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3.3.1《利用导数判断函数的单调性》


3.3.1利用导数判断 函数的单调性

预习反馈讲解:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数. 从函数y=x2-4x+3的图像可以看到: 在区间(2,+∞)内,切线的斜 率为正,函数y=f(x)的值随着x y 的增大而增大,即 y?>0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函 数. 1 在区间(-∞,2)内,切线的斜 1 率为负,函数y=f(x)的值随着x o x 的增大而减小,即 y?<0 时,函数 -1 y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函 数.

一复习回顾:1.基本初等函数的导数公式
(1).常函数:(C)/ ? 0, (c为常数);

(2).幂函数 : (xn)/ ? nxn?1
(3).三角函数 :

(cos x)? ? ? sin x ( 1) (sin x)? ? cos x (2)
1 (log a x)? ? . x ln a

(4).对数函数的导数: 1 (1) (ln x )? ? . (2) x (5).指数函数的导数:
x ? (1) (e ) ? e . x
x

x ? (2) (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1).

2.导数的运算法则
(1)函数的和或差的导数 (2).函数的积的导数

(u±v)/=u/±v/.

(uv)/=u/v+v/u.
(3).函数的商的导数 (

u)/ = v

u 'v ? v 'u 2 v

(v≠0)。

二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; G=(a,b) y y

o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

(1)函数的单调性也叫函数的增减性;
(2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间:针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数,则为单调递增区间;

若函数在此区间上是减函数,则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的 前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂 的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单.

.典例分析

?

函数的大体图像

【拓展延伸1】
?

画出例二(4)函数的大体图像

[拓展延伸2]
?

如图,水以常速(即单位时间内注入水的 体积相同)注入下面四种底面积相同的容 器中,请分别找出与各容器对应的水的高 度与时间的函数关系图像.

思考
?

一般的,如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大,那么函数在这个范围内变 化的快,这是,函数的图像就比较“陡 峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些。

四、综合应用:
确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;
1 ? 解:(1)函数的定义域是R, f ( x ) ? 2 ? cos x . 1 2? 2? ? cos x ? 0 2 k ? ? ? x ? 2 k ? ? ( k ? Z ). 令 ,解得 2 3 3

1 2? 4? ? cos x ? 0 令 ,解得 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ). 2 3 3
2? 2? 因此,f(x)的递增区间是: (2k? ? ,2k? ? )(k ? Z ); 3 3 2? 4? 递减区间是: (2k? ? 3 ,2k? ? 3 )(k ? Z ).

(2)

f(x)=x/2-ln(1+x)+1

1 1 x ?1 ? . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ?( x ) ? ? 2 1 ? x 2(1 ? x )

x ?1 ? 0,得x<-1或x>1. 由 f ?( x ) ? 0 即 2(1 ? x )

注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间 是(1,+∞); 由 f ?( x ) ? 0 解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).

说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.

x 练习1:确定函数 f ( x ) ? x ? 100 , x ? [0,??) 的单调区间. 1 50 x ( x ? 100) ? x ? 解: 2 2 x x ? f ( x) ? ? ( x ? 0). 2 2 ( x ? 100) ( x ? 100) 50 x ? f ( x ) ? 0 x ? 0 , ? ? ? 0 ? 0 ? x ? 100; 令 注意到 x 2

故f(x)的递增区间是(0,100). 同理由 f ?( x ) ? 0, 得x>100,故f(x)的递减区间是(100, +∞). 说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大 到[0,100)(或[0,100]). (2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时, 都可以把100包含在内.

设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范 围,并求其单调区间. 2 解: f ?( x) ? 3ax ? 1. 若a>0, f ?( x ) ? 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ?( x ) ? 1 ? 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
1 1 )( x ? ) ,易知此时f(x) 若a<0,则 f ?( x ) ? 3a( x ? ? 3a ? 3a

恰有三个单调区间.

1 1 , ). 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: ( ? ? 3a ? 3a 1 1 )和 ( ,??). 单调递减区间: (??,? ? 3a ? 3a

例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数. 解: f ?( x) ? 2 x ? 2. 由2x-2>0,解得x>1,因此,当 x ? (1,??) 时,f(x)是增函 数; 令2x-2<0,解得x<1,因此,当 x ? (??,1) 时,f(x)是减函 数. 例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9 令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 x ? (3,??) 或 x ? (??,1) 时, f(x)是增函数. 令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x ? (1,3)时, f(x)是 减函数.

故f(x)在(-∞,1)和 (3,+∞)内是增函数, 1 3 在(1,3)内是减函数. 0 1 x 而我们可以从右边的 函数的图象看到上面 的结论是正确的. (一)利用导数讨论函数 ?3 单调性的步骤: (1):求导数 f ?( x). (2)解不等式 f ?( x )>0得f(x)的单调递增区间;解不等式 f ?( x ) < 0得f(x)的单调递减区间.

y

练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.
答案:递增区间是( ? ?,?2) 和 (1,??) ;递减区间是(-2,1).



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