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2014年安徽省高考数学试卷(理科)

高考真题及答案
2014 年安徽省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5 分)设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? =( ) A.﹣2 B.﹣2i C.2 D.2i 2.(5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34 B.55 C.78 D.89

4.(5 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标

系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是

(t 为参

数),圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( )

A. B.2

C. D.2

5.(5 分)x,y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯

一,则实数 a 的值为( ) A. 或﹣1 B.2 或 C.2 或﹣1 D.2 或 1 6.(5 分)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f

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(x)=0,则 f( )=( ) A. B. C.0 D.﹣ 7.(5 分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )

A.21+ B.18+ C.21 D.18 8.(5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60° 的共有( ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 9.(5 分)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( ) A.5 或 8 B.﹣1 或 5 C.﹣1 或﹣4 D.﹣4 或 8 10.(5 分)在平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0,点
Q 满足 = ( + ),曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<
r≤| |≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( ) A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应 位置. 11.(5 分)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象

关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是



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12.(5 分)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,

则 q=



13.(5 分)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,(1+ )n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+…+anxn.若

点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=



14.(5 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过点

F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程





15.(5 分)已知两个不相等的非零向量 , ,两组向量 , , , , 和

, , , , 均由 2 个 和 3 个 排列而成,记

S= ? + ? + ? + ? + ? ,Smin 表示 S 所有可能取值中的最小

值.则下列命题正确的是 ①S 有 5 个不同的值;

(写出所有正确命题的编号).

②若 ⊥ ,则 Smin 与| |无关;

③若 ∥ ,则 Smin 与| |无关;

④若| |>4| |,则 Smin>0; ⑤若| |=2| |,Smin=8| |2,则 与 的夹角为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.解答早答题卡上的指定区域. 16.(12 分)设△ABC 的内角为 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,且 b=3, c=1,A=2B.
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(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin(A+ )的值. 17.(12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 , 乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 18.(12 分)设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 19.(13 分)如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2:y2=2p2x(p2>0), 过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1、A2 两点,l2 与 E1、E2 分别 交于 B1、B2 两点. (Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1、E2 分别交于 C1、C2 两点.记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求 的值.
20.(13 分)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC,且 AD=2BC,过 A1、C、D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交点 为 Q.
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(Ⅰ)证明:Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α 与底面 ABCD 所成二 面角的大小.
21.(13 分)设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px; (Ⅱ)数列{an}满足 a1> ,an+1= an+ an1﹣p.证明:an>an+1> .
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2014 年安徽省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5 分)设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? =( )

A.﹣2 B.﹣2i C.2 D.2i 【分析】把 z 及 代入 +i? ,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.

【解答】解:∵z=1+i,





∴ +i? =

=



故选:C. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

2.(5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到 结论. 【解答】解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本 题的关键,比较基础.

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3.(5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34 B.55 C.78 D.89 【分析】写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出 z 的 值. 【解答】解:第一次循环得 z=2,x=1,y=2; 第二次循环得 z=3,x=2,y=3; 第三次循环得 z=5,x=3,y=5; 第四次循环得 z=8,x=5,y=8; 第五次循环得 z=13,x=8,y=13; 第六次循环得 z=21,x=13,y=21; 第七次循环得 z=34,x=21,y=34; 第八次循环得 z=55,x=34,y=55;退出循环,输出 55, 故选:B. 【点评】本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果 找规律,属于一道基础题.

4.(5 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标

系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是

(t 为参

数),圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( )

A. B.2

C. D.2

【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程,求出半径和弦心距,再利用弦长公式

求得弦长.

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【解答】解:直线 l 的参数方程是

(t 为参数),化为普通方程为 x﹣y﹣

4=0; 圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,即 ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程为 x2+y2=4x,

即 (x﹣2)2+y2=4,表示以(2,0)为圆心、半径 r 等于 2 的圆.

弦心距 d=

= <r,∴弦长为 2

=2 =2 ,

故选:D. 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角 坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.

5.(5 分)x,y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯

一,则实数 a 的值为( ) A. 或﹣1 B.2 或 C.2 或﹣1 D.2 或 1
【分析】由题意作出已知条件的平面区域,将 z=y﹣ax 化为 y=ax+z,z 相当于直 线 y=ax+z 的纵截距,由几何意义可得.

【解答】解:由题意作出约束条件

,平面区域,

将 z=y﹣ax 化为 y=ax+z,z 相当于直线 y=ax+z 的纵截距,
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由题意可得,y=ax+z 与 y=2x+2 或与 y=2﹣x 平行, 故 a=2 或﹣1; 故选:C. 【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意目标函数的几何意义 是解题的关键之一,属于中档题.

6.(5 分)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f (x)=0,则 f( )=( )

A. B. C.0 D.﹣

【分析】利用已知条件,逐步求解表达式的值即可.

【解答】解:∵函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,

f(x)=0,

∴f( )=f(



=f( )+sin

=f( )+sin +sin

=f( )+sin +sin +sin

=sin +sin +sin

=

=. 故选:A. 【点评】本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.

7.(5 分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )

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A.21+ B.18+ C.21 D.18

【分析】判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积.

【解答】解:由三视图可知,几何体是正方体的棱长为 2,截去两个正三棱锥,

侧棱互相垂直,侧棱长为 1,

几 何 体 的 表 面 积 为 : S 正 方 体 ﹣ 2S 棱 锥 侧 +2S 棱 锥 底

=

=21+ .

故选:A.

【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状.
8.(5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60° 的共有( ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 【分析】利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结 果. 【解答】解:正方体的面对角线共有 12 条,两条为一对,共有 =66 条,
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同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共 有 6 对不满足题意的直线对数, 不满足题意的共有:3×6=18. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60°的共有:66 ﹣18=48. 故选:C. 【点评】本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键.
9.(5 分)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( ) A.5 或 8 B.﹣1 或 5 C.﹣1 或﹣4 D.﹣4 或 8 【分析】分类讨论,利用 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,建立方程,即可求 出实数 a 的值. 【解答】解: <﹣1 时,x<﹣ ,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1> ﹣1; ﹣ ≤x≤﹣1,f(x)=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥ ﹣1; x>﹣1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>a﹣2, ∴ ﹣1=3 或 a﹣2=3, ∴a=8 或 a=5, a=5 时, ﹣1<a﹣2,故舍去;
≥﹣1 时,x<﹣1,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1>2﹣a; ﹣1≤x≤﹣ ,f(x)=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣ +1; x>﹣ ,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>﹣ +1, ∴2﹣a=3 或﹣ +1=3, ∴a=﹣1 或 a=﹣4, a=﹣1 时,﹣ +1<2﹣a,故舍去; 综上,a=﹣4 或 8. 故选:D.
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【点评】本题主要考查了函数的值域问题.解题过程采用了分类讨论的思想,属 于中档题.
10.(5 分)在平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0,点 Q 满足 = ( + ),曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0< r≤| |≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( ) A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 【分析】不妨令 =(1,0), =(0,1),则 P 点的轨迹为单位圆,Ω={P|(0<r ≤| |≤R,r<R}表示的平面区域为:以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆 环,若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,进而根据圆 圆相交的充要条件得到答案. 【解答】解:∵平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0, 不妨令 =(1,0), =(0,1), 则 = ( + )=( , ),
= cosθ+ sinθ=(cosθ,sinθ), 故 P 点的轨迹为单位圆, Ω={P|(0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域为: 以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环, 若 C∩Ω 为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交, 故|OQ|﹣1<r<R<|OQ|+1, ∵|OQ|=2, 故 1<r<R<3, 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中根据已知分析出 P 的轨 迹及 Ω={P|(0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域,是解答的关键.
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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应 位置. 11.(5 分)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象

关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是



【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数 解 析 式为 y=sin ( 2x+ ﹣2φ),再根据所得 图象关于 y 轴对称 可得 ﹣

2φ=kπ+ ,k∈z,由此求得 φ 的最小正值.

【解答】解:将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x﹣φ)+ ]=sin(2x+ ﹣2φ)关于 y

轴对称, 则 ﹣2φ=kπ+ ,k∈z,即 φ=﹣ ﹣ ,故 φ 的最小正值为 ,

故答案为: .

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象 的对称性,属于中档题.

12.(5 分)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q= 1 . 【分析】设出等差数列的公差,由 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列列

式求出公差,则由

化简得答案.

【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,

由 a1+1,a3+3,a5+5 构成等比数列,

得:



整理得:





+5a1+a1+4d.

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化简得:(d+1)2=0,即 d=﹣1.

∴q=

=



故答案为:1. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计 算题.

13.(5 分)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,(1+ )n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+…+anxn.若 点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a= 3 .

【分析】求出(1+ )n 的展开式的通项为
a1=3,a2=4,列出方程组,求出 a 的值. 【解答】解:(1+ )n 的展开式的通项为

,由图知,a0=1, ,

由图知,a0=1,a1=3,a2=4,











a2﹣3a=0, 解得 a=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查解决二项式的特定项问题,关键是求出展开式的通项,属于一 道中档题.

14.(5 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过点
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F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程 为 x2+ =1 .
【分析】求出 B(﹣ c,﹣ b2),代入椭圆方程,结合 1=b2+c2,即可求出椭圆
的方程. 【解答】解:由题意,F1(﹣c,0),F2(c,0),AF2⊥x 轴,∴|AF2|=b2, ∴A 点坐标为(c,b2), 设 B(x,y),则 ∵|AF1|=3|F1B|, ∴(﹣c﹣c,﹣b2)=3(x+c,y) ∴B(﹣ c,﹣ b2),

代入椭圆方程可得



∵1=b2+c2, ∴b2= ,c2= ,

∴x2+ =1.

故答案为:x2+ =1.

【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

15.(5 分)已知两个不相等的非零向量 , ,两组向量 , , , , 和 , , , , 均由 2 个 和 3 个 排列而成,记
S= ? + ? + ? + ? + ? ,Smin 表示 S 所有可能取值中的最小 值.则下列命题正确的是 ②④ (写出所有正确命题的编号). ①S 有 5 个不同的值; ②若 ⊥ ,则 Smin 与| |无关; ③若 ∥ ,则 Smin 与| |无关; ④若| |>4| |,则 Smin>0;
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⑤若| |=2| |,Smin=8| |2,则 与 的夹角为 .

【 分 析 】 依 题 意 , 可 求 得 S 有 3 种 结 果 : S1= + + + + ,

S2= + ? + ? + + ,S3= ? + ? + ? + ? + ,可判断①错误;

进一步分析有 S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ? ≥ + ﹣2| |?| |= ≥0,即 S 中最小为 S3;再对②③④⑤逐一分析即可得答案. 【解答】解:∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由 2 个 和 3 个 排列而成,

∴S=xiyi 可能情况有三种:①S=2 +3 ;②S= +2 ? +2 ;③S=4 ? + .

S 有 3 种结果:S1= + + + + ,

S2= + ? + ? + + ,

S3= ? + ? + ? + ? + ,故①错误;

∵S1﹣S2=S2﹣S3= + ﹣2 ? ≥ + ﹣2| |?| |= ∴S 中最小为 S3; 若 ⊥ ,则 Smin=S3= ,与| |无关,故②正确;

≥0,

③若 ∥ ,则 Smin=S3=4 ? + ,与| |有关,故③错误; ④ 若 | | > 4| | , 则 Smin=S3=4| |?| |cosθ+ > ﹣ 4| |?| |+ > ﹣
+ =0,故④正确;

⑤若| |=2| |,Smin=S3=8| |2cosθ+4

=8



∴2cosθ=1,∴θ= ,

即 与 的夹角为 .

综上所述,命题正确的是②④, 故答案为:②④. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应 用,考查推理、分析与运算的综合应用,属于难题.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.解答早答题卡上的指定区域. 16.(12 分)设△ABC 的内角为 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,且 b=3, c=1,A=2B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin(A+ )的值.

【分析】(Ⅰ)利用正弦定理,可得 a=6cosB,再利用余弦定理,即可求 a 的值; (Ⅱ)求出 sinA,cosA,即可求 sin(A+ )的值.

【解答】解:(Ⅰ)∵A=2B,

,b=3,

∴a=6cosB,

∴a=6



∴a=2 ; (Ⅱ)∵a=6cosB,

∴cosB= ,

∴sinB= ,

∴sinA=sin2B= ,cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ ,

∴sin(A+ )= (sinA+cosA)=



【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算 能力,属于中档题.

17.(12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 , 乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【分析】(1)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论.
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(2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列;以及均值. 【解答】解:用 A 表示甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的是事件,Ak 表示第 k 局甲获胜,Bk 表示第 k 局乙获胜, 则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5

(Ⅰ)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=( )2+ ×( )2+ ×

×( )2= .

(Ⅱ)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= ,

P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)= ,

P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= ,

P(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5)+P(B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3B4B5)= = ,

或者 P(X=5)=1﹣P(X=2)﹣P(X=3)﹣P(X=4)= ,

故分布列为:

X

2

P

3

4

5

E(X)=2× +3× +4× +5× = . 【点评】本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的 计算,考查学生的计算能力.

18.(12 分)设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数判断函数的单调性即可; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,讨论两根与 1 的大小关系,判断函数在[0,1]时的单 调性,得出取最值时的 x 的取值. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1+a﹣2x﹣3x2,
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由 f′(x)=0,得 x1=

∴由 f′(x)<0 得 x<

由 f′(x)>0 得

故 f(x)在(﹣∞,

在(



,x2= ,x>

,x1<x2, ;

<x<



)和(

,+∞)单调递减,

)上单调递增;

(Ⅱ)∵a>0,∴x1<0,x2>0,∵x∈[0,1],当

时,即 a≥4

①当 a≥4 时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,x2]单调递增,在[x2,1]上 单调递减,

因此 f(x)在 x=x2=

处取得最大值,又 f(0)=1,f(1)=a,

∴当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识,考查学生分类

讨论思想的运用能力,属中档题.

19.(13 分)如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2:y2=2p2x(p2>0), 过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1、A2 两点,l2 与 E1、E2 分别 交于 B1、B2 两点. (Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1、E2 分别交于 C1、C2 两点.记△A1B1C1
与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求 的值.

高考真题解析

高考真题及答案

【分析】(Ⅰ)由题意设出直线 l1 和 l2 的方程,然后分别和两抛物线联立求得交

点坐标,得到

的坐标,然后由向量共线得答案;

(Ⅱ)结合(Ⅰ)可知△A1B1C1 与△A2B2C2 的三边平行,进一步得到两三角形相 似,由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案. 【解答】(Ⅰ)证明:由题意可知,l1 和 l2 的斜率存在且不为 0, 设 l1:y=k1x,l2:y=k2x.

联立

,解得



联立

,解得



联立

,解得



联立 ∴

,解得

. ,



, ∴A1B1∥A2B2;
高考真题解析

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A1B1∥A2B2, 同(Ⅰ)可证 B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2. ∴△A1B1C1∽△A2B2C2,

因此



高考真题及答案













【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题,考查了向量共线的坐标表示,训练了 三角形的相似比与面积比的关系,考查了学生的计算能力,是压轴题.

20.(13 分)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC,且 AD=2BC,过 A1、C、D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交点 为 Q. (Ⅰ)证明:Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α 与底面 ABCD 所成二 面角的大小.

【分析】(Ⅰ)证明平面 QBC∥平面 A1D1DA,可得△QBC∽△A1AD,即可证明 Q 为 BB1 的中点;
高考真题解析

高考真题及答案

( Ⅱ ) 设 BC=a , 则 AD=2a , 则

=

=

, VQ ﹣

ABCD=

= ahd,利用 V 棱柱= ahd,即可求出此四棱柱被平面 α 所分成

上、下两部分的体积之比; (Ⅲ)△ADC 中,作 AE⊥DC,垂足为 E,连接 A1E,则 DE⊥平面 AEA1,DE⊥A1E, 可得∠AEA1 为平面 α 与底面 ABCD 所成二面角,求出 S△ADC=4,AE=4,可得 tan ∠AEA1= =1,即可求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大小.

【解答】(Ⅰ)证明:∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 为梯形,AD∥ BC,

∴平面 QBC∥平面 A1D1DA,

∴平面 A1CD 与面 QBC、平面 A1D1DA 的交线平行,∴QC∥A1D

∴△QBC∽△A1AD,



=,

∴Q 为 BB1 的中点;

(Ⅱ)解:连接 QA,QD,设 AA1=h,梯形 ABCD 的高为 d,四棱柱被平面 α 所

分成上、下两部分的体积为 V1,V2,

设 BC=a , 则 AD=2a , ∴

=

=

, VQ ﹣

ABCD=

= ahd,

∴V2=



∵V 棱柱= ahd,

∴V1= ahd,

∴四棱柱被平面 α 所分成上、下两部分的体积之比 ;

(Ⅲ)解:在△ADC 中,作 AE⊥DC,垂足为 E,连接 A1E,则 DE⊥平面 AEA1, ∴DE⊥A1E, ∴∠AEA1 为平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的平面角, ∵BC∥AD,AD=2BC, ∴S△ADC=2S△ABC,

高考真题解析

∵梯形 ABCD 的面积为 6,DC=2, ∴S△ADC=4,AE=4, ∴tan∠AEA1= =1, ∴∠AEA1= , ∴平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 .

高考真题及答案

【点评】本题考查面面平行的性质,考查体积的计算,考查面面角,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题.

21.(13 分)设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px;

(Ⅱ)数列{an}满足 a1> ,an+1= an+ an1﹣p.证明:an>an+1> .
【分析】第(Ⅰ)问中,可构造函数 f(x)=(1+x)p﹣(1+px),求导数后利用 函数的单调性求解;

对第(Ⅱ)问,从 an+1

着手,由 an+1= an+ an1﹣p,将求证式进行等价转

化后即可解决,用相同的方式将 an>an+1 进行转换,设法利用已证结论证明. 【解答】证明:(Ⅰ)令 (f x)=(1+x)p﹣(1+px),则 f(′ x)=p(1+x)p﹣1﹣p=p[(1+x) p﹣1﹣1]. ①当﹣1<x<0 时,0<1+x<1,由 p>1 知 p﹣1>0,∴(1+x)p﹣1<(1+x)0=1, ∴(1+x)p﹣1﹣1<0,即 f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣1,0]上为减函数,

高考真题解析

高考真题及答案

∴f(x)>f(0)=(1+0)p﹣(1+p×0)=0,即(1+x)p﹣(1+px)>0, ∴(1+x)p>1+px. ②当 x>0 时,有 1+x>1,得(1+x)p﹣1>(1+x)0=1, ∴f′(x)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f(x)>f(0)=0, ∴(1+x)p>1+px. 综合①、②知,当 x>﹣1 且 x≠0 时,都有(1+x)p>1+px,得证.

(Ⅱ)先证 an+1> .

∵an+1= an+ an1﹣p,∴只需证 an+ an1﹣p> ,



写成 p﹣1 个

相加,上式左边

=



当且仅当

,即

时,上式取“=”号,

当 n=1 时,由题设知

,∴上式“=”号不成立,

∴ an+ an1﹣p> ,即 an+1> . 再证 an>an+1. 只需证 an> an+ an1﹣p,化简、整理得 anp>c,只需证 an>c .

由前知 an+1> 成立,即从数列{an}的第 2 项开始成立,

又 n=1 时,由题设知

成立,



对 n∈N*成立,∴an>an+1.

高考真题解析

高考真题及答案
综上知,an>an+1> ,原不等式得证. 【点评】本题是一道压轴题,考查的知识众多,涉及到函数、数列、不等式,利 用的方法有分析法与综合法等,综合性很强,难度较大.
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