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高考数学理复习方案 二轮作业手册(新课标·通用)专题限时集:第17讲 函数与方程思想、数形结合思想 Word

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专题限时集训(十七) [第 17 讲 函数与方程思想、数形结合思想]
(时间:45 分钟)

1.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.直线 y=12x+b 与曲线 y=-12x+ln x 相切,则 b 的值为( ) A.-2 B.1 C.-12 D.-1 3.设椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2, ∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( )
31 A. 6 B.3

1

3

C.2 D. 3

4.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值为

________.

??x-y+1≥0, 5.设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0,则 z=2x-3y 的最小值是( )
??x≤3,
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 6.函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 △POF 的面积为( )
A.2 B.2 2
C.2 3 D.4

2,则

8.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数 f′(x)的图像如图 X17-1

所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则ab+ +22的取值范围是(

)

A.13,2 B.(-∞,1)

图 X17-1

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C.(-1,0) D.12,3 9.已知函数 f(x)=3x+sin x-2cos x 的图像在点 A(x0,f(x0))处的切线斜率为 3,则 tan x0 的值是________. 10.若曲线 y=x-12在点 m,m-12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,则 m= ________. 11.函数 f(x)=32--csoins xx的值域是________. 12.已知 x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,则 cos(x+2y)=________. 13.等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an·1an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
14.如图 X17-2 所示,在直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重 合,终边交单位圆于点 A,且α ∈π6 ,π2 .将角 α 的终边按逆时针方向旋转π3 ,交单位圆于点 B.记 A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若 x1=13,求 x2; (2)分别过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C,D.记△AOC 的面积为 S1,△BOD 的面积 为 S2.若 S1=2S2,求角 α 的值.
图 X17-2
15.已知函数 f(x)=ln x,a 是大于 0 的实数. (1)若 f(x)≤ax+a-x 1+1-2a 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)+ax2-2x,若函数 F(x)有两个极值点,证明 F(x)的极小值小于-32.
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专题限时集训(十七) 1.D [解析] i(x+yi)=-y+xi=3+4i,根据两复数相等的充要条件得 x=4,y=-3.故 |x+yi|= (-3)2+42=5. 2.D [解析] 由 y=-12x+ln x 得 y′=-12+1x,由 y′=-12+1x=12,得 x=1,把 x=1 代
入曲线方程 y=-12x+ln x 得 y=-12,所以切点坐标为??1,-21??,代入直线方程 y=12x+b 得 b
=-1. 2a
3.D [解析] 设|PF2|=x, 则|PF1|=2x,由椭圆定义得 3x=2a,结合图形知,23c= 33?ca= 33,故选 D.
4. 2 [解析] y′=2x-1x,令 y′=1,得方程 2x2-x-1=0,解得 x=-12(舍)或 x=1,故与 直线 y=x-2 平行的曲线 y=x2-ln x 的切线的切点坐标为(1,1),该点到直线 y=x-2 的距 离 d= 2即为所求.
5.B [解析] 画出可行域如图中△ABC,易得 A(3,-2),B(3,4),C(0,1),作出直线 y=23x,平移易知直线过 B 点时在 y 轴上的截距最大,此时 z 最小.即 zmin=2×3-3×4=-6, 故选 B.

6.C [解析] 方法一:作出函数 f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4 的图像如图所示. 可知其交点个数为 2,选 C. 方法二:(数值法)

x

1

2

f(x)=ln x

0

ln 2(>0)

g(x)=x2-4x+4

1

0

可知它们有 2 个交点,选 C.

4 ln 4(<4)
4

7.C [解析] 设 P(x0,y0),根据抛物线定义得|PF|=x0+ 2,所以 x0=3 2,代入抛物 线方程得 y2=24,解得|y|=2 6,所以△POF 的面积等于12·|OF|·|y|=12× 2×2 6=2 3.
8.D [解析] 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,所以 f(4)=1,又因为 f′(x)≥0
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??a>0, 恒成立,所以 f(x)在 R 上单调递增,若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则?b>0,

把 b 看作

??a+2b<4,

横坐标,a 看作纵坐标,画出线性约束条件?????aba>>+002,,b<4的可行域(图略),ab+ +22的几何意义为过点

(-2,-2)和(b,a)的直线的斜率,由可行域知,当(b,a)为点(2,0)时,ab+ +22取最小值,其最

小值为02++22=12;当(b,a)为点(0,4)时,ab+ +22取最大值,其最大值为40+ +22=3.所以ab+ +22的取值

范围是??12,3??.

9.-12 [解析] f′(x)=3+cos x+2sin x,根据已知 3+cos x0+2sin x0=3,由此可得 tan x0

=-12.

10.64 [解析] 由题意知 m>0,因为 y=x-12,所以 y′=-12x-32,所以 y′|x=m=-12m-32,

所以切线方程为 y-m-12=-12m-32(x-m),即 y=-12m-32x+32m-12,令 x=0 得 y=32m-12;

令 y=0 得 x=3m,因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,所以12·3m·32m-12=18,

解得 m=64.

11.???3-4 3,3+4 3??? [解析] 函数 f(x)的几何意义是指坐标平面上定点 A(3,2)与动点

M(cos x,sin x)连线的斜率,而动点 M 的两坐标的平方和为 1,动点 M 是坐标平面内单位圆上

的点组成的,问题等价于求定点 A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围.如图所示,函数

f(x)的值域的两个端点,就是过点 A 的单位圆的两条切线 AM,AN 的斜率,设切线方程为 y-2

=k(x-3),即 kx-y-3k+2=0,圆心到直线的距离为|-13+k+k22|,这个距离等于圆的半径,即

|-13+k+k22|=1,解得 k=3±4 3,故所求的函数值域为???3-4 3,3+4 3???.

12 . 1 [ 解 析 ] 构 造 函 数 f(t) = t3 + sin t - 2a , 则 f′(t) = 3t2 + cos t , 当

t∈??2kπ -π2 ,2kπ +π2 ??(k∈Z)时,f′(t)>0,当 t∈??2kπ +π2 ,2kπ +23π ??(k∈Z)时,3t2>1,

cos t≥-1,此时 f′(t)>0,故函数 f(t)是 R 上的增函数.根据题意 f(x)=f(-2y),故 x=-2y,

所以 cos(x+2y)=1.

13.解:(1)设数列{an}的公差为 d,

由???a1+2d=3,

解得???a1=1,

??a1+(a1+3d)=5, ??d=1.

所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.

(2)因为 an=n,所以 an+1=n+1,故 bn=n(n1+1)=1n-n+1 1,

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所以 Sn=??1-12??+??12-13??+??13-14??+…+??1n-n+1 1??=1-n+1 1=n+n 1.

14.解:(1)由三角函数定义,得 x1=cos α ,x2=cos??α +π3 ??.

因为 α∈??π6 ,π2 ??,cos α =13,所以 sin α =

1-cos2α

=2

3

2 .

所以 x2=cos??α+π3 ??=12cos

α



3 2 sin

α

=1-26

6 .

(2)依题意得 y1=sin α ,y2=sin??α +π3 ??.

所以 S1=12x1y1=12cos α ·sin α =14sin 2α ,

S2=12|x2|y2=12??-cos??α +π3 ????·sin??α +π3 ??=-14sin??2α +23π ??.

依题意得 sin 2α =-2sin??2α +2π3 ??,整理得 cos 2α =0.

因为π6



π <2

,所以π3

<2α



,所以

2α=π2

,即

α=π4

.

15.解:(1)设 g(x)=ax+a-x 1+1-2a-ln x,x∈[1,+∞),

则 g(1)=0,
g′(x)=a-a-x2 1-1x=ax2-x-x(2 a-1)=a(x-1)x2??x-1-a a??.

当 0<a<12时,1-a a>1,若 1<x<1-a a,则 g′(x)<0,g(x)单调递减,

此时 g(x)<g(1)=0,不符合题意.

当 a≥12时,1-a a≤1,若 x>1,则 g′(x)>0,g(x)单调递增,

则 g(x)>g(1)=0,即 f(x)≤ax+a-x 1+1-2a 在[1,+∞)上恒成立.

综上,a 的取值范围是??12,+∞??.

(2)证明:由题意 F(x)=ln x+ax2-2x, F′(x)=1x+2ax-2=2ax2-x2x+1,

因为函数 F(x)有两极值点,所以 2ax2-2x+1=0 的 Δ>0,



1 0<a<2.

不妨设 2ax2-2x+1=0 的两根为 x1,x2 且 0<x1<x2,则 F(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递 增,在(x1,x2)上单调递减,x2 是 F(x)的极小值点,
所以当 F??x1+2 x2??<-32时,必有 F(x2)<-32.

因为x1+2 x2=21a,

所以 F??x1+2 x2??=F??21a??=ln 21a-32·21a,

要证 F??x1+2 x2??<-32,即证 ln21a-32·21a+32<0.

令21a=t(t>1),设 G(t)=ln t-32t+32,则 G′(t)=1t -32<0,

所以 t>1 时,G(t)单调递减,又因为 G(1)=0,

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所以 G(t)<0,即 F??x1+2 x2??<-32,也即 F(x)的极小值小于-32.
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