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湖北省巴东一中高二数学教案 必修四:任意角与弧度制

第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
一、教学目标:
1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于 360? 角和负角; (2)理解并掌握正角、负角、零角的定义; (3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与 ? 角终边相同的角(包括 ? 角)的表示 方法; (5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念; (6)揭示知识背景,引发学生 学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境: “转体 720? ,逆(顺)时针旋转” ,角有大于 360 角、零角和旋转方向不
?

同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直 角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画 出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法, 巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分. 角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化 的观点认识事物.

二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.

三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角 ,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实 际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终 边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号, 以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板

四、教学设想
【创设情境】 思考:你的手表慢了 5 分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了 1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到
? ? 一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于 0 ? 360 之间,这正是我们这节课要研究

的主要内容——任意角. 【探究新知】
? ? 1.初中时,我们已学习了 0 ? 360 角的概念,它是如何定义的呢?

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
-1-

形.如图 1.1-1,一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB , OB 叫终边, 就形成角 ? .旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边, 射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语: “转体 , “转体 1080? ” (即转体 3 周)等,都是遇到大于 360? 的角以及按不同 720? ” (即转体 2 周) 方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于 360? 的角或按不同方 向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角 , 这些都说明了我 们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 (positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 (negative angle).如果一条射线没 有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于 750? ;图 1.1.3(2)中,正角

? ? 210? , 负角 ? ? ?150? , ? ? ?660? ; 这样, 我们就把角的概念推广到了任意角 (any angle) ,
包括正角、负角和零角. 为了简单起见,在不引起混淆的前提下, “角 ? ”或“ ?? ”可简记 为? . 3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在 第几象限,我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图 1.1-4 中的 30? 角、

?210? 角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个
角不属于任何一个象限,称为非象限角. 4.[展示投影]练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两 个问题. (2)(回答)今天是星期三那么 7k (k ? Z ) 天后的那一天是星期几? 7k (k ? Z ) 天前的那一 天是星期几?100 天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后 ,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对 应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线 OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果 不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合 4.(2)口答加以分析. [展示课件]不难发现,在教材图 1.1-5 中,如果 ?32 的终边是 OB ,那么 328 , ?392
? ? ? ? ? ? 的终边都是 OB ,而 328 ? ?32 ? 1? 360 , ?392 ? ?32 ? (?1) ? 360 .

?

?

?



设 S ? {? | ? ? ?32 ? k ? 360 , k ? Z} , 则 328 , ?392 角都是 S 的元素 , ?32 角也是 S
? ? ? ?
?

的元素.因此,所有与 ?32 角终边相同的角,连同 ?32 角在内,都是集合 S 的元素;反过来,集 合 S 的任一元素显然与 ?32 角终边相同.
-2?

?

?

一般地,我们有:所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合

S ? {? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z} ,即任一与角 ? 终边相同的角 , 都可以表示成角 ? 与整数个
周角的和. 6.[展示投影]例题讲评 例 1. 例 1 在 0? ? 360? 范围内,找出与 -950?12' 角终边相同的角,并判定它是第几象 限角.(注: 0?-360? 是指 0? ? ? ? 360? ) 例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合. 例 3.写出终边直线在 y ? x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360? ? ?

? 720? 的元素 ? 写出来.
7.[展示投影]练习 教材 P 6 第 3、4、5 题. 注意: (1) k ? Z ; (2) ? 是任意角(正角、负角、零角) ; (3)终边相同的角不一定 相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差 360? 的整数倍. 8.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢? (3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在 x 轴、 y 轴、直 线 y ? x 上的角的集合.

五、评价设计
1.作业:习题 1.1 A 组第 1,2,3 题. 2.多举出一些日常生活中的“大于 360 的角和负角”的例子,熟练掌握他们的表示, 进一步理解具有相同终边的角的特点.
?

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1.1.2 弧度制
一、教学目标:
1、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义; (2)领会弧度制定义的合理性; (3)掌握并运用弧度制表 示的弧长公式、扇形面积公式; (4)熟练地进行角度制与弧度制的换算; (5)角的集合与实 数集 R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度 制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小 ,通过探究理解并掌握弧度制的定义 ,领会定义的合 理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式 .以具体的实例学习角度制与弧 度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理解并认识到角度制 与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广 以后,在弧度制下 ,角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一 个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数 等于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.

二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义,弧度制的运用.

三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了 弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与 弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板

四、教学设想
【创设情境】 有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约 250 公里,但也有人回答约 160 英里,请问 那一种回答是正确的?(已知 1 英里=1.6 公里) 显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不

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同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不同的,但是,他们之间可以换算:1 英里=1.6 公里. 在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再陌生,另外一个就是 我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1.角度制规定:将一个圆周分成 360 份,每一份叫做 1 度,故一周等于 360 度,平角等 于 180 度,直角等于 90 度等等. 弧度制是什么呢?1 弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度? 弧度制与角度制之间如何换算?请看课本 P 6 ?P 7 ,自行解决上述问题. 2.弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad , 或 1 弧度,或 1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合 ,角 ? 的终边与 x 轴的正半轴 重合,交圆于点 A ,终边与圆交于点 B .请完成表格. 弧 AB 的长
y B ? O A x

OB 旋转的方向
逆时针方向 逆时针方向

?AOB 的弧度数

?AOB 的度数

?r
2? r r 2r

??
0
180? 180?

1 ?2

我们知道,角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π ,-2π 等等,一 般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0,角的正负主 要由角的旋转方向来决定. 4.思考:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对的弧长是 l ,那么 a 的弧度数是多少? 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ?
? 5.根据探究中 180 ? ? rad 填空:

l ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半径. r

1? ? ___ rad , 1rad ? ___ 度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解 例 1.按照下列要求,把 67 30 化成弧度: (1) 精确值; (2) 精确到 0.001 的近似值. 例 2.将 3.14 rad 换算成角度(用度数表示,精确到 0.001).
? 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? rad ,另外注意计算器计算非特殊角的方

?

'

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法. 7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表: 度 弧度

0?

30?

45?

120?

120?

120?

120?

? 3

? 2

?

3? 2

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应关系:即每一 个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的 一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 8.例题讲评 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1) l ? ? R ; (2) S ?

1 ? R2 ; 2

(3) S ?

1 lR . 2

其中 R 是半径, l 是弧长, ? (0 ? ? ? 2? ) 为圆心角, S 是扇形的面积. 例 4.利用计算器比较 sin1.5 和 sin85 的大小. 注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 9.练习 教材 P 10 . 9.学习小结 (1)你知道角弧度制是怎样规定的吗? (2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?
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五、评价设计
1.作业:习题 1.1 A 组第 7,8,9 题. 2.要熟练掌握弧度制与角度制间的换算 ,以及异同.能够使用计算器求某角的各三角函 数值.

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