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广东省揭阳市惠来一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年广东省揭阳市惠来一中高一(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.化简 + ﹣ 的结果是( C. ﹣2 ) D. 2

A. 0 B. 2

2.已知向量 =(1,3) , =(3,x) ,若 ⊥ ,则实数 x 的值为( A. 9 B. ﹣9 C. 1 D. ﹣1 3.已知角 D 的终边经过点 P(﹣3,4) ,那么 sinα+2cosα 的值等于( A. B. C. ﹣ D. ﹣





4.已知函数 f(x)=|x|,x∈R,则 f(x)是( ) A. 偶函数且在(0,+∞)上单调递增 B. 奇函数且在(0,+∞)上单调递减 C. 奇函数且在(0,+∞)上单调递增 D. 偶函数且在(0,+∞)上单调递减 5.设 m,n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确是( A. 若 m⊥n,n?α,则 m⊥α B. 若 m⊥α,m∥n,则 n⊥α C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 6.已知直线 l1:ax﹣y+2a=0,l2: (2a﹣1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 的值是( A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或﹣1 7.已知 ,若 ) )

,则实

数对(λ1,λ2)为( ) A. (1,1) B. (﹣1,1) C. (﹣1,﹣1) D. 无数对 8.若 a=log43,b=2 ,c=log2(sin
0.5

) ,则(



A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>b>a 9.若点 P(1,1)为圆(x﹣3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A. 2x+y﹣3=0 B. x﹣2y+1=0 C. x+2y﹣3=0 D. 2x﹣y﹣1=0
2 2



10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3,当 x∈(﹣ ,0)时,f (x)=log2(1﹣x) ,则 f(2014)+f(2016)=( A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y= 的定义域为 .

12.已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



13.先将 y=sinx 的图象向右平移 正周期为 φ=

个单位,再变化各点的横坐标(纵坐标不变) ,得到最小 ,

的函数 y=sin(ωx+φ) (其中 ω>0)的图象,则 ω= .

14.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ,α∈( ∥ ,O 为坐标原点,则角 α 的值是 .



) .若

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分) (2015 春?揭阳校级期中)已知向量 与 共线同向, =(1,2) , ? =10. (1)求 的坐标; (2)若 =(2,﹣1) ,求 ( ? )及( ? ) .

16. (12 分) (2011?广东)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值;

) ,x∈R

(2)设 α,β∈[0,

],f(3α+

)=

,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值.

17. (14 分) (2015 春?揭阳校级期中)已知点 A(sin2x,1) ,B(1,cos(2x+ 数 f(x)= ? (x∈R) ,其中 O 为坐标原点.

) ) ,设函

(1)求函数 f(x)的最小正周期 (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值与最小值.

(2)求函数 f(x)的单调减区间. 18. (14 分) (2008?中山市校级模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PDC⊥平面 PAD. ,若 E、F 分别为 PC、BD 的中点.

19. (14 分) (2015 春?揭阳校级期中)某公司要将一批不易存放的蔬菜从 A 地运到 B 地, 有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如表: 运输工具 途中速度(km/h) 途中费用(元/km) 装卸时间(h) 装卸费用(元) 汽车 50 8 2 1000 火车 100 4 4 2000 若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为 300 元/h,设 A、B 两地距离为 xkm (1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为 f(x)与 g(x) ,求 f(x)与 g(x) ; (2)试根据 A、B 两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小) . (注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用) 20. (14 分) (2013?佛山一模)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(m,n) . (1)若 m=1,n= ,求△ ABC 的外接圆的方程; (2)若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C(异于点 A,B) ,直线 x=2 交直线 AC 于点 R,线 段 BR 的中点为 D,试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论.

2014-2015 学年广东省揭阳市惠来一中高一(下)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.化简 + ﹣ 的结果是( C. ﹣2 ) D. 2

A. 0 B. 2

考点: 专题: 分析: 解答: + = ﹣

向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 平面向量及应用. 根据平面向量的加法与减法的运算法则,进行化简即可. 解:根据平面向量的加法与减法运算法则,得 ﹣ =( + )﹣

= . 故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的加法与减法运算的应用问题,是基础题目.

2.已知向量 =(1,3) , =(3,x) ,若 ⊥ ,则实数 x 的值为( A. 9 B. ﹣9 C. 1 D. ﹣1 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由斜率垂直可得数量积为 0,解方程可得 x 值. 解答: 解:∵向量 =(1,3) , =(3,x) , ⊥ , ∴ =1×3+3x=0,解得 x=﹣1



故选:D 点评: 本题考查向量的数量积和垂直关系,属基础题. 3.已知角 D 的终边经过点 P(﹣3,4) ,那么 sinα+2cosα 的值等于( A. B. C. ﹣ D. ﹣ )

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用任意角的三角函数的定义求得 sinα 和 cosα 的值,可得 sinα+2cosα 的值. 解答: 解:由题意可得,x=﹣3、y=4、r=|OP|=5,∴sinα= = ,cosα= =﹣ , ∴sinα+2cosα= ﹣ =﹣ , 故选:C. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 4.已知函数 f(x)=|x|,x∈R,则 f(x)是( ) A. 偶函数且在(0,+∞)上单调递增 B. 奇函数且在(0,+∞)上单调递减 C. 奇函数且在(0,+∞)上单调递增 D. 偶函数且在(0,+∞)上单调递减 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分析 f(﹣x)与 f(x)的关系,根据函数奇偶性的定义,可判断函数的奇偶性,根 据定义域的定义可得 x∈(0,+∞)时,数 f(x)=|x|=x,分析其单调性,可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=|x|, ∴函数 f(﹣x)=|﹣x|=|x|=f(x) , 故函数 f(x)为偶函数 当 x∈(0,+∞)时,数 f(x)=|x|=x 为增函数, 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的单调性,熟练掌握函数奇偶性的定义及 初等基本函数的单调性是解答的关键. 5.设 m,n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确是( A. 若 m⊥n,n?α,则 m⊥α B. 若 m⊥α,m∥n,则 n⊥α C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β )

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A 利用线面垂直的判定定理进行判定.B 利用线面垂直的性质和线面垂直的判定定 理进行判断.C 利用线面平行的性质判断.D 利用面面垂直的性质和面面平行的判定定理判 断. 解答: 解:A 直线垂直于一个平面的两条相交直线,直线才和平面垂直,所以 A 不正确. B 若直线垂直平面,则和直线平行的直线也垂直于这个平面,所以 B 正确. C 和一个平面都平行的两条直线可能平行或异面或直线相交,所以 C 不正确. D 垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交,所以 D 错误. 故选 B. 点评: 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断,要求熟练掌握平行和垂直的判定定 理和性质定理的应用.

6.已知直线 l1:ax﹣y+2a=0,l2: (2a﹣1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 的值是( A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或﹣1 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线垂直的性质求解.



解答: 解:∵直线 l1:ax﹣y+2a=0,l2: (2a﹣1)x+ay+a=0 互相垂直, ∴a(2a﹣1)﹣a=0, 解得 a=0 或 a=1. 故选:C. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的位置关系的合 理运用. 7.已知 ,若 ,则实

数对(λ1,λ2)为( ) A. (1,1) B. (﹣1,1) C. (﹣1,﹣1) D. 无数对 考点: 平面向量的正交分解及坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量线性运算法则和向量相等即可得出. 解答: 解:∵ =(2λ1+λ2,λ1+3λ2) , ,



,解得



∴实数对(λ1,λ2)=(﹣1,1) . 故选 B. 点评: 熟练掌握向量线性运算法则和向量相等是解题的关键.
0.5

8.若 a=log43,b=2 ,c=log2(sin

) ,则(



A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>b>a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断三个数与“0”,“1”的大小,推出结果即可. 解答: 解:a=log43∈(0,1) ; 0.5 b=2 >1; c=log2(sin )<0.

∴b>a>c. 故选:C. 点评: 本题考查数值大小比较,借助中间量是常用方法.

9.若点 P(1,1)为圆(x﹣3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A. 2x+y﹣3=0 B. x﹣2y+1=0 C. x+2y﹣3=0 D. 2x﹣y﹣1=0

2

2



考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 求出圆心坐标,求出 PC 的斜率,然后求出 MN 的斜率,即可利用点斜式方程求出 直线 MN 的方程. 解答: 解:圆心 C(3,0) , ,∴MN 方程为 y﹣1=2(x﹣1) ,即 2x﹣

y﹣1=0, 故选 D. 点评: 本题是基础题,考查直线的斜率的求法,直线方程的求法,考查计算能力,转化思 想的应用. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3,当 x∈(﹣ ,0)时,f (x)=log2(1﹣x) ,则 f(2014)+f(2016)=( A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2 考点: 周期函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用函数的周期性把 f(2014)与 f(2016)变形,再利用奇偶性及当 x∈(﹣ ,0) 时,f(x)=log2(1﹣x) ,确定出所求式子的值即可. 解答: 解:∵2014÷3=671…1,2016÷3=672, ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3, ∴f(2014)=f(1)=﹣f(﹣1) ,f(2016)=f(0)=0, ∵当 x∈(﹣ ,0)时,f(x)=log2(1﹣x) , ∴原式=﹣f(﹣1)+0=﹣f(﹣1)=﹣1. 故选:A. 点评: 此题考查了周期函数,函数的奇偶性和周期性,及简单的对数运算,熟练掌握函数 的性质是解本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y= 的定义域为 (0,+∞) . )

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 ,解此不等式组求得 x 的范围,即为所求.

解答: 解:∵函数 y=

,∴



解得 x>0,故函数的定义域为(0,+∞) , 故答案为 (0,+∞) . 点评: 本题主要考查求函数的定义域的方法,属于基础题. 12.已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 64+4π .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 先根据三视图判断几何体的形状.再根据体积公式计算即可. 解答: 解:几何体为正方体与圆柱的组合体,V 圆柱=4π; V 正方体=4×4×4=64; 答案是 64+4π 点评: 本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算.V 椎体= h,V 柱体=Sh.

13.先将 y=sinx 的图象向右平移 正周期为

个单位,再变化各点的横坐标(纵坐标不变) ,得到最小 .

的函数 y=sin(ωx+φ) (其中 ω>0)的图象,则 ω= 3 ,φ= ﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及周期公式,即可得出结论. 解答: 解:将 y=sinx 的图象向右平移 个单位,得到的函数解析式为:y=sin(x﹣ 的函数 y=sin(ωx+φ) , ) ,

再变化各点的横坐标(纵坐标不变) ,得到最小正周期为 从而:T= = ,解得:ω=3,φ=﹣ . .

故答案为:3,﹣

点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查了三角函数周期公式的应 用,属于基本知识的考查.

14.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ,α∈( ∥ ,O 为坐标原点,则角 α 的值是 .



) .若

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线的坐标运算即可求得角 α 的值. 解答: 解: ∵ ∥ , =(﹣3,3) , =(cosα,sinα) ,

∴﹣3sinα﹣3cosα=0, ∴tanα=﹣1, ∵α∈( ∴α= 故答案为: . , ) .

点评: 本题考查向量共线的坐标运算,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分) (2015 春?揭阳校级期中)已知向量 与 共线同向, =(1,2) , ? =10. (1)求 的坐标; (2)若 =(2,﹣1) ,求 ( ? )及( ? ) . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)根据向量 算即可求出 k=2,从而得到 (2)进行向量数量积的坐标运算求出 出答案. 解答: 解: (1)设 =k+4k=10; (k>0) , ,则有: 共线,便可设 ; , ,然后再进行向量坐标的数乘运算即可得 ,然后进行数量积的坐标运

∴k=2; ∴ (2) ∴ , ( ) = ; , =(20,﹣10) . ;

点评: 考查共线向量基本定理,向量数量积的坐标运算,以及向量坐标的数乘运算. ) ,x∈R

16. (12 分) (2011?广东)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )=

(2)设 α,β∈[0,

,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值.

考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)把 x= 求出对应的函数值; (2)分别把 x=3α+ 和 x=3β+2π 代入 f(x)的解析式中,化简后利用诱导公式即可求出 代入函数 f(x)的解析式中,化简后利用特殊角的三角函数值即可

sinα 和 cosβ 的值, 然后根据 α 和 β 的范围, 利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 和 sinβ 的值,然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解: (1)把 x= f( )=2sin( × )= ﹣ 代入函数解析式得: )=2sin = ;

(2)由 f(3α+ 2sin[ (3α+ sinα=

,f(3β+2π)= ,代入得: ]=2sinα= ,2sin[ (3β+2π)﹣ ], ]=2sin(β+ )=2cosβ=

)﹣

,cosβ= ,又 α,β∈[0, ,sinβ= ,

所以 cosα=

则 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

× ﹣

× =



点评: 此题考查学生掌握函数值的求法,灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系 化简求值,是一道中档题.

17. (14 分) (2015 春?揭阳校级期中)已知点 A(sin2x,1) ,B(1,cos(2x+ 数 f(x)= ? (x∈R) ,其中 O 为坐标原点.

) ) ,设函

(1)求函数 f(x)的最小正周期 (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值与最小值.

(2)求函数 f(x)的单调减区间. 考点: 正弦函数的单调性;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;三角函数的 最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由条件利用两个向量的数量积的公式,三角恒等变换求得 f(x)的解析式, 再利用正弦函数的周期性求得函数 f(x)的最小正周期. (2)当 x∈[0, ]时,利用正弦函数的定义域和值域,求得函数 f(x)的最大值与最小值.

(3)由条件利用正弦函数的减区间求得函数 f(x)的单调减区间. 解答: 解: (1)∵A(sin2x,1) , , ∴ . 故 f(x)的最小正周期 (2)∵ ,∴ . 得 . ,∴f . ,∴ ,∴f(x)的 = ,∴ ,

最大值和最小值分别为 1 和 (3)由 (x)的单调减区间是

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的公式,三角恒等变换,正弦函数的周期性、定义 域和值域和最值,属于基础题. 18. (14 分) (2008?中山市校级模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PDC⊥平面 PAD. ,若 E、F 分别为 PC、BD 的中点.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形中位线的性质,可得线线平行,进而可得线面平行; (2)先证明线面垂直,再证明面面垂直即可. 解答: 证明: (1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点,在△ CPA 中,EF∥PA,…(2 分) ∵PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD …(5 分) (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD, ∵CD?平面 PDC ∴平面 PAD⊥平面 PDC …(12 分)

点评: 本题考查线面平行、面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (14 分) (2015 春?揭阳校级期中)某公司要将一批不易存放的蔬菜从 A 地运到 B 地, 有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如表: 运输工具 途中速度(km/h) 途中费用(元/km) 装卸时间(h) 装卸费用(元) 汽车 50 8 2 1000 火车 100 4 4 2000 若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为 300 元/h,设 A、B 两地距离为 xkm (1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为 f(x)与 g(x) ,求 f(x)与 g(x) ; (2)试根据 A、B 两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小) . (注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用) 考点: 函数模型的选择与应用.

专题: 应用题. 分析: (1)根据表格,利用总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用,分别求出运输的总费 用; (2)分类讨论,比较它们的大小,由此确定采用哪种运输工具较好 解答: 解: (1)∵总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用 ∴用汽车运输的总费用为: 用火车运输的总费用为: (2)由 f(x)<g(x)得 由 f(x)=g(x)得 由 f(x)>g(x)得 故当 A、B 两地距离小于 时,采用汽车运输好;当 A、B 两地距离等于 时,采用火车运输好 时,

采用汽车或火车都一样;当 A、B 两地距离大于

点评: 本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查解不等式,解题的关键是正确 运用表格中的数据 20. (14 分) (2013?佛山一模)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(m,n) . (1)若 m=1,n= ,求△ ABC 的外接圆的方程; (2)若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C(异于点 A,B) ,直线 x=2 交直线 AC 于点 R,线 段 BR 的中点为 D,试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论. 考点: 圆的一般方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;综合题;直线与圆. 2 2 分析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,依题意,求得 D,E,F 即可; 法 2:可求得线段 AC 的中点为(﹣ , ) ,直线 AC 的斜率为 k1= 及线段 AC 的中垂

线的方程,从而可求△ ABC 的外接圆圆心及半径为 r; 法 3:可求得|OC|=2,而|OA|=|OB|=2,从而知△ ABC 的外接圆是以 O 为圆心,2 为半径的 圆; 法 4:直线 AC 的斜率为 k1= ,直线 BC 的斜率为 k2=﹣ ,由 k1?k2=﹣1?AC⊥BC,

?△ ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆; (2)设点 R 的坐标为(2,t) ,由 A,C,R 三点共线,而 则 4n=t(m+2)可求得 t= =(m+2,n) , =(4,t) ,

,继而可求得直线 CD 的方程,于是可求得圆心 O 到直线 CD

的距离 d=r,从而可判断直线 CD 与圆 O 相切. 2 2 解答: 解: (1)法 1:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,

由题意可得
2

,解得 D=E=0,F=﹣4,
2 2 2

∴△ABC 的外接圆方程为 x +y ﹣4=0,即 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(6 分) 法 2:线段 AC 的中点为(﹣ , ∴线段 AC 的中垂线的方程为 y﹣ ) ,直线 AC 的斜率为 k1= =﹣ (x+ ) , ,

线段 AB 的中垂线方程为 x=0, ∴△ABC 的外接圆圆心为(0,0) ,半径为 r=2, ∴△ABC 的外接圆方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 法 3:∵|OC|=
2 2 2 2

=2,而|OA|=|OB|=2,

∴△ABC 的外接圆是以 O 为圆心,2 为半径的圆, ∴△ABC 的外接圆方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 法 4:直线 AC 的斜率为 k1= ,直线 BC 的斜率为 k2=﹣ ,

∴k1?k2=﹣1,即 AC⊥BC, ∴△ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, 2 2 ∴△ABC 的外接圆方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 2 2 (2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x +y =4,设点 R 的坐标为(2,t) , ∵A,C,R 三点共线, ∴ 而 ∴t= ∥ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) =(4,t) ,则 4n=t(m+2) ,

=(m+2,n) , ,

∴点 R 的坐标为(2, ﹣﹣﹣(10 分) ∴直线 CD 的斜率为 k=

) ,点 D 的坐标为(2,

) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

=
2

=



而 m +n =4,∴m ﹣4=﹣n , ∴k= =﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

2

2

2

∴直线 CD 的方程为 y﹣n=﹣ (x﹣m) ,化简得 mx+ny﹣4=0, ∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d= = =2=r,

所以直线 CD 与圆 O 相切.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题考查圆的一般方程,考查圆的方程的确定,突出考查直线与圆的位置关系,考 查圆心到直线的距离,考查推理分析与运算能力,属于难题.


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