程为(x-1) +(y+1) =1, 1 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y+1=0,即 y=- . 故选 B. 2 答案 B 二、填空题 6.(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线 l:x- 3y+6=0 与圆 x +y =12 交于 A,B 两点,过 A,
2 2 2 2

B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,则|CD|=________.
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?
2

?x- 3y+6=0, ?x2+y2=12,

得 y -3 3y+6=0,解得 y1= 3,y2=2 3, ∴A(-3, 3),B(0,2 3). 过 A,B 作 l 的垂线方程分别为

y- 3=- 3(x+3),y-2 3=- 3x,令 y=0,
得 xC=-2,xD=2,∴|CD|=2-(-2)=4. 答案 4 7.(2017·兰州月考)点 P 在圆 C1:x +y -8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x +y +4x+ 2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是________. 解析 把圆 C1、圆 C2 的方程都化成标准形式,得 (x-4) +(y-2) =9,(x+2) +(y+1) =4. 圆 C1 的圆心坐标是(4,2),半径长是 3;圆 C2 的圆心坐标是(-2,-1),半径是 2.
2 2 2 2 2 2 2 2

2

圆心距 d= (4+2) +(2+1) =3 5. 所以,|PQ|的最小值是 3 5-5. 答案 3 5-5 8.(2017·贵阳一模)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3) +y =1 引切线,则切线长的最 小值为________. 解析 设直线上一点为 P,切点为 Q,圆心为 M,则|PQ|即切线长,MQ 为圆 M 的半径,长 度为 1,|PQ|= |PM| -|MQ| = |PM| -1. 要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小距 离. 设圆心到直线 y=x+1 的距离为 d, 则 d=
2 2 2 2 2 2 2

2

2

|3-0+1| 1 +(-1)
2

2

=2 2.所以|PM|的最小值为 2 2.

所以|PQ|= |PM| -1≥ (2 2) -1= 7. 答案 7

三、解答题 9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) +(y-3) =1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM·ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2,3),半径 r=1,
2 2

由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1, 因为 l 与 C 交于两点,所以 4- 7 4+ 7 解得 <k< . 3 3 所以 k 的取值范围为? |2k-3+1| <1. 2 1+k

?4- 7 4+ 7? , ?. 3 ? ? 3
2 2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2) +(y-3) =1,整理得 (1+k )x -4(1+k)x+7=0. 4(1+k) 7 所以 x1+x2= ,x1x2= 2 2. 1+k 1+k
2 2

OM·ON=x1x2+y1y2
4k(1+k) 2 =(1+k )x1x2+k(x1+x2)+1= +8. 2 1+k

→ →

3

4k(1+k) 由题设可得 +8=12, 2 1+k 解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上,所以|MN|=2. 10.已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.
? ?y=kx+1, 法一 (1)证明 由? 2 2 ?(x-1) +(y+1) =12, ?
2 2

消去 y 得(k +1)x -(2-4k)x-7=0, 因为 Δ =(2-4k) +28(k +1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|= 1+k |x1-x2| =2 8-4k+11k =2 2 1+k
2 2 2 2

2

2

4k+3 11- 2, 1+k

4k+3 2 令 t= 2 ,则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4 所以 Δ =16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 7. 2 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 1+k 法二 (1)证明 因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1),而|PC|= 5<2 3=R, 所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.所以 不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦,只有与 PC(C 为圆心)垂直时才最短, 而此时点 P(0,1)为弦 AB 的中点,由勾股定理,知|AB|=2 12-5=2 7,即直线 l 被圆

C 截得的最短弦长为 2 7.
能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2017·衡水中学月考)两圆 x +y +2ax+a -4=0 和 x +y -4by-1+4b =0 恰有三 1 1 条公切线,若 a∈R,b∈R 且 ab≠0,则 2+ 2的最小值为(
2 2 2 2 2 2

a

b

) 4 D. 9
4

A.1

B.3

C.

1 9

解析 x +y +2ax+a -4=0,即(x+a) +y =4,x +y -4by-1+4b =0,即 x +(y- 2b) =1.依题意可得,两圆外切,则两圆圆心距离等于两圆的半径之和, 则 a +(2b) =1+2=3,即 a +4b =9, 1 1 ? 1 1 ??a +4b ? 1? a 4b ? 1? 所以 2+ 2=? 2+ 2?? ?= ?5+ 2+ 2 ?≥ ?5+2 a b ?a b ?? 9 ? 9? b a ? 9?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a2 4b2 a2 4b2? 2· 2 ?=1,当且仅当 2= 2 , b a b a ?

即 a=± 2b 时取等号. 答案 A 12.(2015·山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 ) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4
2 2

解析 由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的 对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所 在直线的方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有 d= |-3k-2-2k-3| 4 3 =1,解得 k=- 或 k=- ,故选 D. 2 3 4 k +1 答案 D 13.已知曲线 C:x=- 4-y ,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0),存在 C 上的点 P 和 l → → 上的点 Q 使得AP+AQ=0,则 m 的取值范围为________. 解析 曲线 C:x=- 4-y ,是以原点为圆心,2 为半径的半圆,并且 xP∈[-2,0],对 → → 于点 A(m,0),存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得AP+AQ=0, 说明 A 是 PQ 的中点,Q 的横坐标 x=6, 6+xP ∴m= ∈[2,3]. 2 答案 [2,3] 14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相切, 圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方. (1)求圆 C 的方程; (2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A,B 两点(A 在 x 轴上方),问在 x 轴正半轴上是否存 在定点 N,使得 x 轴平分∠ANB?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 5? |4a+10| ? (1)设圆心 C(a,0)?a>- ?,则 =2? a=0 或 a=-5(舍). 2? 5 ?
2 2 2 2

所以圆 C 的方程为 x +y =4.
5

(2)当直线 AB⊥x 轴时,x 轴平分∠ANB. 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,

y2),
? ?x +y =4, 2 2 2 2 由? 得(k +1)x -2k x+k -4=0, ?y=k(x-1), ?
2 2

所以 x1+x2=

2k k -4 ,x1x2= 2 . k2+1 k +1

2

2

若 x 轴平分∠ANB,则 kAN=-kBN?
2

y1 y2 k(x1-1) k(x2-1) + =0? + =0? 2x1x2 x1-t x2-t x1-t x2-t
2

-(t+1)(x1+x2)+2t=0?

2(k -4) 2k (t+1) - +2t=0? t=4,所以当点 N 为(4, k2+1 k2+1

0)时,能使得∠ANM=∠BNM 总成立.

6


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