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四川省遂宁市2016届高三零诊数学(理)试题


遂 宁 市 高 中 2016 届 零 诊 考 试

数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的。 1.若全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ? x | x ? 1? ,则 A ? CU B = A. x 1 ? x ? 2

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. ? x | x ? 1?

2.设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. 1 ? i

2 = z
C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i 行抽样检测 , 下图为检测结果的 长度在区间[20,25)上的为一等品, 二等品 , 在区间 [10,15) 和 [30,35) 现从该批产品中随机抽取一件 ,

3. 对一批产品的长度 ( 单位 : mm ) 进 频率分布直方图 . 根据标准 , 产品 在区间 [15,20)和区间 [25,30) 上的为 上的为三等品 . 用频率估计概率 , 则其为二等品的概率为 A . 0.09 B . 0.20

C.0.25

D.0.45

x 4.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R , e ? 1 ,则

A.命题 p ? q 是假命题 B.命题 p ? q 是真命题 C.命题 p ? ? ?q ? 是真命题 D.命题 p ? ? ?q ? 是假命题

? x ? y ? 5 ? 0, ? 5.已知 x, y满足 ? x ? 3, ? x ? y ? 0, ?
则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 A.6 B. ? 6 C.5 D. ? 5

6.若程序框图如图示,则该程序运行后输出

k 的值是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.已知 a, b, c 分别为方程 x ? log3 x ? 3, x ? log4 x ? 3, x ? log3 x ? 1 的解,则 a, b, c 的大小关系为 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c
高三数学(理科)零诊试题第 1 页(共 9 页)

8.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=2, AD=1,∠A=60° ,点 M 在 AB 边上, 且 AM=

???? ? ??? ? 1 AB,则 DM ?DB 等于 3
B.1 C.-

A.-1

3 3

D.

3 3

9.将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )( ? ? 数 f ( x ) 在 ?0, A. ?

?
2

) 的图象向左平移

? 个单位长度后,所得函数 g ( x) 为奇函数,则函 6

? ?? 上的最小值 ? 2? ?
B. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2

10. 对于函数 y ? f ( x ) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x y

1 3

2 7

3 5

4 9

5 6

6 1

7 8

8 2

9 4

数 列 {xn } 满 足 : x1 ? 1 , 且 对 于 任 意 n ? N * , 点 ( xn , xn?1 ) 都 在 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 上 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2015 ? x2016 的值为
A.7549 B.7545 C.7560 D.7553 11.如图所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成,它们的圆心分别是 O , O1 , O2 .动 点 P 从 A 点 出 发 沿 着 圆 弧 按 (其中 A, O, O1 , O2 , B 五点共线) , 数关系为 y ? f ? x ? , 则 y ?f x ?

A ? O ? B ? C ? A ? D ? B 的路线运动
记点 P 运动路程为 x , 设 y ? OP 1 的大致图象是
2

y , 于 x 的函

?

12.对函数 f ( x), 若对于定义域中的任意三个数 x1、x2、x3 ,

f ( x1 )、f ( x2 )、f ( x3 ) 都 能 作 为 一 个 三 角 形 的 三 边 长 , 则 称 f ( x) 为 “ 三 角 型 函 数 ” 。 已 知 函 数

f ( x) ?

9 x ? m ? 3x ? 1 是“三角型函数”,则实数 m 的取值范围是 9 x ? 3x ? 1

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A.[1,4]

B. (?

1 ,1) 2

C.[ ?

1 ,4] 2

D.[1,2]

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分)
注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列, 若 a1 ? 1 ,则 S4 = ▲ 14. ? x ? y ?? x ? y ? 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ▲ .(用数字填写答案)
8

15.向量 a, b 满足 | a |?| b |? a? b ? 2 ,向量 c 满足 (a ? c)? (b ? c) ? 0 , 则 c 的最小值为 ▲ ;

? ?

?

?

??

?

? ?

? ?

?

?? ? 2tx 2 ? 2t sin ? x ? ? ? x 4? ? 16.关于 x 的函数 f ? x ? ? 的最大值为 a , 2 2 x ? cos x
最小值为 b ,且 a ? b ? 2 ,则实数 t 的值为 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)
2 已知命题:“ ?x ? x 1 ? x ? 2 ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题.

?

?

(1)求实数 m 的取值集合 M ; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 4) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ? M 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. ▲

18. (本小题满分 12 分) 如图,以

ox 为始边作角 ? 与 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ,它们的终边分别与单位圆交于点

P、Q,已知点 P

的坐标为 (? , ) 。
高三数学(理科)零诊试题第 3 页(共 9 页)

3 4 5 5

(1) 求

(2) 若OP? OQ ? 0,求sin ?? ? ? ?的值。

??? ? ????

sin 2? ? cos 2? ? 1 的值; 1 ? tan ?

▲ 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 3S n ? 4an ? 4 (n ? N ? ) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ,

Tn ?

1 1 1 ? ? 对任意 n ? N 恒成立的实数 ? 的取值范围。 ? ? ? ? ,求使 Tn ? n?2 c1 c2 cn


20.(本小题满分 12 分) 在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量 y
2 (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克,1 ? x ? 5 )满足:当 1 ? x ? 3 时, y ? a ( x ? 3) ?

b , x ?1

;当 3 ? x ? 5 时, y ? -70x ? 490.已知当销售价格为 2 元/千克时,每日可售出该特产 700 (a, b为常数) 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. (1)求 a , b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若该特产的销售成本为 1 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使店铺每日销售该特产所获利润 f ( x) 最大( x 精确到 0.01 元/千克). ▲ 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;
高三数学(理科)零诊试题第 4 页(共 9 页)

(2)已知 g ( x) ? f ( x ?

?
6

) ? 13 .

(ⅰ)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,A 为锐角。已知 g ( A) ? 5 3 ? 8 , b ? 1 ,△ ABC 的面积为

3 b?c 的值; ,求 2 sin B ? sin C

(ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . ▲ 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x (1)求曲线 y ? f ( x)在(, 处的切线方程; 1 f (1)) (2)当 x ? 0, f (2 x) ? 4bf ( x) ? f ( ?2 x) ? 4bf ( ?x) 恒成立,求 b 的最大值 (3)解关于 x 的不等式: ?

? f ( x) ? f (1) ? f (? x) ? f (1)


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遂 宁 市 高 中 2016 届 零 诊 考 试

数学(理科)试题参考答案及评分意见
一、选择题(5×12=60 分) 题号 答案 13.15 1 D 14. ?20 2 A 3 D 15. 4 C 5 B 6 A 7 D 16.1 8 B 9 A 10 C 11 A 12 C

二、填空题(4 ? 5=20 分)

3 ?1

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 17. (10 分) 解:(1)由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在(1,2)上有解,即 m 的取值范围就为函数 y ? x ? x 在(1,2)
2

2

上的值域,易得 M ? m 0 ? m ? 2? .

?

?????4 分

(2) x ? N 是 x ? M 的必要不充分条件,所以 M ? N ,且 M ? N ?????6 分 集合 M ? x a ? x ? 4 ? a? , 则?

?

?????8 分 ?????10 分

?a ? 0 ,解得 ?a ? 2 ? a ? 0? 。 ?4 ? a ? 2
3 5 4 , 5

18. (12 分) (1)三角函数的定义,得 cos ? ? ? , sin ? ? ?????2 分

2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? 18 。 ? 2 cos2 ? ? sin ? 25 1? cos? ? ??? ? (2) ??? ?OP ? OQ,即OP ? OQ,
则原式=

?????6 分

?????7 分

?? ? ? ?

?
2

,即? ? ? ?

?
2

,
3 ? 4 , cos ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? , 5 2 5
?????10 分

? sin ? ? sin(? ?

?
2

) ? ? cos ? ?

? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?
19.(12 分) 解: (I)由 3S n ? 4an ? 4 可得 a1 ? 4 ,?1 分

7 。 25

?????12 分

高三数学(理科)零诊试题第 6 页(共 9 页)

∵ 3S n ? 4an ? 4 , ∴当 n ? 2 时, 3S n ? 3S n ?1 ? (4an ? 4) ? (4an ?1 ? 4) ,∴ 3an ? 4an ? 4an ?1 , 即

an ? 4, an ?1

?????3 分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列,∴ an ? 4n ? 22 n .??5 分 (Ⅱ) cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ? 2 ? 4 ? ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? n( n ? 1) ???7 分 ∴ Tn ? 由 Tn ?

1 1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ??? ? c1 c2 cn 1 ? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ? 1

????9 分

?
n?2

对任意 n ? N 恒成立, ? ?
?

n(n ? 2) 1 3 ? n ?1? , 即? ? n ?1 n ?1 2
?????12 分

20. (12 分)

?b ? ? 150 解: (1)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以 ? 2 解得 a ? 400, b ? 300 ? ? a ? b ? 700
300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? x ?1 ? ??70 x ? 490(3 ? x ? 5)
(2)由(1)知,当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润 f ( x) ? [400( x ? 3) 2 ? ; ?????4 分

300 ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1

? 400( x3 ? 7 x2 ? 15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 ) ???5 分
5 5 f '( x) ? 400(3x2 ?14 x ? 15) 当 x ? , 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , f ( x) 单增; 3 3
当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x) 单 减 . ? x ? 点,

5 3

5 是 函 数 f ( x) 在 (1,3] 上 的 唯 一 极 大 值 3

?????7 分 ?????8 分

5 32 f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; 3 27

2 当 3 ? x ? 5 时:每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x ? 8x ? 7) ?9 分

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3
综上,销售价格 x ?

?????11 分

5 ? 1.67 元/千克时,每日利润最大. 3

?????12 分

高三数学(理科)零诊试题第 7 页(共 9 页)

21. (12 分) (1)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?? ? ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 6? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (2) (i)由已知得 g ? x ? ? 10sin x ? 8 , A ? ?????4 分

?
3

,

?????5 分

1 1 3 3 又? S?ABC ? bc sin A ? ?1? c ? ? , 解得c ? 2, 2 2 2 2

?????6 分

?在?ABC中由余弦定理得 , : a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 3,即a ? 3.
?????7 分



b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 3 2

, 得b ? 2 sin B, c ? 2 sin C ,

?

b?c ? 2. sin B ? sin C

?????9 分

(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存 在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ? 由

4 . 5

? 4 4 3 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ? 0 ? . ? 3 5 5 2
4 . 5 4 . 5

由正弦函数的性质可知,当 x ? ??0 , ? ? ?0 ? 时,均有 sin x ? 因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

所以当 x ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ( k ? ? )时,均有 sin x ? 因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

?
3

? 1,

所以对任意的正整数 k ,都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? , 使得 sin xk ?

4 . 5
?????12 分

亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 22.(12 分)
高三数学(理科)零诊试题第 8 页(共 9 页)

解: (1)由题意知: f ?( x) ? e x ?1 ? f ?(1) ? e ?1 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (e ? 1) x (2) g ( x) ? e2 x ? e?2 x ? 4b(ex ? e? x ) ? (8b ? 4) x
2x ?2 x x ?x g '( x ) = 2 ? ?e ? e ? 2b(e ? e ) ? (4b ? 2) ? ?

?????2 分 ?????3 分

= 2(ex ? e? x ? 2)(ex ? e? x ? 2b ? 2) (i)当 b ? 2 时, g '( x ) ≥0,等号仅当 x ? 0 时成立,所以 g ( x) 在 (??, ??) 单调递增。 而 g (0) =0,所以对任意 x ? 0, g ( x) ? 0 ,成立;
x ?x (ii)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e ? 2b ? 2 ,即 x ? ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) 时

g '( x ) <0.即 g ( x) 在区间 (0,ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) 上单调递减
而 g (0) =0,因此当 0 ? x ? ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) 时, g ( x) <0. 综上,b 的最大值为 2. ?????7 分 ①

?e x ? x ? e ? 1, ? (3) ? ? x ? ?e ? x ? e ? 1,
设函数 g (t ) ? et ? t ? e ? 1,则 g ?(t ) ? et ? 1

当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 ( ??, 0) 单调递减, 在 (0, ??) 单调递增。 又 g (1) ? 0, g (?1) ? e?1 ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0 当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? 0, g (? x) ? 0 ,即①式成立;
x 当 x ? 1 时,由 g (t ) 的单调性, g ( x) ? 0 ,即 e ? x ? e ? 1;

当 x ? ?1 时, g (? x) ? 0 ,即 e 综上, x 的取值范围是[-1,1]

?x

? x ? e ?1
?????12 分

高三数学(理科)零诊试题第 9 页(共 9 页)



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