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文科数学试卷


武汉市部分高中 2013 届 12 月月考

数学(文史类)
本试题卷共 8 页,六大题 22 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答 在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 (学数学能提高能力,能使人变得更加聪明) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. i
2013

的值为(

) B.i ) B. ?x ? R , x 2 ? 0
2

A.1

C.-1

D.-i

2.命题“ ?x ? R , x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x 2 ? 0
2

C. ?x ? R , x ? 0 D. ?x ? R , x ? 0 3. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( ) A.3 B.4 ) 1 侧视图 B. 7?
主视图

C.5

D.6

4.已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如下图所示, 则这个几何体的体积是( 4 正 视 图 A. 8? 5.已知幂函数 f ( x) ? x

3

俯视图
主视图

C. 2?

`D.

7? 4


2? m

是定义在区间 [?1, m] 上的奇函数,则 f (m ? 1) ? ( 高三数学试卷第 1 页 共4 页

A.8

B.4

C.2

D.1

6.已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2 x ? y ? 0 和 x ? ay ? 0 上,且 AB 线段的中点 为 P (0,

10 ) ,则线段 AB 的长为( a



A.11 B.10 C.9 D.8 * 7.已知数列{ an }满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 (n ?N ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 log 1( a5 ? a7 ? a9 )
3

的值是( A. ?

) B. ?5
?? ? 2 ?? ? 2 ?? ?

1 5

C.5
?? ?

D.

1 5


8. ?ABC 中,设 AC ? AB ? 2 AM ? BC ,那么动点 M 的轨迹必通过 ?ABC 的( A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 )

9. ?ABC 中,三边长 a , b , c 满足 a3 ? b3 ? c3 ,那么 ?ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.以上均有可能

? x 2 ? bx ? c , x ? 0 10.设函数 f ( x) ? ? ,若 f (4) ? f(0) , f (2) ? 2 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的 ,x ? 0 ?1
零点的个数是( A.0 ) B.1 C.2 D.3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1—50 号,并分组,第一组 1—5 号,第二组 6—10 号,??,第十组 46 —50 号, 若在第三组中抽得号码为 12 的学生, 则在第八组中抽得号码为___ 学生. 的

12.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列, 1 2 则 a ? b ? c 的值为________________. 0.5 1 1 1 ?x 13.已知 A ? {x | ? 2 ? } , B ? {x | log2 ( x ? 2) ? 1} ,则 a 8 2 b A ? B ? ________________. c 14. 过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角 30 的直线,与抛 物线交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧) ,则 ___________. 15.三棱锥 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别
2
0

D H G C E B F

AF BF

的值是

A

高三数学试卷第 2 页

共4 页

是 CB、CD 的中点,若 AC+BD=3,AC· BD=1,则 EG2 +FH2 =___________.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 16. 设 x, y 满足的约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函数 z=abx+y 的最大值为 8, 则 a+b 的最小 ? x ? 0, y ? 0 ?
值为 .(a、b 均大于 0)
2 2

17. 如图所示, C 是半圆弧 x +y =1(y≥0)上一点, 连接 AC 并延长至 D, 使|CD|=|CB|, 则当 C 点在半圆弧上从 B 点移动至 A 点时, D 点的轨迹是_______的一部分,D 点所经过的 路程为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,请在答题卡上给出详细的解答过程. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x cos x . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x ? 2 ,求 f ( x ) 的值.

19. (本小题满 12 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级, 等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5. 现 从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 频率 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, a, 求 b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1 ,x2 ,x3 ,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1 ,y2 ,现从 x1 ,x2 ,x3 ,y1 ,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取 出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

E 20. (本小题满分 13 分)在如图所示的多面体 ABCDE B 高三数学试卷第 3 页 共4 页 A F D

C

中,AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD, 且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值. BF∥ 平面 ACD,并证明这一事实;

21. (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 =1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别为等比数列 ?bn ? 的第 2 项、第 3 项、第 4 项。 (1)求数列 ?an ?与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列{ cn }对 n ? N 均有
?

c1 b1

+

c c2 +?+ n = an ?1 成立,求 c1 + c 2 c3 +?+ c2012 。 b2 bn

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f (x) 的解析式; (2) 若对于区间[?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 , 都有| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c , 求实数 c 的 最小值; (3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

武汉市部分高中2013届12月月考数学(文)参考答案 一.选择题
高三数学试卷第 4 页 共4 页

B D B D A 二.填空题
11.37 15.

B B C A C
12.1 16.4 13. {x |1 ? x ? 4} 17.圆 14.

1 3

7 2

2? .

三.解答题
1 2? 18. 解答: (1)已知函数 f ( x) ? 1 ? sin 2x ,∴T ? ?? , 2 2
令 ??????3 分

3? ? 3? ? 2k? ,则 ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) , 2 2 4 4 ? 3? ? k? ](k ? Z) ; 即函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k? , ??????6 分 4 4 ? 2 k? ? 2 x ?
sin2 x ? sin x cos x ? cos2 x tan2 x ? tan x ? 1 , ? sin2 x ? cos2 x tan2 x ? 1 22 ? 2 ? 1 7 ∴ tan x ? 2 时, y ? 当 ? . 5 22 ? 1 19.解答: (1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35
(2)由已知 y ? 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 ??????9 分 ??????12 分 ?????1 分

?

3 =0.15???3 分 20

2 =0.1 20

?????4 分

c=0.1

?????6 分

( 2 ) 从 日 用 品 X 1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中 任 取 两 件 , 所 有 可 能 结 果 (

X1

,

X2

),(

X1

,

X3

),(

X1

,

Y1

),(

X1

,

Y2

),

( X 2 , X 3 ) ,( 种,

X 2 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),( X 3 , Y1 ),( X 3 , Y2 ),( Y1 , Y2 ) 共 10
?????9 分

设事件 A 表示“从日用品 X 1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中任取两件,其等级系数相等” ,则 A 包含的基 本事件为( X 1 , X 2 ),( X 1 , X 3 ),( X 1 , X 2 ),( Y1 , Y2 )共 4 个, 故所求的概率 P(A)= ?????11 分 ?????12 分

4 =0.4 10

20.解答:如图, (1)由已知 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

高三数学试卷第 5 页

共4 页

// 1 // 连接 FH,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

?????2 分

2

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD, ? BF // 平面 ACD;?????4 分 (2)取 AD 中点 G,连接 CG.. AB ? 平面 ACD, ∴CG ? AB 又 CG ? AD ∴CG ? 平面 ABED, 高, CG= 3 ?????5 分 E 即 CG 为四棱锥的 B F

?????7 分

1 (1 ? 2) ? ? 2 ? 3 = 3 . ?????8 分 3 2 (3)连接 EG,由(2)有 CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角, ???10 分 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中,
∴VC ? ABED = 有 sin ? ?

A

G H C

D

CG 3 6 . ? ? CE 2 2 4
2

?????13 分 ???1分 ????3分

21 .解答:(1)由已知得 a2 =1+d, a5 =1+4d, a14 =1+13d,

? (1 ? 4d ) =(1+d)(1+13d), ? d=2, an =2n-1 又 b2 = a2 =3, b3 = a5 =9 ? 数列{ bn }的公比为3,

bn =3 ? 3n? 2 = 3n?1 .
c c2 +?+ n = an ?1 bn b1 b2 c 当n=1时, 1 = a2 =3, ? c1 =3 b1 c c c 当n>1时, 1 + 2 +?+ n ?1 = an bn?1 b1 b2 c (1)-(2)得 n = an ?1 - an =2 bn
(2)由 +

?????6分 (1) ?????8分 (2) ?????9分 ?????10分

c1

? cn =2 bn =2 ? 3n?1 对 c1 不适用 ? 3 n ?1 ? cn = ? n ?1 ?2?3 n ? 2 ? c1 ? c2 ? c3 ? ? c2012 =3+2 ? 3+2 ? 32 +?+2 ? 32011
2 =1+2 ? 1+2 ? 3+2 ? 3 +?+2 ? 3
2011

?????12分

=1+2 ?

1 ? 32012 2012 = 3 . ?????14分 1? 3
????1 分

22.解答: (1)? f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3
2

根据题意,得 ?

? f (1) ? ?2, ? f ?(1) ? 0,

即?

?a ? b ? 3 ? ?2, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,
共4 页

高三数学试卷第 6 页

?a ? 1, ? f ( x) ? x 3 ? 3x. b ? 0. ? (2)令 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 f(-1)=2, f(1)=-2, f (?2) ? ?2, f (2) ? 2
解得 ?

????3 分

?当x ? [?2, 2] 时, f ( x)max ? 2, f ( x)min ? ?2. 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x)max ? f ( x)min |? 4 所以 c ? 4. 所以 c 的最小值为 4。 3 (3)设切点为 ( x0 , y0 ), 则y0 ? x0 ? 3x0 2 2 ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3 , ? 切线的斜率为 3x0 ? 3.
2 则 3x0 ? 3 ?

????5 分

????7 分 ????8 分

x ? 3x0 ? m x0 ? 2
3 0

3 2 即 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 ,

????9 分

因为过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线
3 2 所以方程 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解

即函数 g ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? 6 ? m 有三个不同的零点, 则 g ?( x) ? 6x ? 12x.
2

????10 分

令 g ?( x) ? 0, 解得x ? 0或x ? 2. x 0 (??, 0)

(0,2) —

2 0 极小值

(2,+∞) +

g ?( x ) g ( x)

+

0 极大值

????12 分

? g (0) ? 0 ?? ? g (2) ? 0

即?

?6 ? m ? 0 ,∴ ? 6 ? m ? 2 ?m ? 2 ? 0

????14 分

高三数学试卷第 7 页

共4 页


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