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【创新设计】2013届高中数学 2-3-1离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修2-3_图文

2.3

离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值

【课标要求】 1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变 量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项 分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值 水平,解决一些相关的实际问题.

【核心扫描】

离散型随机变量均值的概念与计算方法.(重点) 1.
离散型随机变量均值的性质及应用.(重点、难点) 2. 3. 两点分布与二项分布的均值.(易混点)

自学导引
1. 离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义:若离散型随机变量X的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X 则称E(X)= ____________________________ 的均值或数学期望.

平均水平. (2)意义:它反映了离散型随机变量取值的_________

(3)性质:如果X为(离散型)随机变量,则Y=aX+b(其中a, b为常数)也是随机变量,且P(Y=axi+b)=P(X=xi),i= 1,2,3,…,n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 想一想:随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区 别? 提示 (1)随机变量的均值是常数,而样本的均值,随样本 的不同而变化.(2)对于简单随机样本,随着样本容量的增

加,样本平均值越来越接近于总体均值.
2. 两点分布与二项分布的均值 X X服从两点分布 X~B(n,p) np ___

E(X)

p (p为成功概率) __

试一试:若某人投篮的命中率为0.8,那么他投篮10次一
定会进8个球吗? 提示 某人投篮的命中率为0.8,是通过大量重复的试验 来推断出来的一个均值.由于每次试验是相互独立的,投 一次可能成功,也可能失败.也就是说投篮10次可能一个

球也没进,也可能进了几个球,但并不一定会是8个,只
是从平均意义上讲10次投篮进8个球.

名师点睛
1.对离散型随机变量的均值的理解 (1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的
平均水平的指标. (2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的 单位. (3)均值是一个常数,在大量试验下,它总是稳定的,因

此它不具有随机性,可以作为随机变量的均值或平均数.

2.对公式E(aX+b)=aE(X)+b的理解 (1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本 身. (2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之 和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均 值等于这个常数与随机变量均值的乘积.

题型一

利用定义求离散型随机变量的数学期望

【例1】 袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只 球,设取到一只红球得2分,取得一只黑球得1分,试求得 分X的数学期望. [思路探索] 先分析得分的所有取值情况,再求分布列,代 入公式即可.

解 取出 4 只球颜色及得分分布情况是: 4 红得 8 分,3 红 1 黑得 7 分,2 红 2 黑得 6 分,1 红 3 黑得 5 分,因此, 3 2 C1 4 C2 18 4C3 4C3 P(X=5)= 4 = ,P(X=6)= 4 = , C7 35 C7 35 1 0 C3 12 C4 1 4C3 4C3 P(X=7)= 4 = ,P(X=8)= 4 = , C7 35 C7 35 故 X 的分布列如下:

X P

5
4 35

6 18 35

7 12 35

8 1 35

4 18 12 1 44 ∴E(X)=5× +6× +7× +8× = (分). 35 35 35 35 7

规律方法

求数学期望的步骤是:(1)明确随机变量的取

值,以及取每个值的试验结果;(2)求出随机变量取各个 值的概率;(3)列出分布列;(4)利用数学期望公式进行计 算.

【变式1】 在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三
等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等 品件数X的分布列和数学期望. 解 从 10 件产品中任取 3 件,共有 C3 10种结果.从 10 件产品 3- k 中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck 3C7 ,其中 k =0,1,2,3. 3- k Ck C 3 7 ∴P(X=k)= ,k=0,1,2,3. C3 10 所以随机变量 X 的分布列为

X
P

0
7 24

1
21 40

2
7 40

3
1 120

7 21 7 1 9 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 24 40 40 120 10

题型二

两点分布与二项分布的数学期望

【例2】 某运动员投篮命中率为p=0.6.

(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望. [思路探索] (1)投篮1次命中次数X服从两点分布,故由两 点分布的均值公式可求得;(2)重复5次投篮,命中次数X 服从二项分布,代入公式E(X)=np可得. 解 (1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表:

X P

0 0.4

1 0.6

则E(X)=p=0.6. (2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布, 即Y~B(5,0.6).则E(Y)=np=5×0.6=3. 规律方法 此类题的解法一般分两步:一是先判断随机变 量服从两点分布还是二项分布;二是代入两点分布或二项 分布的均值公式计算均值.

【变式2】 某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择 题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答 案,每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分, 规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一 等奖,有一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有 望能拿到几等奖? 解 选对题的个数X~B(30,0.8),故E(X)=30×0.8=

24,
由于24×5=120(分), 所以该选手有望能拿到二等奖.

题型三

数学期望的实际应用

【例3】 某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的 概率为0.3,一旦发生将造成400万元的损失.现有甲、乙
两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防 措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措 施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方 案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采

取,请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防
措施的费用+发生突发事件损失的期望值)

[规范解答] ①不采取预防措施时,总费用即损失期望值为
E1=400×0.3=120(万元); (2分) ②若单独采取预防措施甲,则预防措施费用为45万元,

发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,
损失期望值为E2=400×0.1=40(万元), 所以总费用为45+40=85(万元); 发生突发事件的概率为1-0.85=0.15, (5分) ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,

损失期望值为E3=400×0.15=60(万元),
所以总费用为30+60=90(万元); ④若联合采取甲、乙两种预防措施, 则预防措施费用为45+30=75(万元), (8分)

发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015, 损失期望值为E4=400×0.015=6(万元),所以总费用为75 +6=81(万元) 甲、乙两种预防措施,可使总费用最少. (11分) (12分)

综合①、②、③、④,比较其总费用可知,选择联合采取
【题后反思】 均值反映了随机变量取值的平均水平.我

们对实际问题进行决策时,当平均水平比较重要时,决策
的依据首先就是随机变量均值的大小.

【变式3】 据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概 率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参 加者需交保险费100元,若在一年以内,万元以上财产被

盗,保险公司赔偿a元(a>100).问a如何确定,可使保险公
司期望获利? 解 设X表示保险公司在参加保险人身上的收益, 则X的取值为X=100和X=100-a,则P(X=100)=0.99. P(X=100-a)=0.01,

所以E(X)=0.99×100+0.01×(100-a)=100-0.01a>0,
所以a<10 000. 又a>100,所以100<a<10 000. 即当a在100和10 000之间取值时保险公司可望获利.

方法技巧

化归与转化思想在解题中的应用

化归与转化思想是高中数学的重要思想,对于这种思想我

们从两个角度来理解:
(1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化归为较易 问题,将未解决的问题化归为已解决的问题; (2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻 找有利于问题解决的变换途径与方法. 对于本节,化归转化思想尤为重要,我们也可通过化归转 化将实际问题的解决转化为数学期望模型,用数学期望去 分析和解决实际问题.

【示例】 三家公司为王明提供了面试机会,按面试的时间顺 序,三家公司分别记为甲、乙、丙,每家公司都提供极 好、好、一般三种职位,每家公司将根据面试情况决定给

予求职者何种职位或拒绝提供职位.若规定双方在面试以
后要立即决定提供、接受、拒绝某种职位,且不允许毁 约,已知王明获得极好、好、一般职位的可能性分别为 0.2,0.3,0.4,三家公司工资数据如下: 公司 甲 乙

职位
极好 3 500 3 900 好 3 000 2 950 一般 2 200 2 500



4 000

3 000

2 500

王明如果把工资数尽量提高作为首要条件,那么他在甲、 乙、丙公司面试时,对该公司提供的各种职位应如何决策? [思路分析] 根据提供的数据计算三家公司的均值,因为面试 有时间先后顺序,所以在解决问题时应先考虑公司丙. 解 论. 由于面试有时间先后,所以在甲、乙公司面试做选择 时,还要考虑到后面丙公司的情况,所以应从丙公司开始讨

丙公司的工资均值为4 000×0.2+3 000×0.3+2 500×0.4+
0×0.1=2 700(元), 现在考虑乙公司,因为乙公司的一般职位工资只有2 500元, 低于丙公司的均值,所以只接受乙公司极好或好的职位,否 则就到丙公司.

如此决策时他的工资均值为3 900×0.2+2 950×0.3+ 2 700×0.5=3 015(元),

最后考虑甲公司,
由于甲公司只有极好职位的工资超过3 015元,所以他只 接受甲公司极好职位,否则就到乙公司. 所以总的决策为: 先去甲公司应聘,若甲公司提供极好职位就接受,否则去 乙公司应聘; 若乙公司提供极好或好的职位就接受,否则就到丙公司; 接受丙公司提供的任何职位.

工资均值为3 500×0.2+3 015×0.8=3 112(元).

方法点评

由于三家公司提供了三种不同工资的职位,

获得不同职位的可能性也不相同,所以我们考虑到用工资
的均值来决策.这类问题将实际的应用题通过建立“数学 期望”模型得以解决.


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