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福建省仙游一中2011-2012学年高一下学期第二次阶段考试数学试卷

仙游一中 2011-2012 学年下学期第二次阶段考试试卷

高一数学

(范围:必修 2,必修 5(1.1-2.2) 时间:120 分钟 满分:150 分 ) 2012 年 5

月 一、 选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.

1.设 m, n 是两条异面直线,下列命题中正确的是

( A)

A.过 m 且与 n 平行的平面有且只有一个 B.过 m 且与 n 垂直的平面有且只有一个

C.m 与 n 所成的角的范围是 ?0,? ? D.过空间一点 P 与 m 、n 均平行的的平面有且只

有一个 2.在空间直角坐标系中,一个定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是 (A )

A. 6 2

B. 3

C. 3 2

D. 6 3

3.已知圆 C:(x ? a)2 ?(y ? 2)2 ? (4 a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0, 当直线 l 被圆 C 截得

的弦长为 2 3 时, a 等于( B )

A. 2 ?1

B. 2 ?1

C.1 ? 2

D. 2 ? 2

4.在△ABC 中,与 sin(A ? B) 相等的式子是( B ) sin C

A. a2 ? b2 c2

B. a2 ? b2 c2

C. a ? b c

D. a2 ? b2 c

5.已知某几何体的三视图如左下图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角 形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为 ( C)

A、 2? ? 1 B、 4? ? 1 C、 2? ? 1 D、 2? ? 1

32

36

66

32

【答案】C【解析】 由三视图可得该几何体的上部分是一个 三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得

V ? 1 ? 4? ? ( 2 )3 ? 1 ? 1 ?1?1?1 ? 2? ? 1

2 3 2 32

66

6.在数列?an?

中,

a1

?

2,

an?1

?

an

?

ln

???1 ?

1 n

? ??

,则

an

=(

A. )

A. 2 ? ln n

B. 2 ? ?n ?1?ln n

C. 2 ? nln n

D.1? n ? ln n

答案 A .

a2

?

a1

?

ln(1 ?

1) , 1

a3

?

a2

?

ln(1?

1) 2

,…, an

?

an?1

?

ln(1?

1) n ?1

?

an

?

a1

?

ln( 2 )( 3 )( 4 ) 123

( n ) ? 2 ? ln n n ?1

7.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,

上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为 ( B)

A.1 升 升

B.6 7 升 66

C.4 7 升 44

D.3 7 33

8.如图,l1 、l2 、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的

距离是 2,正三角形 ABC 的三个顶点分别在 l1 、l2 、l3 上,则△ABC 的边长是( D )

A. 2 3

B. 4 6 3

C. 3 7 4

D. 2 21 3

9.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为

△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( C )

A. 1 3

B. 3 3

C. 2 3

D. 2 3

C .由 题意知 三棱锥 A1 ? ABC 为 正 四面体 ,设 棱长为 a , 则 AB1 ? 3 a, 棱柱 的高

A1O ?

a2 ? AO2 ?

a2 ? (2 ? 3

3 a)2 ? 2

6 3

a

(即点

B1 到底面

ABC

的距离),故

AB1



底面 ABC 所成角的正弦值为 A1O ? 2 . AB1 3

另解:设 AB, AC, AA1 为空间向量的一组基

底 , AB, AC, AA1 的 两 两 间 的 夹 角 为 600 长 度 均 为 a , 平 面 ABC 的 法 向 量 为

OA1

?

AA1

?

1 3

AB

?

1 3

AC

,

AB1

?

AB

?

AA1

OA1 ? AB1

?

2 3

a2

,

OA1

?

6 3

,

AB1

?

3 , 则 AB1 与 底 面 ABC 所 成 角 的 正 弦 值 为

OA1 ?AB1 ?

2
.

A1O AB1 3

10.若圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为

2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( B. )

A. [ ? ,? ] 12 4

B.[ ? ,5? ] 12 12

C.[? ,? ] 63

D.[0,? ] 2

解答:圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 化 为 (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,∴圆心坐标为(2,

2),半径为 3 2 ,要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则

圆心到直线的距离应小于等于 2 ,∴ | 2a ? 2b | ≤ 2 ,∴ ( a )2 ? 4( a ) ?1≤ 0 ,∴

a2 ? b2

b

b

?2 ? 3 ≤ ( a) ≤ ?2 ? 3 , k ? ?( a ) ,∴ 2 ? 3 ≤ k ≤ 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取

b

b

值范围是[ ? ,5? ],选 B. 12 12

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请将答案填在相对应空格.

? ? 11.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 4 ? x2 有公共点,则 b 的取值范围是__________ - 2,2 2

tan ? ? 12.正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为? ,侧棱与底面所成的角为 ? ,则 tan ?
2.

13.已知 P 是直线 3x ? 4y ? 8 ? 0 上的动点, PA、 PB是圆 x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的

两条切线, A 、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB面积的最小值为__________ 2 2
14.某人上一段有 11 级的楼梯,如果一步可上一级 ,也可上两级或三级,则他共有___504___ 种不同的上楼方法。
15.设直线系 M : x cos? ? ( y ? 2)sin? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题:
A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上

D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是

B,C

(写出所有真命题的代号).

15.. 因 为 x c o?s? y ?( 2?) ?s i 所n 以 点1 P( 0 , 2到) M 中 每 条 直 线 的 距 离

d?

1

?1

cos2 ? ? sin2 ?

即 M 为圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线,所以 A
错误
又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确 M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误,故命题中正确的序号是
B,C 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 13 分) 请根据所给的图形,把空白的之处填写完整.并且证明定理。 (Ⅰ)直线与平面平行的性.质.定.理.的证明(6 分)(请用符号语言作答)
如图(1),已知: a // ? ,
求证:

(Ⅱ)平面与平面垂直的性.质.定.理.的证明(7 分)(请用符号语言作答)
如 图 ( 2 ) , 已 知 : ? ? ? , AB CD ? B ,

? ? ? CD ,





求证: AB ? ?

解:(Ⅰ)已知: a // ? , a ? ? ,? ? ? b (注:少一个条件,扣 1 分)

求证: a // b

证明略

(Ⅱ)如图(2)已知:? ? ? ,? ? ? CD ,AB CD ? B ,AB ? ? ,

AB ? CD ,

求证: AB ? ?

证明略

17. (本小题满分 13 分)
已知 ?ABC的顶点 A 为(3,-1),边 AB 上的中线所在直线方程为 6x ?10y ? 59 ? 0 ,

?B 的平分线所在直线方程为 x ? 4y ?10 ? 0 ,求边 BC 所在直线的方程。

18.(本小题满分

13

分)已知数列{ an

}满足 a1

?

1 5

,当 n

? 1且n ? N ?时, 有

an ?1 an

?

2an?1 ? 1 1 ? 2an

.

(1)求证:数列{ 1 }为等差数列; an

(2)试问 a1a2 是否是数列{ an }中的项,若是,是第几项,若不是请说明理由。
19.(本小题满分 13 分)

19 题解答:

20(本小题满分 14 分)
已知方程 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 (1) 若此方程表示圆,求 m 的取值范围;( m ? 5 ) (2) 若(1)中的圆与直线 x ? 2y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐
标原点),求 m 的值; (3) 在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程。 (1) x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0, D ? ?2, E ? ?4, F ? m,

? D2 ? E2 ? 4F ? 20 ? 4m ? 0,?m ? 5

( 2 ) x ? 2y ?4 ? 0 ①

x2 ? y2 ? 2x ? 4y ? m ? 0 ② 将 ① 代 入 ② 得

5y2 -16 y ? 8 ? m ? 0

? ? 162 ? 20(8 ? m)? 96 ? 20m ? 0, m ? 4.8.



y1

?

y2

?

16 , 5

y1 y2

?

8

?m 5

?

OM

?

ON

?

x1x2

?

y1 y2

?

0

? 5 y1 y2

?

8( y1

?

y2 )

? 16

?

0?m

?

8 5

(3)设圆心为 (a,b) , a ? x1 ? x2 ? 4 , b ? y1 ? y2 ? 8 , 半径 r ? 4 2 , 圆的方程为

25

25

5

(x

?

4)2

?

??

y

?

8

2
? ?

?

16

5 ? 5? 5

21. (本小题满分 14 分)
某观察站 C 在 A 城的南偏西 20 方向,由 A 城出发的一条公路,走向是南偏东 40 ,距 C
处 31千米的公路上的 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 地,此时 CD 距离为 21千米. (Ⅰ)此人还需走多少千米才能到达 A 城; (Ⅱ)在如图所示的平面内,若以 A 为圆心, AC 为半径作圆交 BA 于 E 点,在劣弧 CE 上有一动点 P ,过 P 引平行于 AC 的直线和 AE 交于点 F ,试求 ?APF 面积的最大值.
解答:(1)如图,设 AD ? x, AC ? y . ?BAC ? 20 ? 40 ? 60 ,

?在 ACD 中,有 x2 ? y2 ? 2xy cos 60 ? 212 ,即 x2 ? y2 ? xy ? 441



而 在 ABC 中 , ? x ? 20?2 ? y2 ? 2? x ? 20? y cos 60 ? 312 , 即

x2 ? y2 ? 40 x ? 20 y - xy ? 561 ②

② ? ①得 y ? 2x ? 6,代入①得 x2 ? 6x ?135 ? 0 ,解得 x ?15(千米),即还需走15 千米 才能到达 A 城.

? 48? 4?

? 3 sin? ???

3 2

cos?

?

1 2

sin ?

? ???

= 48

3

???2 sin(2?

?

? 6

)

?1???

,故当?

?

? 6

时,

S

取得最大值为

48

3.

附加题10分:仙游一中科技周活动中,数学老师展示出一个数字迷宫:将自然数1,2, 3,4,…排成数阵,在2处转第1个弯,在3处转第2个弯,在5处转第3个弯,…,则第100个弯 处的数是多少?


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