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2016


2016-2017 学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第 2 课时 等 比数列的性质高效测评 新人教 A 版必修 5

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 C.6 B. 7 D. 4 2
3

)

解析: 方法一:由等比中项的性质知 a1a2a3=(a1a3)·a2=a2=5,a7a8a9=(a7a9)·a8=
3 a3 a2a8)3=(506)3=5 2. 8=10,所以 a2a8=503,所以 a4a5a6=(a4a6)·a5=a5=( 1 1

方法二:由等比数列的性质知 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 构成等比数列,所以(a1a2a3)(a7a8a9) =(a4a5a6) ,所以 a4a5a6=± 5×10=±5 2,又数列各项均为正数,所以 a4a5a6=5 2. 答案: A 2.若 1,a1,a2,4 成等差数列;1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 1 A.- 2 1 C.± 2 解析: ∵1,a1,a2,4 成等差数列, ∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1. 又∵1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设其公比为 q,则 b2=1×4=4,且 b2=1×q >0,∴
2 2 2

a1-a2 的值等于( b2

)

1 B. 2 1 D. 4

b2=2,


a1-a2 -?a2-a1? 1 = =- . b2 b2 2

答案: A 3.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9 等于( A.81 C.3 3 B.27 27 D.243 )

解析: 因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3, 所以 a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10) =3 =81.故选 A. 答案: A 4. 已知等比数列{an}中, a3a11=4a7, 数列{bn}是等差数列, 且 b7=a7, 则 b5+b9 等于( )
1
4 4

A.2 C.8
2

B. 4 D.16

解析: 等比数列{an}中,a3a11=a7=4a7,解得 a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7= 2a7=8.故选 C. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.三个数 a,b,c 成等比数列,公比 q=3,又 a,b+8,c 成等差数列,则这三个数 依次为________. 解析: ∵a,b,c 成等比数列,且 q=3, ∴a= ,c=3b. 3 又 a,b+8,c 成等差数列, ∴2(b+8)=a+c, 即 2(b+8)= +3b, 3 ∴b=12, ∴a=4,c=36. 答案: 4,12,36 6. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB, 然后每 3 分钟自身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍, 那么开机________分钟, 该病毒占据内存 64 MB(1 MB=2 KB). 解析: 依题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且 a1=2,
10

b

b

q=2,∴an=2n,
则 2 =64×2 =2 ,∴n=16. 即病毒共复制了 16 次. 所以所需时间为 16×3=48(分钟). 答案: 48 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an} 的通项公式. 解析: ∵a1a5=a3,a3a5=a4,a3a7=a5, ∴由条件,得 a3-2a4+a5=36, 同理得 a3+2a4+a5=100,
? ??a3-a5? =36, ∴? 2 ??a3+a5? =100, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n

10

16

2

即?

?a3-a5=±6, ? ?a3+a5=10, ? ? ?a3=2, ?a5=8, ?

解得?

或?

? ?a3=8, ?a5=2. ?

1 ? ?a1= , 2 分别解得? ? ?q=2, ∴an=a1q
n-1

a1=32, ? ? 或? 1 q= . ? ? 2
n-1

=2

n-2

或 an=a1q

=2

6-n

.

8.已知 4 个数,前 3 个数成等差数列,后 3 个数成等比数列,中间两数之积为 16,首 末两数之积为-128.求这 4 个数. 2x 解析: 设第 3 个数为 x, 后 3 个数的公比为 q(q≠0), 则由题意知这 4 个数依次为 -

q

x x, ,x,xq, q x ? ?q·x=16, 于是? ?2x-x?·xq=-128, ? ? ?? ?q ?
2

?x =16q, ? 即? 2 ??2-q?x =-128, ?

2

消去 x 得(2-q)·16q=-128,即 q -2q-8=0, 解得 q=4 或 q=-2(舍去). ∴x =64,解得 x=8 或 x=-8. 当 q=4,x=8 时,所求的 4 个数为-4,2,8,32; 当 q=4,x=-8 时,所求的 4 个数为 4,-2,-8,-32. ? 尖子生题库 ?? 9.(10 分)已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=2an,n∈N . (1)判断{an}是什么数列,并证明; 1 (2)若 a8+a13= ,求 b1·b2·…·b20. 2 解析: (1){an}是等差数列.证明如下: ∵bn=2 ,∴log2bn=an, ∴an-1=log2bn-1(n≥2). ∴an-an-1=log2
an
* 2

2

☆☆☆

bn . bn-1

∵{bn}为等比数列,

3



bn bn 为常数,log2 也是常数. bn-1 bn-1

∴数列{an}为等差数列. (2)∵bn=2 , ∴b1b2b3·…·b20=2
a1+a2+a3+…+a20 an



1 由(1)知{an}为等差数列,且 a8+a13= , 2 ∴a1+a2+a3+…+a20=10(a8+a13)=5, ∴b1b2b3·…·b20=2 =32.
5

4



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