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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题6.4 数列求和(讲)

第 04 节 数列求和 【考纲解读】 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 1.高频考向:等差数列与等比数 列综合确定基本量,利用“裂项 相消法” “错位相减法”等求和. 2016 浙江文 17 数列求和 n 项和公式及其应用. 2014 浙江文 19;理 19; 2013 浙江文 19;理 18. 3.特别关注: (1)灵活选用数列求和公式的 形式,关注应用公式的条件; (2)熟悉分组求和法、裂项相 消法及错位相减法. 【知识清单】 一.数列求和 1. 等差数列的前 n 和的求和公式: S n ? 2.等比数列前 n 项和公式 一般地,设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?的前 n 项和是 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,当 q ? 1 时, 2.低频考向:简单的等差数列、 掌握等差数列、 等比数列前 2015 浙江文 17;,理 20; 等比数列求和.. n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2 Sn ? a1 (1 ? q n ) a ? an q 或 Sn ? 1 ;当 q ? 1 时, S n ? na1 (错位相减法). 1? q 1? q 3. 数列前 n 项和 ①重要公式: (1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? k ?1 n n( n ? 1) 2 2 (2) ? (2k ? 1) ? 1 ? 3 ? 5 ??? ? 2n ?1? ? n k ?1 n 3 n ?1 ? (3) ? k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? k ?1 ?2 ? 3 3 3 2 2 2 2 (4) ? k 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? k ?1 n 2 1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 ②等差数列中, Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd ; ③等比数列中, Sm?n ? Sn ? qn Sm ? Sm ? qmSn . 对点练习: 1.【2017 课标 1,理 4】记 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和.若 a4 ? a5 ? 24 , S6 ? 48 ,则 {an } 的公差为 A.1 【答案】C B.2 C.4 D.8 2. 已知 ?an ? 为正项等比数列, 若 a1 ? 16 , 且 a 4 与 a 7 的等差中项为 Sn 是它的前 n 项和, A.29 【答案】B B.31 C.33 D.35 9 , 则 S5 的值 ( 8 ) 【解析】 由题意得 a4 +a7 = 9 9 1 1 3 6 ? q 3 ? (舍去负值) ? q ? , , 因此 q +q = 因此 S5 ? 4 64 8 2 16(1 ? 1 ) 25 ? 31. 1 1? 2 选 B. 【考点深度剖析】 数列求和是高考重点考查的内容之一,命题形式多种多样,以解答题为主,难度中等或稍难,数列求 和问题为先导,在解决数列基本问题后考查数列求和,在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考 查等差数列的求和多于等比数列的求和,往往在此基础上考查“裂项相消法” 、 “错位相减法”. 【重点难点突破】 考点 1 数列求和 【1-1】 已知 ?an ? 是递增的等差数列, 则数列 ? a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根, 2 ? an ? 的前 n 项和 n ? ?2 ? . 【答案】 S n ? 2 ? n?4 2n ?1 【1-2】 【2017 届浙江嘉兴市高三上基础测试】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 ,且 S n ? tan ? 其中 n ? N * . (1)求实数 t 的值和数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? log3 a2 n ,求数列 { 1 , 2 1 } 的前 n 项和 Tn . bnbn?1 【答案】 (1) t ? 【解析】 1? 1 ? n 3 , a n ? 3 n ?1 ; (2) ?1 ? . ?? 2 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 试题分析:(1)由 an ? Sn 可得 t ? 3 , n ? 2 时由 an ? Sn ? Sn?1 得数列 ?an ? 为首项为 1 ,公比为 3 的等比 2 数列,可得通项公式;(2)化简 bn ? 2n ? 1,则 项和. 试题解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? ta1 ? 1 1 1 1 ? ( ? ) ,用裂项相消求和,可得前 bnbn ?1 2 2n ? 1 2n ? 1 3 1 3 1 ,得 t ? ,从而 S n ? a n ? , 2 2 2 2 1? ? 3 1? ?3 则 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ? a n ? ? ? ? a n ?1 ? ? 得 a n ? 3a n?1 2? ? 2 2? ?2 a 又 a1 ? 0 得 n ? 3 ,故数列 ?a n ? 为等比数列,公比为 3,首项为 1. a n ?1 ∴ a n ? 3 n ?1 (2)由(1)得 ∴ 得 ? a 2 n ? 3 2 n ?1 得 b n ? 2n ? 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bn bn ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? Tn ? 1? 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1 【领悟技法】 1.公式法:如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等 差、等比数列的前 n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正

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