当前位置:首页 >> 数学 >>

华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第一章)第四讲:函数的单调性


第四讲

函数的单调性

教学目的:理解函数单调性的概念,掌握判断函数单调性的方法及几种常见类型; 教学重点:理解函数单调性的概念,会用函数单调性解决有关的问题. 教学难点:用函数的单调性解决有关问题.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

【知识概要】
知识点 1 函数单调性的定义 ① 如果函数 f ?x ? 对区间 D 内的任意 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ?,则 f ?x ? 在 D 内是增 函数;当 x1 ? x 2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则 f ?x ? 在 D 内时减函数。 则 y ? f ( x) 为 x ? D 的减函数. 指出: (1)单调性的定义①的等价形式:设 x1 , x2 ? ?a, b? ,那么 ② 设函数 y ? f ( x) 在某区间 D 内可导, f ? ? x ? ? 0 , y ? f ( x) 为 x ? D 的增函数; f ? ? x ? ? 0 , 若 则 若

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ?在 ? a, b? x1 ? x2

是增函数;

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? 在 ? a, b? 是减函数; ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0 ? f ( x) 在 ? ? x1 ? x2

? a, b? 是减函数。
(2)单调性的定义①是充要性命题.即若 f ( x ) 在区间 D 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D );若 f ( x ) 在区间 D 上递递减且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 .( x1 , x2 ? D ). (3)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;必须是对于区间 D 内的任 意两个自变量 x1、x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论。 要特别强调定义域) ( 函数 y=f(x)在给定区间上的单调性, 反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体 性质。函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制 (4)图象的特点:如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 知识点 2 证明函数单调性的一般方法(定义法)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 并判断正负号,然后下相关的结论
’ ( 若 f (x) 在某个区间 A 内有导数,则 f ( x) ? 0,x ? A) ? f (x) 在 A 内为增函数;

f ’ x) ? 0,(x ? A) ? f (x) 在 A 内为减函数 (

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

知识点 3 复合函数及复合函数的单调性 1. 如果 y 是 u 的函数,而 u 又是 x 的函数,即 y=f(u),u=g(x),那么 y 关于 x 的函数 y=f[g(x)]叫做函 数 f 和 g 的复合函数,u 叫做中间变量. 若 f(u)的定义域是集合 A,g(x)的值域是集合 B,当且仅当 A ? B 时,复合函数 f[g(x)]的定义域是 g(x) 的定义域. 2. 对于函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) ,如果 u ? g (x) 在区间 ( a, b) 上是具有单调性,当 x ? (a, b) 时,

u ? (m, n) ,且 y ? f (u ) 在区间 (m, n) 上也具有单调性,则复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 具有单调
第四讲 函数的单调性 1

性的规律见下表:

y ? f (u )

增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘

减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

u ? g (x)
y ? f ( g ( x))

以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. 证:① 设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g (x) 在 ( a, b) 上是增函数,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) .∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上 是 增 函 数 , ∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所 以 复 合 函 数

y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是增函数。
② 设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g (x) 在 ( a, b) 上是增函数,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ,∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上 是 减 函 数 , ∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所 以 复 合 函 数

y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是减函数。
③ 设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g (x) 在 ( a, b) 上是减函数,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ,∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上 是 增 函 数 , ∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所 以 复 合 函 数

y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是减函数。
④ 设 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x2 ,∵ u ? g (x) 在 ( a, b) 上是减函数,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 且 g ( x1 ), g ( x2 ) ? (m, n) ,∵ y ? f (u ) 在 (m, n) 上 是 减 函 数 , ∴ f ( g ( x1 )) ? g ((x2 )) . 所 以 复 合 函 数

y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 上是增函数。
知识点 4 判断函数单调性的一般方法 判断函数的单调性的方法有: (1)用定义; (2)利用函数的导数; (3)图象法; (4)用已知函数的单调性; (5)复合函数的单调性:复合函数 y ? f ?g (x)? 在公共定义域上的单调性: 如果函数 u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数 y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)]) 上也是单调函数,那么 若 u=g(x), y=f(u)增减性相同, 则复合函数 y=f[g(x)]为增函数; u=g(x), f(u)增减性不同, y=f[g(x)] 若 y= 则 为减函数
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(6)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. (7)互为反函数的两个函数具有相同的单调性.
第四讲 函数的单调性 2

(8)如果 f ( x ) 在区间 D 上是增(减)函数,那么 f ( x ) 在 D 的任一非空子区间上也是增(减)函数; (9)在公共定义域内,增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 (10) 函数 y ? ax ? 是单调递减。

? ? ? b ? ? b b? ? b b? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ??, ? 在 ? ,? , ?? ? 上单调递增; ? ? , 0 ? ,? 0, ? 上 ? ? ? ? x a? ? a a? ? ? ? a ? ?

【基础题典例解析】
例 1(单调性的证明) 设 a ? 0 , f ( x) ? (1)求 a 的值;

ex a ? 是 R 上的偶函数 a ex

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 1 1 ex a x ? x ,∴ (a ? )(e x ? x ) ? 0 解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (?x) ? f (x) ,即 x ? ae ? a e ae a e
对一切 x ? R 成立,则 a ?

1 ? 0 ,∴ a ? ?1 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 a 1 1 x x (2)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e 1 ? e 2 ? x ? x 1 e e2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? (e x2 ? e x1 )(

1 e x1 ? x2

? 1) ? e x1 (e x2 ? x1 ? 1)

1 ? e x2 ? x1 x ?x ,由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0, e 2 1 ?1 ? 0 , e x2 ? x1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

1 ? e x2 ? x1 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数
方法二:∵ a ? 1 , x ? (0, ??) ,∴ f ?( x) ? (e ?
x
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 1 (e x ) 2 ? 1 )? ? e x ? x ? ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) ex e ex

上为增函数 例 2 (求复合函数的单调区间) (1)求函数 f(x)=loga(4+3x-x2)(a>0 且 a≠1)的单调区间;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

(2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) ,试确定 g ( x) 的单调区间和单调性
2 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解: (1)函数 y=loga(4+3x-x2)的定义域为-1<x<4。令 μ=4+3x-x2=-(x递增,在区间[

3 2 25 3 )+ 。μ 在(-1, ] 上单调 2 4 2

3 ,4 ) 上单调递减。 2

3 3 ] 上单调递减,在[ ,4 ) 上单调递增。 2 2 3 3 当 a>1 时,函数 y=logaμ 在(-1, ] 上单调递增,在[ ,4 ) 上单调递减。 2 2
当 0<a<1 时,函数 y=logaμ 在(-1,
第四讲 函数的单调性 3

(2)g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x2 ) ? (2 ? x2 )2 ? ? x ? 2 x ? 8 ,g ?( x) ? ?4 x3 ? 4 x , 令 g ?( x) ? 0 , x ? ?1 得
4 2

或 0 ? x ? 1 , 令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 , ∴ 单 调 增 区 间 为 (??, ?1), (0,1) ; 单 调 减 区 间 为

(1, ??), (?1, 0)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

方法二:可用(初等数学)复合函数单调性求解。 指出:讨论复合函数单调性的步骤是: ① 求复合函数的定义域; (讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则) ② 把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性; ③ 依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间. 例 3 (抽象函数的单调性) 1 ? 0 ,又 g ( x) ? f ( x) ? c(c 为常数)在[a, b](a<b)上是 已知函数 f (x) 的定义域为 R,且满足 f ( ? x ) ? f ( x) 单调递减函数,判断并证明 g (x) 在 [ ?b , ? a ] 上的增减性。 证:设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 b ? ? x1 ? x2 ? ?a ,∵ g (x) 在[a, b]上为减函数,∴ g (? x1 ) ? g (? x2 ) , ∴ g (? x1 ) ? g (? x2 ) ? 0 .而 g (? x1 ) ? g (? x2 ) ? f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? 又 f (? x) ?
f ( x2 ) ? f (? x1 ) 1 1 ? ? ?0 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )

1 ? 0 ,∴ f ( x1) ? 0 ,同理 f ( x 2 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x)

于是 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ g (x) 在 [ ?b , ? a ] 上也是减函数。 例 4 (函数方程中的单调性) 已知函数 f (x) 定义域是 (0, ??) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)求 f (1) ; (2)证明 f (x) 在定义域上是增函数;

(3)如果 f ( ) ? ?1 ,求满足不等式 f ( x) ? f (

1 3

1 ) ? 2 的 x 的取值范围。 x?2

解: (1)令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? 2 f (1) ,故 f (1) ? 0 . (2)令 y ?

1 1 1 ,得 f (1) ? f ( x) ? f ( ) ? 0 ,故 f ( ) ? ? f ( x ) .任取 x1 , x2 ? (0,??), 且x1 ? x2 ,则 x x x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (
(0,??) 上是增函数.

x x x 1 ) ? f ( 2 ) .由于 2 ? 1 ,故 f ( 2 ) ? 0 ,从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) .? f (x) 在 x1 x1 x1 x1

(3)由于 f ( ) ? ?1 ,而 f ( ) ? ? f (3) ,故 f (3) ? 1 .在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中,令 x ? y ? 3 ,得

1 3

1 3

f (9) ? f (3) ? f (2) ? 2 .又 ? f (

1 ) ? f ( x ? 2) ,故所给不等式可化为 f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (9) ,即 x?2

第四讲

函数的单调性

4

? x ? 0, ? f [ x( x ? 2)] ? f (9) .? ? x ? 2 ? 0, 解得 x ? 1? 10 .? x 的取值范围是 [1 ? 10,??) . ? x( x ? 2) ? 9 ?
例 5 (求参数的取值范围) 函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,求 a 的取值范围

a x

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解:分析:由函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数可以得到两个信息: ①对任意的 1 ? x1 ? x2 , 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ②当 x ? 1 时, x ? 8 ?

a x

a ? 0 恒成立 x

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∵函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,∴对任意的 1 ? x1 ? x2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 log9 ( x1 ? 8 ?

a x

a a a a a ) ? log9 ( x2 ? 8 ? ) ,得 x1 ? 8 ? ? x2 ? 8 ? ,即 ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? 0, x1 x2 x1 x2 x1 x2 a ? 0, x1 x2 a ? ?1, x1 x2
a x

∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ 1 ?

a ? ? x1x2 ,∵ x2 ? x1 ? 1 ,∴要使 a ? ? x1x2 恒成立,只

要 a ? ?1 ;又∵函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,即 a ? 9 ,综上 a 的 取值范围为 [?1,9)
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a a ,函数 f ( x) ? log 9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数, x x a a a ∴ g ( x ) ? x ? 8 ? 在 [1, ??) 上是增函数, g ?( x ) ? 1 ? 2 ,∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,且 1 ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒 x x x 成立,得 ?1 ? a ? 9
方法二: (用导数求解)令 g ( x ) ? x ? 8 ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

【综合题典例解析】
例1 设函数 f(x)= x 2 ?1 ? ax ,其中 a>0.

(1)解不等式 f(x)≤1; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞ ) 上是单调函数。 解: (1)不等式 f(x)≤1,即 x 2 ? 1 ≤1+ax,∴1≤1+ax,即 ax≥0.其中常数 a>0,∴x≥0.∴原不等

? x 2 ? 1 ? (1 ? ax) 2 , ?(a 2 ? 1) x ? 2a ? 0, 2a 式等价于 ? 即? ∴当 0<a<1 时,原不等式解集为{x|0≤x≤ }; 1? a2 x ? 0. x ? 0. ? ?
当 a≥1 时,原不等式解集为{x|x≥0}.
2 2 (2)在区间[0,+∞ ) 上任取 x1,x2,并且 x1<x2。∵f(x1)-f(x2)= x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? a( x1 ? x2 )
2 x12 ? x 2 2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1

=

? a( x1 ? x 2 ) = ( x1 ? x2 )(

x1 ? x2
2 2 x1 ? 1 ? x2 ? 1

? a) . ∵

x1 ? x 2
2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1

<1,且 a≥1,

第四讲

函数的单调性

5



x1 ? x 2
2 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

? a ? 0 .又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴当 a≥1 时,函数 f(x)在区间

[0,+∞ ) 上是单调递减函数。 例2 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a .

(1)若存在实数 x ,使 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f ( x) ,且 g (x) 在区间 ?0,1? 上递增,求实数 a 的取值范围. 解: (1)若存在实数 x ,使 f ( x) ? 0 ,则 ? ? 0,? a2 ? 4a ? 0,? a ? ?4 或 a ? 0. (2) g (x) = ( x ? ) 2 ? a ?

a 2

a a2 ,对称轴 x ? .若 g ( x) ? f ( x) ,且 g (x) 在区间 ?0,1? 上递增, 则: 2 4

?? ? 0 ? ① ?a ,解之得 ?4 ? a ? 0 . ?0 ?2 ?
② 当 a ? ?4 时, x ?

?x x ? 0 ? x1 ? 0 a ? ?2 ,此时 ? 1 2 ,? ? , 满足题设,∴ a ? ?4 为所求. 2 ? x1 ? x2 ? 0 ? x2 ? 0 ?x x ? 0 ? x1 ? 0 a ? 0 .此时 ? 1 2 ,? ? , x2 ? x1 . 要满足条件,则 2 ? x1 ? x2 ? 0 ? x2 ? 0

③ 同理, 当 a ? 0 时, x ?

a ? 1,? a ? 2 . 2
综上所述, a ? 0 或 a ? 2 为所求. 例3 定义在(-1,1)上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x,y∈(-1,1),都有 f ( x ) + f ( y ) = f (

x? y ). 1 ? xy

(1)求证:函数 f ( x ) 是奇函数; (2)若当 x∈(-1,0)时,有 f ( x ) >0,求证: f ( x ) 在(-1,1)上是减函数.

解: 函数 f(x)的定义域是(-1, 由 f(x)+f(y)=f( (1) 1),

x? y 0?0 ), x=y=0,得 f(0)+f(0)=f( 令 ), ∴f(0)=0. 1? 0 1 ? xy

令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f(

x?x )=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 1? x2

(2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减,令 0<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1 ? x2 x ? x1 )=f( ? 2 ) 1 ? x1 x 2 1 ? x1 x2

第四讲

函数的单调性

6

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴

x2 ? x1 >0.又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0, 1 ? x1 x 2

∴0<x2-x1<1-x1x2.∴-1< ?

x2 ? x1 x ? x1 <0.由题意知 f( ? 2 )>0,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,1)上为减函 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

数,又 f(x)为奇函数,∴f(x)在(-1,1)上也是减函数. 例 4 已知函数 f(x)是 R 上的增函数,设 F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函数单调性定义证明 F(x)是 R 上的增函数; (2)证明函数 y=F(x)的图象关于点(

a ,0)成中心对称图形. 2

解: (1)设 x1、x2∈R,且 x1<x2.则 F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)] =[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].又∵函数 f(x)是 R 上的增函数,x1<x2,∴a-x2<a-x2. ∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是 R 上的增函数. (2) 设点 M(x0,F(x0))是函数 F(x)图象上任意一点, 则点 M(x0,F(x0))关于点(

a ,0)的对称点 M′(a-x0,-F(x0)). 2

又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))=f(a-x0)-f(x0)=-[f(x0)-f(a-x0)]=-F(x0), ∴点 M′(a-x0,-F(x0))也在函数 F(x)图象上,又∵点 M(x0,F(x0))是函数 F(x)图象上任意一点,∴函数 y=F(x) 的图象关于点( 例5 有

a ,0)成中心对称图形. 2

已知函数 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m, n∈[-1, 1],m+n≠0 时,

f ( m) ? f ( n ) ? 0. m?n
(1)求证:f(x)在[-1,1]上是增函数; (2)若 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1, 1], a∈[-1, 1]恒成立,求实数 t 的取值范围。 解: (1)任取-1≤x1<x2≤1,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f ( x1 ) ? f (? x2 ) · 1-x2)。 (x x1 ? x 2

∵-1≤x1<x2≤1, ∴x1-x2<0。由已知

f ( x1 ) ? f (? x2 ) >0,∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数。 x1 ? x 2

(2)由上知 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(1)=1,故对 x∈[-1, 1],恒有 f(x)≤1。∴要使 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1, 1], a∈[-1, 1]恒成立,即要 t2-2at+1≥1 成立,故 t2-2at≥0 成立。 记 g(a)=t2-2at,对 a∈[-1, 1], g(a)≥0 恒成立,只需 g(a)在[-1,1]上的最小值不小于零。∴t=0,或

?? 2t ? 0, ?? 2t ? 0, 或? ∴t≥2, 或 t≤-2,或 t=0. ? ? g (?1) ? 0, ? g (1) ? 0,

第四讲

函数的单调性

7


相关文章:
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第一章)....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第一章)第四讲:函数的单调性 - 第四讲 函数的单调性 教学目的:理解函数单调性的概念,掌握判断函数单调性的方法...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十章)....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第章)第四讲:空间的两个平面
...-华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十....doc
G0053--04--华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十六章)第四讲:定积分与微积分基本定理_其它课程_高中教育_教育专区。高三(新课标)第一轮复习...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十五章....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十五章)第四讲:离散型随机...知识点 3 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列:从函数的观点来看,...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十七章....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十七章)第四讲:全称量词与...R, f (x) 是偶函数 D. ?a ? R, f (x) 是奇函数函数 f ( x) ...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第四章)....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第四章)第三讲:平面向量的数量...(3)对(2)的结论,讨论函数k=f(t)的单调性。 证: (1)a b= 3 2 ?...
华师一附中2012届高三(传统教材)第一轮复习教案(第九章....doc
华师一附中2012届高三(传统教材)第一轮复习教案(第九章)第四讲:棱锥 - 第
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十五章....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十五章)第讲:正态分布_...2 递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以 f(x)在 x∈ (...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第七章)....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第章)第一讲:直线的方程_...2 指出: (1)斜率是一个数值,结合正切函数 y=tanx 在[0, π ) (不包括 ...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第二章)....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第章)第讲:二次函数 - 第六讲 二次函数 教学目的:掌握二次函数的概念、图象及性质;能利用二次函数研究一...
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第五章)....doc
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第章)第一讲:数列的概念与...教学难点:掌握数列的有关概念和性质(强调用函数的观点研究和处理数列的问题) 【...
《名师一号》2012届高三数学总复习一轮精品课件第四讲_....ppt
《名师一号》2012届高三数学总复习一轮精品课件第四讲_数学_高中教育_教育专区...第二模块函数与导数 第1页 共 55 页 考纲要求 1.了解构成函数的要素;了解...
高三数学第一轮复习教案.doc
高三数学第一轮复习教案_数学_高中教育_教育专区。高考数学总复习教案 第一章-...第四、五讲函数考试内容: 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反...
高三数学第一轮复习教案.doc
高三数学第一轮复习教案_数学_高中教育_教育专区。高考数学总复习教案及知识点 ...第四、五讲函数考试内容: 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反...
华师一2012届高三第一轮复习函数的概念与性质(每周18道....doc
华师一2012届高三第一轮复习函数的概念与性质(每周18道选择题、18道填空题、12道解答题,共48道题)_数学_高中教育_教育专区。2012 届高三第一轮复习课外训练题...
K0066,华师一附中2013届高一(新课标)学年教案必修(1)第....doc
K0066,华师一附中2013届高一(新课标)学年教案必修(1)第一章---1.3 奇偶...(-b,-a)上具有相同的单调性;如果函数 y=f(x)是偶函 数,那么 f(x)在...
高三数学一轮复习函数的单调性(一)教案(1).doc
高三数学一轮复习函数的单调性()教案(1)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。高三数学一轮复习教案 函数的单调性(一) ● 教材分析:函数单调性的应用在高考中分...
高三第一轮复习数学---指数函数与对数函数.doc
人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露 高三第一轮复习数学---指数函数与对数函数一、教学目标:1.掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质; 2.能利用指数函数与...
高三一轮复习函数的单调性_图文.ppt
高三一轮复习函数的单调性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三总复习 数学 (大纲版) 第三节 函数的单调性 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (...
...新课标版自然地理一轮复习教案六:地球的运动(1).doc....doc
2010届高三地理高考新课标版自然地理一轮复习教案六:地球的运动(1).doc - 第四讲 地球的运动 课时安排:4 课时 教学目标: 1.了解地球自转和公转两种基本形式的...
更多相关标签: